Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2.7.),в), то волна называется иентрированной с центром (х„1,). В формулах (7.!), описывающих такую волну Римана, в этом кв случае нужно считать 1(и) =х,— / / — (а+ и) 1,. Центрированная волна / Римана представляет собой пример автомодельного решения уравнений / / / / 4 газовой динамики, в котором иско- / / / мые функции зависят не от двух / переменных х и 1, а лишь от их ком- / бинации х11 (в системе координат, начало которой совмещено с центром волны Римана). Несмотря на то, что волны Ри- Рис. 2.7.2 мана представляют собой лишь узкий класс одномерных нестационарных движений с плоскими волнами (соответствующие решения уравнений содержат лишь одну произвольную функцию, тогда как в общем случае решение должно зависеть от трех таких функций), они возникают при решении многих задач газовой динамики.
Это объясняется, в частности, тем, что если в каком-либо непрерывном течении с плоскими волнами есть прямолинейная акустическая характеристика АВ с постоянными значениями и, р, р вдоль нее (причем а~О), то к этой характеристике примыкает либо течение с постоянными параметрами, либо простая волна. Докажем это утверждение.
Пусть характеристика ОА (рис. 2.7.2) принадлежит, например, семейству 6". Проведем из каждой ее точки траекторию (характеристику третьего семейства Ж' — штриховые линии на рис. 2.7.2) в сторону роста времени. Ясно, что в области, покрываемой этими траекториями, энтропия всюду одна и та же (это следует из постоянства ее на характеристике ОА). Проведем далее в туже сторону от ОА характеристики второго семейства 6 . На каждой такой характеристике 1= 1, = сопз(, причем эта константа, очевидно, одна и та же для всех характеристик второго семейства, выходящих из точек характеристики ОА. Таким образом, в области изэнтропического течения ОАЕ имеется интеграл 1= сопз(, и, следовательно, течение в этой области есть волна Римана (или движение с постоян- 175 Гл.
11. ОднОмеРные нехстлнОВившиеся движения ными параметрами). Утверждение доказано. Из доказанного следует, что если покоящийся однородный газ приходит непрерывным образом в движение с плоскими волнами, то при этом неизбежно возникает волна Римана. Точно так же к однородному поступательному потоку в одномерном движении может непрерывно примыкать (через прямолинейную характеристику) только продолжение самого этого потока или волна Римана.
В волне Римана состояние газа неизменно вдоль прямолинейных характеристик, т. е. распространяется в пространстве с постоянной скоростью, зависящей от термо- ллг динамического состояния газа. г,---- Следовательно, распределения ЛРг параметров газа по координате к в волне Римана меняются при ее распространении (исключелрг ние составляет газ Чаплыгина, в котором характеристики параллРо лельны).
Проследим за этим изменением на примере волны, г распространяющейся вправо (в дальнейшем газ считается нормальным). Будем считать, что в начальный момент 1, (рис. 2.7.3) волна Римана занимает конечную область (х„х,), вне которой состояния газа однородны и одинаковы. На рис. 2.7.3 нижняя кривая изображает начальный профиль возмущения давления в волне Лр(х, 1,). На этом же рисунке приведены в плоскости х, ( прямолинейные характеристики бегущей вправо волны Римана, соответствующей этому распределению давления. Ее передний и задний фронты распространяются с одинаковой скоростью а,; состояния с большим давлением распространяются с большей скоростью (так как г((а-Р и)Д(р > 0).
Характеристика, соответствующая состоянию с наибольшим давлением, делит волну Римана на две части: переднюю, представляющую собой волну сжатия, и заднюю — волну разрежения. В волне разрежения прямолинейные характеристики расходятся, в волне сжатия — сближаются. Соответственно профиль возмущения давления в волне разрежения становится со временем более пологим и градиент давления (и других газодинамических параметров) уменьшается. В волне сжатия крутизна фронта нарастает, возрастает по величине градиент давления (см. на рис.
2.7.3 профиль давления Лр(х, 1,)). В момент вРемени 1г в волне сжатиЯ впеРвые пРоисхоДит пеРесечение характеристик. При приближении к этому моменту производные от газодинамических величин и„, р„и т. д. неограниченно возрастают и в месте пересечения характеристик обращаются в бесконечность (на рис.
2.7.3 профиль давления Лр(х, ~,)). Это явление неограниченного роста абсолютной величины производных образно >т. пРОстые ВОлны (ВолнЫ РимАнА 177 называют градиентной катастрофой. Начиная с момента времени 1, непрерывное решение теряет физический смысл: нарушается его однозначность (профиль давления Лр(х, 7,)); при этом говорят об«опрокидыванииз волны сжатия е). Пример с простой волной сжатия показывает, что даже при сколь угодно гладких распределениях искомых величин в начальных или краевых условиях описанных выше типичных задач ) — П1 их решение может не существовать ие только в классе гладких функций, но и в классе непрерывных функций. Рассмотрим следующее начальное (при 1=0) непрерывное распределение параметров газа. На отрезке АВ (рис.
