Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Согласно (3. 16) характеристики обоих семейств в плоскости х, 1 являются в этом случае прямыми линиями х — г1=1(г), х — 11=у(1), где 1' и а — произвольные функции своих аргументов. Разрешив эти выражения относительно х и 1, получаем га(() — !1(г) к(!) — 1(г) ( .18) 3. 1 1 и = — (г+ 1), а = — (г — 1). Это простое общее решение уравнений одномерных движений с плоскими волнами определяет в параметрическом виде зависимость и и а от х и ! и будет использовано в дальнейшем при описании некоторых течений газа. 43, уРАВнения В кАРАктеРистическОИ ФОРме 161 При нзотермических течениях совершенного газа а = У)тТ = = а,= сопз1 и функция и определяется следующей формулой: и = а, 1п р + сопз1 = а, 1п р + сопз1.
(3.19) В этом случае линии г=-сопз1 и 1=сопз1 удобно изображать в пло. скости переменных и, р. Если в соотношениях вдоль характеристик (3.16) для баротропных течений с плоскими волнами принять за определяемые функции х и 1, а независимыми переменными считать г и 1, то эти соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных (это преобразование принадлежит Рнману, см. сноску на с.
159) д! ( )д!' дх д! (3.20) (напомним, что и и а суть известные функции от г и 1). Для адиабатических течений совершенного газа с постоянными теплоемкостями дх (т+1) г+(3 — т) ! д! дх (3 — т) г+(у+1) ! д! д! 4 д1 ' дг 4 дг ' Эти уравнения для последовательности значений у= — (и= — 1, О, 2п+3 2п+ 1 1, 2 ..., соответственно у=- — 1, 3, 513, 715, ...) допускают общий интеграл в аналитической форме ")). Особенно просто выглядит ре- шение при у — 1: х = г)' (г) + 1д' (1) — 1(г) — Я (1), 1 =1' (г) + д' (1), ! ! и= — (г+ 1), 2 а = — — (г — 1) 2 и полученное уже ранее решение (3.!8) при 7= 3.
Хотя, как уже говорилось в 9 ! гл. 1, значения у для совершенного газа с постоянными теплоемкостями заключены в пределах 1 (у(513, для газов с более сложными термодинамическими свойствами можно использовать приближенные уравнения состояния вида р=А+Врт, (3.22) где А и В в общем случае зависят от энтропии, а у не есть обязательно отношение теплоемкостей и может иметь любое значение (к такому виду уравнений состояния относится упоминавшееся в 9 1 гл. 1 уравнение Тэта для плотных сред). Очевидно, что для газов с таким уравнением состояния функция п(а) имеет тот же вид о = = 2а/(у — 1) и параметры Римана г и 1 выражаются теми же формулами (3.17), что и в случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями. ') См..
например, 19! 6 г, г. черний 1З2 ГЛ. 11, ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Модель газа с уравнением состояния в р=-А —— Р (7 =: — !) называется газом Чаплыгина и будет использована в Э 6 гл. 1П. Для плотных газов, образующихся при детонации ряда конденсированных взрывчатых веществ, в эмпирическом уравнении состояния (3.22) 7-2,7 — 2,8, что близко к величине 7=3 (модель газа при 7 = 3 называется газом Бехерта — Станюковича). Баротропные процессы со связью между плотностью и давлением частного вида р= Врт (у — любая величина) называются политропными (упомянутому на предыдущей странице изотермическому течению совершенного газа соответствует политропный процесс с особым значением у= 1, при котором функция о выражается формулой (3.19)).
Переход в соотношениях (3.16) от искомых функций г= г(х, 1) и 1=1(х, 1) к г и 1 как независимым переменным возможен, если для данного решения существуют однозначные обратные функции х=х(г, 1), 1=1(г, 1), т. е. если якобиан дг д1 дх дх дг д1 д1 д1 Р(г,!) Р (х, г) отличен от нуля. Из соотношений (3.16) следует, что этот якобиан дг д1 равен 2а — — . Следовательно, если а ~ О, то такой переход возмодхдх ' жен всегда, кроме случаев, когда дг1дх=О и, согласно первой паре соотношений (3.16), г=сопз1, либо когда д11дх=О и, согласно второй паре соотношений (3.16), 1=сопз1, либо когда одновременно г=сопз1, 1=-сопз1, что, очевидно, соответствует однородному потоку.
Эти особые случаи течений, для которых г==сопз1, либо 1=сонэ(, будут рассмотрены в э 7. й 4. Метод характеристик Уравнения одномерных нестационарных движений в форме соотношений вдоль характеристик (3.10) удобно использовать для нахождения решений различных конкретных задач, а также для анализа зависимости решения от данных на границах области движения. рассмотрим сначала следующую задачу, которую назовем элементарной задачей метода характеристик (в том смысле, что решение этой задачи служит элементом решения более сложных задач). В дальнейших рассуждениях мы не будем стремиться к математической строгости, ограничившись ссылкой на уже упоминавшиеся книги по теории дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и ее приложениям к газовой динамике [5,91.
4 С МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 163 Пусть на отрезке АВ прямой 1= 1, = сопз1 (если т = 2,3, то х„> 0) заданы непрерывно дифференцируемые распределения значений искомых величин и, р, з (причем давление р и вместе с ним скорость звука а нигде не равны нулю). Не ограничивая общности, будем считать 1,=0. Известно 15,101, что при этом в некотором интервале 0 (1(1, существует гладкое решение уравнений (3.6) — (3.8), удовлетворяющее заданным начальным данным. Возьмем на отрезке АВ две достаточно близкие внутренние точки Рэ и Р (рис. 2А.1). Если решение известно, то из точек Рр и Р можно (при условии, что в этих точках аФО) провести акустические характеристики разчых семейств до пересечения их в точке Р.
