Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. если их нет в некотором индивидуальном объеме в данный момент, то их не будет в дальнейшем и не было прежде. В этом утверждении состоит теорема Лагранжа* ). Огсутствие вихрей равносильно существованию потенциала скорости: У-=агат(гр. Поэтому согласно теореме Лагранжа при условиях теоремы Томсона потенциальные движения обладают свойством сохраняемости; этим объясняется большая роль, которую играет в теории изучение потенциальных движений. Подчеркнем еще раз, что все предыдущие утверждения теряют силу, если либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не обладают однозначным потенциалом, либо поле скоростей не непрерывно.
Одна из употребительных форм уравнения импульсов (второе уравнение системы (7.!О)) получается при использовании тож- дества д! +(У Ягаб) У д! +Ягаг( 2 +(ГО! Ух У). дУ дУ дУ Заменив в уравнении импульсов производную с(У!4(! согласно этому соотношению, получаем уравнение Эйлера в форме Лэмба — Громеки ") дУ 1 д! +дгаб — +(го(УХ У)+ — дгабр=,у. (8.4) р Учитывая, что Т цгаб з = цгаб )т — — цгаб р, 1 р этому уравнению можно придать вид дУ ухт —, + 2 (оз х У) = Т ига 6 з — игам ( й+ — ) +у, 1 где от= — го! У вЂ” вектор вихря скорости.
2 (8.5) *) Теорема Лагранжа не препятствует возможности схода вихрей внутрь области, занятой движущимся газом, с поверхности обтекаемых тел !см. об этом 4 17 гл 111). "') Громека Ипполит Степанович (1851 — !889) — профессор Казанского универ. ситета, автор трудов по механике жидкостей и газов: по теории капиллярных явлеяий, движениям жидкости в трубах. по распространению звука и др.
4 а, сВОйстВА системы уРАВнений ГАЭОВОЙ динАмики !47 Запись уравнения Эйлера в таком виде принадлежит А. А. Фридману *). Уравнение импульсов в форме (8.4) нли (8.5) часто употребляется при изучении установившихся движений (см. 8 1 гл. 111). Для потенциальных баротропных движений в потенциальном поле внешних массовых снл уравнение импульсов в форме Лэмба — Громеки (8.4) может быть проинтегрировано. Действительно, при от=О это уравнение имеет вид дк Уа 1 — + вегас( — = — — ага!) Р+ пгас((7, д! 2 Введя функцию Р= ) — и сделав в этом уравнении замены по форс др р мулам — = — афтаб гр=- ягаг) — и — дгас(Р = нгас) ) — = дгас(Р(р),под! р ) р лучим Гдр вагаб ( — + — + Р— () т = О, (,д! 2 откуда — + 2 ~ угас) !р)'+ Р(р) — (7=0.
д! (8.6) Возникшая при интегрировании произвольная функция от времени положена, без ограничения общности, равной нулю, поскольку потенциал гр определен с точностью до слагаемого, зависящего от времени. Интеграл (8.6) называется интегралом Коши — Лагранжа и заменяет в случае потенциальных баротропных движений векторное уравнение импульсов. Уравнение неразрывности (7.4) для потенциальных движений с учетом того, что г(!у У=г(!унга!(гр=бгр (А — оператор Лапласа), можно записать в виде — + (вагаб !р нгаг) р) + рбср = О. др (8.7) ') Ф р идм ан А. А. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости.— Петроград, 1922.