2.7А) параметры газа заданы произвольно, а справа и слева от отрезка АВ состояния газа л"1, а" однородны и в общем случае различ- / ны. Изучим качественно возникающее движение сначала для случая изоэнтропического движения (началь- С Вв ные значения энтропии должны быть г для этого всюду одинаковы). Будем считать, что начальные распределения параметров не связаны соотно- Рис.
2.7.4 шепнем в бегущей вправо или влево волне Римана (иначе возникающее движение будет соответствующей простой волной). Решая задачу Коши с начальными данными на отрезке АВ, найдем решение в треугольной области АВС (предполагается, что непрерывное решение существует во всей этой области).
Так как состояние газа при х) хв однородно, то характеристика ВВ' первого семейства прямолинейна и, следовательно, решение задачи Гурса с известными теперь данными на характеристиках ВС и ВВ' представляет собой волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Аналогичным образом в области между характеристиками АС и АА' возникает волна Римана, распространяющаяся по газу влево. В угловой области между двумя прямолинейными характеристиками, выходящими из точки С, характеристики обоих семейств прямолинейны, так что состояние газа в этой области однородно. Если в обеих волнах Римана характеристики расходятся, то найденное решение справедливо при всех 1, если же хоть в одной из волн характеристики сходятся, то непрерывное решение существует лишь до момента пересечения характеристик.
ч) На зту трудность при изучении распространения волн в газе, описываемых интегралом Пуассона (см. сноску на с. 173), впервые указал в 1848 г. Стокс (8!ойез). Джордж Габриель Стокс (!8!9 — !903) — английский физик н математик, автор ряда основополагающих работ по механике жидкости и газа. Для иолитропной связи между р и р распространение волн Римана и их «опрокидывание» изучали английский ученый С. Ирншоу (Еагпщочг, !858) н сам Риман (1880). $78 гл. !<. Оцнол1егные неустхновнвшиеся движения Таким образом, при выполнении определенных условий описанная начальная локальная неоднородность приводит к образованию двух волн Римана, бегущих по газу в обе стороны, с областью однородного течения между ними.
Если начальные значения энтропии на участке АВ переменны, .го волны Римана будут только в областях правее траектории ВВ" и левее траектории АА", так как в каждой из этих областей значения энтропии постоянны (при условии непрерывности течения). В области между этими траекториями течение не будет изоэнтропическим и, следовательно, не будет волной Римана или течением с постоянными параметрами. Однако и в тех случаях, когда при развитии возмущений течение перестает быть непрерывным и образуются перемещающиеся по газу и в пространстве разрывы, качественно вывод о возникновении из начальной локальной неоднородности двух волн, бегущих по газу в разные стороны, остается в силе.
5 8. Задача о поршне. Истечение газа в вакуум Рассмотрим задачу о поршне, которая формулируется следующим образом (рис. 2,8.1). В момент времени 1= 0 в области цилиндрической трубы х > 0 справа от подвижной границы — поршня находится газ с известными распределениями параметров. При 1 > 0 с задан закон движения поршня х=Х(1) (линия 01.
на рис. 2.8.1). А Ьи Требуется определить движение газа при 1>0. Ограничимся пока случаем, когда 1 в начальном состоянии газ одноро- ден и неподвижен, скорость поршня Ф в начальный момент равна нулю Рис. 2.8л Х (0) =0 и Х(1) (О, т. е. скорость поршня во время его выдвигания влево растет по величине. В этом случае область! на рис.
2.8.1, ограниченная слева характеристикой ОА, есть область покоящегося однородного газа и характеристика ОА прямолинейна. Действительно, параметры газа в каждой точке области 1 определяются значениями инвариантов Римана на характеристиках, приходящих в эту точку из концов области ее зависимости на оси х; значения же этих инвариантов одинаковы во всех точках оси х.
Задача, которую нужно решить для определения течения в области и между характеристикой ОА — передним фронтом возмущений от начавшегося двигаться поршня — и траекторией поршня ОЬ, с которой в силу требуемого краевого условия и(Х, 1) =Х(1) 5 3. 3АдАчА о поРшне. истечение ГА3А В ВАкуум 179 совпадает траектория частицы, есть частный пример задачи 111 типа, рассматривавшейся ранее (ср. рис. 2.8.1 и рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