Из точки Р можно затем провести назад характеристику третьего семейства до пеРЕСЕЧЕНИя ЕЕ В ТОЧКЕ Р, МЕжду Р И Р 4 Р+ Ра Р а с осью х, Рис. 2.4.! Если решение при 1) 0 заранее неизвестно, то определить координаты хр, 1р точки Р можно приближенно, считая вдоль малых отрезков характеристик РАР и Р Р характеристические скорости с+ и с постоянными и равными их известным значениям в точках Рэ и Р соответственно. Для этого нужно решить линейные уравнения хр — хр+ —— (и+а)р, (1р — 1рэ), хр — хр =(и — а)р (1р — 1р ). Для нахождения значений и и р в точке Р заменим первые два дифференциальных соотношения (3.10) вдоль характеристик линейными конечно-разностиыми уравнениями Рр Ррэ гаи~ ир — ир + + = — (т — 1) ( — ) (1р — 1р ), (Ра)р (,х )р. Рр Рр гаах ир — ир — =(т — 1) ( — ) (1р — 1р ).
(Ра)р (, х 1'Р Определив отсюда ир и Рр, найдем координату хр, точки Р„считая на малом отрезке характеристики РР, характеристическую скорость с, постоянной и равной ее известному значению в точке Р, т. е. решая линейное уравнение хр — хр, = ир (1р — 1р,).
Для нахождения величины з в точке Р воспользуемся соотношением (3.10) вдоль характеристики третьего семейства, из которого после интегрирования получим зр — ар,=О. Значение ар, известно (если же начальные условия заданы в дискретных точках оси х, оно может быть получено приближенно путем 41 1б4 гл. и. одномврныв нвусткновившиеся движения линейной интерполяции по значениям е в точках Р, и Р Яр — «р Яр — «р «ь — э) кр, — кр кр — кр Описанный способ нахождения решения в точке Р по известным при меньших значениях времени 1 («в прошлом») данным в точках Р„и Р применим и тогда, когда зти точки лежат не на линии 1=сон»1, а принадлежат отрезку кривой, в точках которого при заданных на нем значениях искомых функций акустические характеристики обоих семейств выходят при росте времени 1 в одну сторону от кривой.
я« Такие кривые (рис. 2.4.2„кривые а, б) буяо дем называть пространственно-подобными. Ф Очевидно, что любая линия 1=сопз1 является пространственно-подобной. В другом возможном случае, когда направление кривой в каждой точке разделяет направления акустив ческих характеристик обоих семейств, выходящих из точек кривой при а«> О, кривая назыРяс. 2рь2 вается временно-подобной (рис. 2.4.2, кривая в). Примером временно-подобной кривой может служить характеристика третьего семейства (траектория), не являющаяся линией вакуума, т. е. линией, на которой р и а равны нулю. Для баротропных течений с плоскими волнами элементарная задача метода характеристик может решаться с более высокой точностью, чем в общем случае. По известным значениям и и и в точках Р и Р их значения в точке Р находятся из точных интегралов (3,16) г=-сопз1 на характеристике 6+ и 1=сон»1 на характеристике 6 г(ир, ар)=г(ир, ар), 1(ир, ар)=1(ир, ар ).
(4.1) Положение же точки Р, как и ранее, находится приближенно из соответствующей системы двух линейных алгебраических уравнений. При фактических вычислениях, учитывая малость отличия значений ир, ар от нх значений в точках Рэ и Р, соотношения (4.1) также можно линеаризовать. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями зти соотношения и в точном виде линейны относительно ир и ар.
2 2 ир — ир + — (ар — ар )=О, ир — ир — — (ар — ар )=О. + т Э т — 1 й 5. Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы Рассмотрим следующую задачу. Пусть при 1=0 на некотором отрезке АВ оси х (рис. 2.5.1) задано начальное состояние газа и(х, 0)=и,(х), р(х, 0)=р,(х), з(х, 0)=з,(х). Требуется найти дви- % Б.
ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ И ОБЛАСТЬ ВЛИЯНИЯ !бз жение газа при () О, предполагая прн этом существование непрерывно дифференцируемого решения этой задачи в области его определения. Возьмем на отрезке АВ, кроме его конечных точек, еще ряд достаточно густо расположенных точек. К каждой паре соседних точек можно применить процедуру, использованную в элементарной задаче метода характеристик, т. е. построить элементы акустических характеристик разных семейств, выходящих из выбранных на отрезке АВ точек, и найти решение в точках пересечения этих характеристик. Далее ту же процедуру можно применить к каждой паре найденной системы точек, построив следующие элементы характеристик Рис. 2.5Л Рис. 2.5.2 и вновь найдя решение в точках их пересечения, и т.
д. В результате приближенно находится сетка характеристик и значения искомых функций в узловых точках этой сетки в области, ограниченной отрезком АВ оси х и акустическими характеристиками первого и второго семейств, выходящими из концов этого отрезка. В общем случае эта область представляет собой криволинейный треугольник АВС (однако при некоторых специальных начальных условиях граничные характеристики могут не пересекаться: точка С уходит в бесконечность), Имеется доказательство (см., например, [51) того, что если существует непрерывно дифференцируемое решение описанной задачи, то оно единственно; приближенное решение задачи, данное выше, при уменьшении расстояний между узлами сетки все более точно аппроксимирует точное решение в узлах сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
