Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Как правило, эти условия вытекают из физической постановки задачи, и их формулировка не вызывает значительных трудностей. Необходимо, однако, чтобы при сформулированных условиях решение задачи существовало и было единственным (иногда постановка задачи может допускать и неединственность ее решения; отбор нужного решения производится при этом на основе дополнительных требований физического и математического характера). Кроме этого, 142 гл. ь основные понятия глзовоя динлмики в большинстве случаев решение задачи должно непрерывно зависеть от задаваемых условий.
Задачи, удовлетворяющие перечисленным требованиям, называют корректно или хорошо поставленными. Нужно сказать, что корректность постановки многих задач газовой динамики, встречающихся в приложениях, математически строго не доказана, хотя она может представляться достаточно вероятной из физических соображений и подтверждаться эмпирическим путем. Подробно различные виды дополнительных условий будут рассмотрены в гл. 11 и П1 в связи с изучением конкретных классов движений. Сейчас же ограничимся лишь краткими сведениями о некоторых типах этих условий.
Если движение газа неустановившееся, то во всей области пространства х, первоначально занятой газом, нужно задать начальные распределения всех определяемых параметров. При соприкосновении газа с непроницаемыми поверхностями должно выполняться условие непротекания газа — равенство нормальной к поверхности составляющей скорости газа и„и скорости 17 перемеще ия поверхности в направлении нормали к самой себе.
На неподвижных поверхностях это условие требует, чтобы выполнялось равенство и„=- О. На границе области течения может быть задана связь между давлением газа и геометрическими характеристиками поверхности— конечными или дифференциальными (например, если поверхность представляет собой упругую пленку). В частности, на границе может быль задано постоянное или меняющееся со временем давление р; при р =-сопз( граница называется сеободиои. Условия перечисленных выше типов называются краевыми или граничными. Если занятая газом область простирается в бесконечность, то параметры газа в бесконечности также могут подчиняться некоторым условиям. й 8.
Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики В предыдущих разделах было установлено, что параметры движущегося газа (скорость, давление, плотность и другие) являются в общем случае кусочно-непрерывными функциями координат и времени.
Эти функции должны удовлетворять законам сохранения массы, импульса и энергии для произвольного индивидуального объема. Как следствие, в области их непрерывности и гладкости они должны быть решениями дифференциальных уравнений (7.10)„ а на разрывах должны удовлетворять соотношениям (7.!5). Уравнения (7.10) вместе с замыкающим соотношением (7.11) представляют собой систему пяти дифференциальных уравнений в частных производных для определения зависимости трех компонент ско- 5 3 СВОЙСТВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 143 рости, давления и плотности от четырех переменных: трех прост- ранственных координат и времени.
Эта система квазилинейна, т. е. линейна относительно производных искомых функций и нелинейна относительно совокупности этих производных и самих искомых функций. Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем случае неустановившихся движений является ее гиперболич- ность. Для установившихся течений, когда распределения парамет- ров движущегося газа в пространстве не зависят от времени, сис- тема уравнений приобретает особые свойства и при некоторых усло- виях утрачивает гиперболичностел становится эллиптической или смешанной — гиперболической в одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической — в другой. Изучение общих свойств решений таких систем и получение част- ных решений, соответствующих конкретным условиям движения газа,— весьма трудная математическая проблема. Теория гиперболических систем квазилинейных уравнений быстро развивается.
Тем не менее построение ее теоретического фундамента все еще нельзя считать законченным. Наибольшее продвижение до- стигнуто при изучении уравнений с двумя независимыми перемен- ными. Но и для таких систем теория приобрела определенную завер- шенность лишь в случае одного уравнения или системы двух урав- нений; для систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задачи с начальными данными. В газовой динамике система уравнений (7.1(1) имеет две незави- симые переменные только при одномерных неустановившихся и дву- мерных установившихся движениях (см. гл.
П и П1). При этом в общем случае одномерных движений система гиперболична и состоит из трех уравнений. К такому же числу уравнений можно свести сис- тему для двумерных установившихся движений (эта система может быть гиперболической, эллиптической и смешанной). В специальных случаях баротропных движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям, Трудности, возникающие при изучении решений систем со мно- гими независимыми переменными, в полной мере проявляются уже при исследовании решений систем из трех или большего числа урав- нений с более чем двумя независимыми переменными.