Фридман Александр Александрович (1888 — 1925) — советсний физик, один из основателей динамической метеорологии. Труды по теории вихревых движении газа, по теории турбулентности, по общей теории относительности. Уравнения (8.6) и (8.7) образуют систему для определения двух функций: потенциала скорости !р и плотности р, которыми описываются потенциальные баротропные (в частности, изоэнтропические) движения сжимаемого газа, Из интеграла Коши — Лагранжа (8.6) и уравнения неразрывности можно получить одно уравнение второго порядка для потенциала гр, ГЛ, !.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 448 если записать уравнение неразрывности из системы (7.12) в виде — + а' (р) Йр = О дР (здесь использовано то„что с(Р= рс(Р) и подставить в него р и Р, выраженные через производные от ср с помощью интеграла Коши— Лагранжа и условия баротропии р= р(Р), При этом оператор с(ссСС также выражается с использованием потенциала ср: д д дс=дс+(Ягадф Ягас(). Приведем полученное таким путем квазилинейное дифференци.альное уравнение с частными производными второго порядка для ср в декартовых координатах: ТРсс + 2и Р, + 2офз с+2исф,с + (и' — а') сР„„+ (о' — а') сР„„+ (ис' — а*) сР„+ + 2иоср„„+ 2иыр„, + 2сссеф„, = О.
(8.8) Здесь и=-ф„, о=ф„, ис=ф„скорость звука а выражается через производные от ф, как сказано выше. Глава Н. ОДНОМЕРНБ!Е НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ й 1. Основные уравнения Одномерным называется движение, при котором все характеристики среды зависят только от расстояния х до некоторой плоскости (двнженне с плоскими волнами), или только от расстояния х до некоторой прямой †о симметрии (движение с цилиндрическими еолнаии), или только от расстояния х до некоторой точки †цент симметрии (двнженне со сферическими волнами) и от времени, если движение неустановившееся. В одномерных движениях со сферическими волнами вектор скорости имеет в соответствующей сферической системе координат лишь одну отличную от нуля компоненту — радиальную.
В одномерных движениях с цилиндрическими и плоскими волнами отличными от нуля могут быть все три компоненты вектора скорости в соответствующих цилиндрической и декартовой прямоугольной системах координат. Оставляя вывод уравнений для общего случая на конец параграфа, будем считать далее не равной нулю лишь одну составляющую скорости — вдоль той координаты, вдоль которой меняются характеристики среды. При наличии внешней массовой силы движение может быть одномерным, если зта сила зависит лишь от х и 1; примем, что она имеет лишь одну составляющую — в направлении изменения х.
При изучении одномерных неустановившихся движений газа с эйлеровой точки зрения искомыми функциями являются одна компонента скорости и и две термодинамические переменные, например, давление р и плотность р, а независимыми переменными — линейная координата х и время 1. В случае плоских волн координата х может меняться от — оо до оо, в случае цилиндрических и сферических волн — от 0 до оо. Вместо давления и плотности бывает удобно использовать другие величины, связанные с ними определенными соотношениями. Одномерным неустановившимся движениям газа можно придавать наглядную форму, используя плоскость х, 1; условно назовем эту плоскость плоскостью течения, а кривую в плоскости течения, соответствующую движению частицы газа, назовем путем частицы или ее траекторией.
Если в некоторой области плоскости х, 1 движение газа непрерывно, то описывающие это движение функции и(х, (), р(х, 1) и р(х, 1) удовлетворяют во всей этой области дифференциальным уравнениям (7.10) гл. 1. Для одномерных движений уравнение нераз. !ВО гл. и. одномерные нвистлновнвшився движения рывности (закон сохранения массы) и уравнение количества движения (уравнение Эйлера в проекции на направление х) имеют вид: др дри д1 дк — + — +(м — 1) — =О, ри х (1. 1) — +и — + — — =Х. ди ди ! др д1 дх р дх (1.2) Здесь и — параметр размерности пространства: м= 1, 2, 3 для движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно, и Х=Х(х, 1) есть внешняя массовая сила.
Для адиабатических обратимых изменений состояния газа систему уравнений (!.1) и (1.2) дополним уравнением сохранения энтропии з в частице дз д5 д~ дх — +и — =О (1.3) и соотношением р=1(р, з), (1. 4) связывающим энтропию с давлением и плотностью. Уравнения (1.1)— (1.3) вместе с соотношением (1.4) образуют замкнутую систему для определения трех функций и(х, 1), р(х, г), р(х, 1). Рассматривая плотность, как функцию давления и энтропии, уравнению (1.1) с учетом (!.3) можно придать вид (см, (7.12) гл. 1): —, ~ у+ и 3: ) + р д + (т — 1) — = О. (1.1а) Здесь а †скорос звука.
