Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 30
Текст из файла (страница 30)
закон сохранения момента количества движения для конеч- ного объема, в общем случае независимый от интегрального закона сохранения количества движения, не дает в рассматриваемом случае идеальной среды локального соотношения между параметрами, отли- чающегося от уравнения импульсов. Для закона сохранения энергии (2.11), при отсутствии притока тепла сквозь поверхность а"., но с учетом тепловыделения д в единице г $2 массы газа, следует положить А = р ( — + е), В = р У, С = р(г У) + + ра, так что согласно (7.5) получаем уравнение у Р ( ~ 4- е) + Р ~ 2 + е) й(ч У+ 8(ч (р У) = р (~ У) + рд. (7.7) С использованием уравнений неразрывности и импульсов это уравне- ние можно привести к виду У+Р д1 ( — „) =--Ч (7.8) Уравнение (7.7) есть уравнение энергии в дифференциальной форме; уравнение (7.8), являющееся его следствием, называется уравнением притона тепла. Пользуясь термодинамическим соотношением Таз=ае+ рй(11р), справедливым для движущейся частицы, из (7.8) получаем (7.9) В интегральном выражении (2.12) для скорости роста энтропии А = рз, С = — а (при отсутствии некомпенсированного теплопод- Р вода д'), так что с учетом уравнения неразрывности уравнение (2.12) приводит к тому же дифференциальному выражению (7.9), что и закон сохранения энергии (2.11).
Итак, для непрерывных движений получаем следующую систему дифференциальных уравнений газовой динамики: Нр ~п + р б(ч У = О, ЕГ, 1 — + — игаб р =Т, ш р йе Т вЂ” =а. ш $ т. уРАВненИя, соотношения нА сильных РАзРНВАх 135 Для замыкания этой системы необходимо привлечь термодинамические уравнения состояния, выражающие р, р, э и Т через какие- либо две термодинамические величины, и задать внешнюю массовую силу Т" н приток тепла д. В дальнейшем будут в основном рассматриваться адиабатические движения (и=-О) без учета внешних массовых сил (Т"=О).
В этом случае для замыкания системы (7.10) достаточно одного уравнения состо ян и я э=э(р, р). (7.1 1) Система уравнений газовой динамики (7.10) в некоторых случаях упрощается путем замены последнего уравнения в этой системе конечным соотношением, связывающим р и р. В таких случаях из дифференциальных уравнений находится лишь скорость 1Г и одна из двух других искомых величин — р или р, вторая же определяется конечной связью р=р(р). Движения с заданной связью между давлением и плотностью называются баротропныжи *).
В случае аднабатических движений (д=0) последнее уравнение системы (7.10) показывает, что при непрерывных движениях энтропия каждой частицы сохраняется во времени. Отсюда следует, что если в некоторый момент времени энтропия всех частиц в каком-либо объеме газа одинакова, то она останется одинаковой и прн дальнейшем движении этого объема (при условии сохранения непрерывности движения).
В таких случаях в уравнении состояния (7.11) э(р, р)= = сопя!. Движения е з =- сопя! называютея изоэнтропическими н представляют собой частный пример баротропных движений, Баротропными являются и изотермические движения, в которых температура всех частиц газа в рассматриваемой области одинакова и не изменяется во времени: Т(р, р)=сонэ!. При задании определенной связи между давлением и плотностью баротропное движение в общем случае не будет адиабатическим (исключение составляют изоэнтропические движения): для обеспечения наложенной связи между р и р должен происходить подвод (или отвод) тепла к частицам, который можно найти из уравнения притока тепла (7.8) или (7.9) после определения движения газа.
Система дифференциальных уравнений (7.10) может быть преобразована к различным эквивалентным формам. В частности, при изучении некоторых общих свойств системы (7.10) в случае адиабатических движений удобно использовать в качестве основных термодинамических переменных р и з и преобразовать эту систему к виду ") Термин <баротропный» происходит из метеорологии, где он в приложении к атмосфере обозначает совпадение поверхностей постоянного давления и постоянной плотности (противоположный термин — «бароклинный>).
