Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Область взаимодействия ограничена слева известной характеристикой второго 4 семейства ВС волны Римана, а справа — удар- с ной волной. Траектория ударной волны под "и влиянием подходящих к ней сзади возмущений отклоняется от прямолинейной и заранее неизвестна. Требуется определить движение в области взаимодействия и найти саму эту область, в частности, найти форму ударной волны. Отметим, что в части области л взаимодействия, ограниченной ударной вол- Рис.
2.! !. ! ной и траекторией частицы, проходящей через точку В (штриховая линия на рис. 2.11.!), движение будет неизоэнтопическим в отличие от движения в области за ударной волной между этой траекторией и поршнем, где энтропия всех частиц одинакова„поскольку все они прошли через ударную волну постоянной интенсивности на участке ОВ. Выделим на характеристике ВС ряд промежуточных точек Р „Р' и т. д. Через точку Р проведем элемент характеристики первого семейства в направлении ударной волны.
Вдоль этого элемента с точностью до малых величин справедлива связь ! и — ир + (р — рр )=О. (Ра)р Кроме этого, в заранее неизвестной точке В, пересечения характеристики с ударной волной значения и и Р связаны соотношениями на ударной волне (см. формулу (9.7)). Две связи между значениями и и Р в точке В, за ударной волной позволяют определить эти значения и с помощью соотношения (9.6) найти скорость ударной волны, т. е. угловой коэффициент траектории ударной волны в этой точке. Положение точки В, выберем так, чтобы элемент скачка, идущий из этой точки с найденным угловым коэффициентом (или со средним значением углового коэффициента в точках В, и В), прошел через точку В.
После этого применим процедуру решения элементарной задачи методом характеристик к точкам Р„ 'и В„ в результате чего найдем решение в точке Р; затем найдем решение в точке Р' ~зз гл. и, ОднОмеРные неустлновившиеся движения и т. д., пока не будет найдено решение в узловых точках на характеристике В,С, и сама эта характеристика. Повторяя описанное построение, найдем решение в треугольной области, ограниченной известной характеристикой ВС, отраженной от поршня характеристикой СЕ и ударной волной ВЕ.
Две последние границы определяются в процессе решения. Дальнейшее продолжение решения в случае, если задана траектория поршня после точки С, сводится вновь к решению задачи 1П типа в области между известной характеристикой СЕ и траекторией поршня, после чего может быть построен дальнейший участок течения за ударной волной и т. д. Описанное построение применимо и в случае, если с самого начала скорость поршня переменна; для этого достаточно заменить небольшой начальный криволинейный участок траектории поршня отрезком прямой.
Если газ перед ударной волной находится в движении, то это движение, как уже говорилось ранее, рассчитывается независимо от движения за волной, так как ударная волна распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью и поэтому не может влиять на движение газа перед ней. Расчет в этом случае отличается от описанного выше тем, что в соотношениях (9.6) и (9.7) на ударной волне величины и„р„о, не постоянны, а являются известными функциями точки плоскости х, 1, В случае слабых ударных волн многие задачи о течениях с ударными волнами могут быть решены аналитически.
Пусть движение первоначально покоившегося однородного газа вызывается движением поршня на левой границе области, занятой газом. Если при этом возникающие в потоке ударные волны можно считать слабыми, то инвариант Римана и — о(а) остается неизменным при переходе через них и, следовательно, во всем потоке выполняются соотношения и — о(а) = — о(а,), х=(и+ а) 1+ 7(и). (1 1.1) Функция )(и) определяется законом движения поршня. На возникающих при пересечении характеристик ударных волнах должно выполняться соотношение (9.14): угловой коэффициент йх!й траектории ударной волны должен быть равен среднему арифметическому угловых коэффициентов характеристик первого семейства, подходящих к волне спереди и сзади: дх (и+ и)1+ (и+и! 2 В тех случаях, когда с одной стороны ударной волны газ не возмущен, это уравнение приобретает внд их и,+и+а (1 1.2) причем а, =сопз1.
э ы, взлимодвяствив вагэщвп волны с эдлвноп волноя )дд В таких случаях, рассматривая х и ! на ударной волне как функции параметра и, после несложных выкладок с использованием соотношений (11.1) и (11.2) получим линейное уравнение первого порядка для определения ((и) ( + ) — ~~ ш л(~+к) (11.3) 2 Ии Йк Зависимость х(и) определится вторым соотношением (11.1). Постоянная интегрирования уравнения (11.3) находится из условия начала волны в ближайшей по времени ( точке пересечения характерик: (=(, при и=и,. Таким образом, все течение в целом определяется как волна Римана с разрывом на ударной волне, форма которой находится аналитически.
Рассмотрим, например, задачу о равноускоренном вдвигании поршня в трубу, которая при (=О занята однородным покоящимся газом. Газ будем считать совершенным с постоянным у. Пусть прн ( > 0 скорость поршня меняется по закону их — =с(, с> О. Ж Траекторию поршня в плоскости х, ! можно тогда представить в параметрическом виде и к х — —, (11.4) 2с' с где параметр и>0 есть скорость поршня, В возникающей простой волне справедливы соотношения (11.1), где для совершенного газа 20 п(а) = — .