Если движение баротропно, так что давление и плотность газа связаны в области движения заранее известным соотношением р = р(р). (1.5) то для определения функций и, р, р достаточно уравнений (1.1), (1.2) и соотношения (!.5). В дальнейшем при рассмотрении баротропных процессов будем считать выполненным условие р'(р) ) О. Очевидно, что в одномерных движениях линии тока и траектории частиц в физическом пространстве совпадают между собой и являются прямыми линиями. Образованные линиями тока трубки не меняются во времени, так что одномерные неустановившиеся движения можно интерпретировать как движения в таких трубках. Форма сечения трубки поверхностью х=сопз! при изменении х остается при и= 1 неизменной, при ъ = 2 меняется аффинноподобно,а при м = 3 †подоб самой себе; площадь сечения растет пропорционально х' '. Особенно удобна такая интерпретация для движений с плоскими волнами; трубки в этом случае имеют цилиндрическую форму.
Конечно, используя такую интерпретацию для описания течений в реальных трубах, необходимо помнить о прилнпании газа к стенке трубы, которое не учитывается принятой моделью течения. 5 Ь ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Как и в случае стационарных течений, можно рассматривать нестационарные квазиодномерные движения газа в тонких слабо искривленных трубках с плавным изменением формы и площади поперечного сечения трубки по ее длине, Напомним, что при квазиодномерном описании движений пренебрегают изменением параметров потока в поперечном сечении трубки и не учитывают в уравнении движения в проекции на ось трубки влияние искривления траекторий частиц.
Если под х понимать расстояние вдоль оси трубки от некоторой ее точки, то уравнения (1.2) и (!.3) сохранятся и при описании квазиодномерных течений. Уравнение же неразрывности (!.!) требует в этом случае некоторой модификации. Рассмотрим объем трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями, расположенными на расстоянии г(х. Убыль массы газа в этом объеме вследствие вытекания и втекания газа сквозь сечения за время й равна д — (У'ри й) дх. Здесь площадь сечения трубки г зависит от х и, в случае если рассматривается движение газа в трубке с деформируемыми стенками, от 1.
С другой стороны, уменьшение массы газа связано с изменением плотности газа в выделенном объеме и самого объема и равно — — (рУдх)й. д !(риравнивая оба выражения, получаем после несложного преобразования вместо (1.!) уравнение ! дрф дри ! д,У вЂ” — + — + — — ри=-О. д! дх еУ дх В частном случае, когда д'-х", где а — произвольное число, имеем дК 1 дд. а — = О и — — = †; при а= у в 1 получаем уравнение (!.!). дг,К дх х Для изучения одномерных движений можно с успехом использовать и лагранжево представление. При этом искомыми функциями являются координата частицы х и две термодинамические переменные, например р и р, а независимыми переменными служат время ! и лагранжева координата частицы $, за которую можно принягь, в частности, начальную координату частицы х,. Скорость частицы и определяется при этом формулой д! дх(й, !) а ускорение частицы равно ди (ч, !)!д!.
Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа получим, приравнивая массу частицы в момент времени ! Ее массе в начальный 152 Гл. и. ОднОмеРные неустхновившиеся дВижения момент рх' ' дх = р,х'„' дх, = дт. (1.6) Здесь т — массовая лагранжева координата. В уравнении импульсов ди др р — =- — — + рХ д~ дх заменим согласно (1.6) производную по х производной по массовой лагранжевой координате т. Тогда систему уравнений одномерных адиабатических движений в лагранжевых переменных можно записать в виде рх' ' — =1 дм д»х х, др — = — х' ' — +Х, д»х дт (1.7) дх — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