136 Гл. ь ОснОВные понятия ГАЗОВОЙ динАмики (полагая ~= О) — ~+б!ч )Г=О 1 йр риа 51 р —, + афтаб р =- О, лу иа — =О. Ж (7.)2) — А 5(т = — ~ (В и) т(а + ~ С 5(т. 7" Н1 !и 7еа В том же ~ 2 была получена формула, связывающая производные интеграла от функции А по индивидуальному объему 7'* и по подвижному объему 7'. — АЖ= —, ~ АГ(т+ ) А(и„— Р)5(о, 7 а ° Н1 7" Го ~'П> Используя эту связь между производными, для объема 7а можно Коэффициенты в этой системе суть функции р и 5.
Перейдем теперь к установлению соотношений между параметрами газа на поверхностях сильного разрыва, считая, что с каждой сто- роны поверхности разрыва эти параметры ог- и, раничены вместе со своими производными по Ф к ' координатам и времени.
Выделим на поверхности разрыва некоторую ее гладкую часть о с гладкой границей (рис. !.7. !). Обозначим параметры газа с одной из 3.' сторон участка поверхности о индексом ! и ус- ловимся направлять нормаль к поверхности разиа рыва в сторону, которой соответствует индекс !. Рис. !.7.! Проведем из всех точек области о в обе стороны от поверхности отрезки нормалей достаточно малой длины й!2.
Эти отрезки заполняют объем 7", поверхность У которого состоит из эквидистантных поверхности разрыва участков Уа и У', и боковой поверхности Г", образованной отрезками нормалей длиной й в точках границы области о. Наряду с объемом 7и (подвижным, если поверхность разрыва перемещается в пространстве) введем подвижный объем 7'", связанный с частицами среды и совпадающий в момент времени 1 с объемом 7".
Законы сохранения массы, импульса, момента импульса (последние два — в проекциях на оси координат), энергии и интегральное выражение для скорости изменения энтропии в индивидуальном объеме 7", приведенные в ~ 2, можно записать в следующей общей форме (А, еа и С вЂ” величины, о которых говорилось ранее): З 7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ !Зт написать соотношение ~~А(п„— О)+(В а)]7(о= — —, ~ А7(т-,' ~ Ст(т. (7АВ) Ю УР Перейдем теперь в этом соотношении к пределу при й О. Так как выражение под знаком интеграла в левой части ограничено, а пло- щадь боковой поверхности 7 стремится к нулю, то в пределе этот интеграл перейдет в интеграл по разным сторонам области и с про- тивоположными направлениями нормалей п,= — а,.
Первый интеграл в правой части (7.13) можно записать в виде — ] А с(т = 6 — ] А' т(о, я' г д г ш] = тг] У~ О где А' — среднее значение А на отрезке длиной й, нормальном к поверхности разрыва. При й О это выражение стремится к нулю, поскольку предполагалось, что функция А ограничена вместе сосво- ими производными по координатам и времени с каждой стороны поверхности разрыва. Второй интеграл в правой части (7.13) при ограниченных внеш- них объемных воздействиях С, очевидно, тоже стремится к нулю при и О.
Однако в некоторых важных теоретических вопросах и в приложениях поверхностями разрыва параметров газа модели- руются различные реальные проницаемые тонкие структуры, напри- мер, сетки или перфорированные пластины, ткань паруса или пара- шюта, плоскость вращения винта самолета нли лопаточного венца осевого компрессора и т. п. На этих поверхностях к газу может подводиться или от него может отводиться энергия в виде тепла или совершаемой над газом или отбираемой от него работы, газу может сообщаться или отниматься от него импульс, к нему может подво- диться или от него может отводиться дополнительная масса того же или другого газа. На таких поверхностях разрыва условия, следующие из законов сохранения, должны, естественно, записываться с учетом распределения по поверхности источников энергии, массы и импульса.
Величина гч2 С'=1(п ! СТУ7 (7.14) А-О ), -А7З остается при этом конечной, когда й — О. В силу произвольности области о после предельного перехода й О получаем общий вид соотношений между параметрами газа на поверхности разрыва (для векторных уравнений такое соотношение справедливо для каждой компоненты уравнения): [А (и„— 77) — В„] =- С'. Здесь знак (а] означает разность значений а с двух сторон поверхности разрыва. 138 гл, 1. основныв понятия газовой динамики Прн отсутствии сосредоточенных на поверхности разрыва воз- действий законы сохранения массы, импульса н энергии (без учета тепловых потоков сквозь поверхность У) дают [р(п„— Р)] =О, [рУ(о„— Р)+ рп]=0, (7.15) ~р ( й -', е) (о„— Р)+ ро„] =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