Для определения во втором соотношении (11.1) функции ~(и) подставим в него выражения (11.4), в результате чего найдем п)= — "(,+-,'() (11.5) Характеристики в волне Римана образуют в рассматриваемом случае сходящийся пучок. Найдем момент времени, начиная с которого эти характеристики пересекаются, т. е. начиная с которого в газе образуется ударная волна. Для этого продифференцируем второе уравнение (11.1) по параметру и и результат приравняем нулю: 0= — ( — — — — и. т+1 [а, т 2 с с Это уравнение вместе со вторым уравнением (11.1) н выражением (11.5) при и > 0 определяет огибающую характеристик в плоскости х, (.
Наименьшее значение ! на этой линии соответствует значению и=О, т. е. в соответствии с уже доказанным ранее (д 10) точка, где на- 2ОО гл. н. одномееныв нвистлновившнвся движения чннается ударная волна, лежит на переднем фронте волны Римана 2 а, Координаты этой точки: 1, = —, х, =-а,Г,. Таким образом, ударе 211 а е ее' ная волна, начинаясь на передней характеристике, распространяется по покоящемуся газу, и угловой коэффициент траектории ударной волны можно определять по формуле (11.2). Следовательно, на траектории волны — =а+ и т+! а'1 ' 4 (1 1.6) и уравнение (11.3) в рассматриваемом примере имеет вид е11 1 4 ~е а 1 йи и (у+1)с(У и ! ' Интегрируя это уравнение, находим где С вЂ” постоянная интегрирования.
Зависимость х(и) определится формулой (е 2 ) '() ( ~ 2 )' Из условия начала ударной волны в точке х„1, находим постоянную интегрирования С=О. При этом из двух последних формул следует, что образующаяся ударная волна имеет параболическую форму, а ее интенсивность монотонно возрастает от нулевой в начальной точке. Если (рис. 2.1!.2), начиная с некоторого момента, соответствующего точке А, скорость поршня сохранить постоянной, то после прихода к ударной волне характеристики волны Римана, исходящей из точки А, интенсивность ударной волны тоже будет сохраняться неизменной. Пусть теперь движение поршня проис- ходит следующим образом (рис.
2.11.3). и х Сначала он движется с постоянной скоРис. 2.11.2 ростью и, в область, занятую газом. По истечении некоторого времени поршень внезапно начинает двигаться в другую сторону со скоростью и, (и, < 0) и затем вновь останавливается. Будем считать скорости поршня и, и и, настолько малыми по величине сравнительно со скоростью звука в первоначально покоившемся газе, чтобы возникающие ударные волны можно было считать слабыми. При движении поршня со скоростью и, по газу из точки О, распространяется ударная волна постоянной интенсивности, за которой в области ! образуется однородный поток со скоростью и,.
В момен~ 111. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 2Ш (11.8) (11. 1О) смены скорости поршня от него из точки О отходит пентрированная волна Римана; ее передний фронт догоняет ударную волну в точке В„ после чего волна Римана начинает взаимодействовать с ударной волной. За задним фронтом волны Римана в области П однородный поток газа имеет е скорость, равную скорости поршня и„ так что в момент остановки поршня в точке О, от него по газу начинает распрострайяться вторая ударная волна постоянной интенсивности, в которой газ а, останавливается. Эта ударная волна через некоторое время встречает задний фронт волны Римана в точке Вы и начинает вза- л имодействовать с ней.
ас 11! Как и в предыдущей задаче, во всей области течения справедливы соотношения (11.1). Примем за начало координат в плоскости х, ! точку О, в которой происходит Рыс. 2.1!.3 смена скорости поршня и образование центрированной волны Римана. Тогда соотношения для этой волны Римана в случае совершенного газа примут вид и — —, = — — ', = сопз(, х= (и+ а) С (11.7) Так как первая ударная волна распространяется по покоящемуся газу, то для определения ее формы вновь получим дифференциальное уравнение (11.6). При использовании соотношений (11.7) оно становится следующим: Это уравнение справедливо и для второй ударной волны, так как слева от этой волны газ согласно первому интегралу (11.7) находится в том же однородном состоянии, что и перед первой волной.
Решение уравнения (11.8) есть х = а,(+ СО!', где С вЂ” постоянная интегрирования. Обозначим координаты точек начала взаимодействия волны Римана с ударными волнами х„ и х„1, соответственно. Тогда, определив значение постоянной Сиз условия прохождения ударной волны через точку начала взаимодействия, получим для первой волны (при 1) 1,) 2 а для второй волны (при 1) 1,)— х=а,(+'— '' иы1**"~н~ 2 ы 3 202 гл.
н. одномвеные нвустлновиашився движения Отметим следующие важные свойства поведения ударных волн. Обе волны на участке взаимодействия имеют параболическую форму с асимптотическим направлением х=а,(; протяженность волны Римана, ограниченной ударными волнами, растет как (н', Интенсивность обеих волн уменьшается с течением времени, Действительно„ из выражений (11.9) и (11.10) следует, что скорость первой волны по газу перед ней уменьшается, стремясь к скорости звука а, как 11У ~; скорость же второй волны относительно газа за ней (этот газ имеет то же состояние, что и газ перед первой волной) увеличивается, а, следовательно, относительно газа передней — уменьшается и тоже стремится к скорости звука а, как 1!У7.
Давление в первой (головной) ударной волне скачком возрастает, в волне Римана оно непрерывно уменьшается и становится ниже давления р, в невозмущенном газе; затем во второй (хвостовой) ударной волне давление скачком вновь возрастает до величины р,. Это распределение давления показано Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