С другой сто- роны, большая часть важных характерных свойств решений много- мерных систем обнаруживается и у решений систем из трех уравне- ний с двумя независимыми переменными. Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах решений системы уравнений газовой динамики (7.10), вытекающих из ее гиперболичности, в общем многомерном случае*). Важные све- *) Подробное изложение этого вопроса для общих квазилинейных систем и приложения к уравнениям газовой динамики даны в книгах 15,6,101. 144 гл. ь основныв понятия глзовон динлмики дения о свойствах решений гиперболических систем будут получены ниже при рассмотрении одномерных неустановившнхся движений (гл.
П) и двумерных установившихся движений (гл. 111). Напомним некоторые кинематические свойства поля скоростей и динамические свойства движений газа, определяемых системой (7.10). Важными кинематическими характеристиками поля скорости 9' являются уже введенный ранее вихрь скорости 1 е= — го( )г 2 и циркуляция скорости вдоль линии (на линии .У выбрано направление и 61 есть векторный элемент этой линии).
Остановимся кратко на основных теоремах о циркуляции скорости и о вихрях, подробно излагаемых в общих курсах механики жидкости и газа и механики сплошных сред 11 — 4]. Рассмотрим циркуляцию скорости Г по отрезку АВ, состоящему из одних и тех же частиц газа. Если поле скоростей непрерывно по пространственным координатам и по времени, то и деформация отрезка АВ при движении газа будет происходить непрерывно. Вычислим производную по времени от Г: яв Заменим под знаком первого интеграла величину г(к1пг согласно уравнению импульсов (7.10), а под знаком второго интеграла сдег лаем преобразование )à — 61= к'6У=: 6 —.
В результате получим Л 2 ' — '„", = ~ ( — — 'йгабр+У) 61+' — 2~'. (8.1) ла Применим это выражение к случаю, когда сила у имеет однозначный потенциал у = йгаб У и движение баротропно, т. е. р= р(р). При этих условиях (8.2) Если контур АВ замкнут, то отсюда следует равенство дг — =0 Ж которое известно под названием теоргмы Томсапш при непрерывном баротропном движении идеальной жидкости в поле потенциальных 4 8 своистВА системы уРАВнении ГА30ВОЙ динАмикИ !4в — = — $ — йгаг(р 61= — ~ [го(( — йгадр)1 г(п. рТ С помощью тождества го! (А ягад ~) = (ягаг( А з4 дгаб ~р) преобразуем это выражение к виду — =~(дгабрхйгаб — ~! 8(п. (8.3) Если воспользоваться равенством — пгаб р= ягаб 8 — Т кгаб и, ! Р то, аналогично (8.3), получим — = ) (йтад Тхягаг(8)„сЬ. ВГ спл циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости, остается постоянной.
Согласно теореме Стокса (см., например, ()1) циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку вектора готА через поверхность, натянутую на этот контур. Применив эту теорему к вектору скорости газа, получим Г = У Уй = 2 ) 88„8Ь. Из равенства йГ/И=О следует тогда, что в условиях, при которых справедлива теорема Томсона, поток вектора вихря скорости через любую поверхность, натянутую на контур, движущийся вместе с частицами, сохраняется неизменным по времени: и г — ~ гь ~И=О. лг) и Огсюда вытекают теоремы Гельмгольца (см. (! — 41! о том, что вихревые поверхности, в частности вихревые трубки, и вихревые линии перемещаются в пространстве вместе с частицами газа, причем напряженность вихревых трубок остается во время движения постоянной.
При нарушении предположений о баротропии и о непрерь1вностн течения теорема Томсона и ее следствия теряют силу. Если движение не баротропно, то, считая вновь силу Г" потенциальной, для замкнутого контура из формулы (8.1) и теоремы Стокса получим 148 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Соотношение (8.3) для скорости изменения циркуляции по замкнутому жидкому контуру или равной ей удвоенной скорости изменения потока вектора вихря сквозь такой контур выражает собой теорему Бьеркнеса; эта теорема используется в динамической метеорологии. При соблюдении условий теоремы Томсона вихри в движущемся газе сохраняются, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
