Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Условие, получаемое нз уравнения моментов количества движения, тождественно удовлетворяется в силу соотношения, следующего нз уравнения импульсов. Равенства (7.15) указывают на два возможных типа поверхностей разрыва. Для поверхностей первого типа и„,— Р=О, о„е — Р=О, (7.16) т. е, нормальные составляющие скорости газа с обеих сторон поверхности разрыва одинаковы н равны ее скорости (предполагается, что рФО). Частицы среды не пересекают разрыв нлн — иначе — разрыв не распространяется по среде.
Такие поверхности разрыва называются контактными. Плотность с обеих сторон контактного разрыва может быть произвольной; однако, согласно второму уравнению (7.15), давление с обеих его сторон должно быть одинаковым. Прн этом уравненне энергии (третье уравнение (7.15)) тождественно удовлетворяется *). Контактный разрыв может быть н границей раздела между газами с различными уравнениями связи между термодннамнческнми величинами (это могут быть, например, совершенные газы с постоянными, но различными значениями теплоемкостей). Обозначим У, составляющую вектора скорости У в плоскости, касательной к поверхности разрыва.
Из уравнения импульсов н уравнення сохранения массы получим р(п„— Р) [У,] =О. (7.!7) Отсюда следует, что на контактном разрыве составляющая скорости в касательной к разрыву плоскости может меняться скачком: массы газа, находящиеся в контакте н отделенные одна от другой непро ннцаемой для ннх поверхностью разрыва, могут с разными скоростями с обеих сторон «скользнть» вдоль этой поверхности.
В связи с этим контактные поверхности разрыва называются также тангенциальными (нногда — касательными) разрывами н вихревыми поверхностями. На ннх всегда [са] =0 н [р]=О, но, в общем случае, [р] чнО, [е] ФО н [У]ФО. «) Уравнение импульсов допускает наличие нормальной сосредоточенной поверхностной силы !и на контактном разрыве (тина силы поверхностного натяжения на границе раздела двух сред).
Эта сила будет уравновешиваться соответствующей разностью давлений: (р)= /. Уравнение энергии нри этом по.ноежнему тождественно удовлетворяется, так как работа сосредоточенной поверхностной силы !О равна !ров! = !р! Р. 1 7. УРЛВНЕНИЯ, СООТНОЦ1ЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РЛЗРЪ|ВАХ 139 Для разрывов второго типа о„~ О, т. е. газ течет сквозь разрыв, нли — иначе — разрыв распространяется по газу. Согласно (7.17) на таких разрывах [У,1 = О. (7.!8) Разрывы второго типа называются ударныма волнами (ранее, в 9 4 н далее, говорилось об этих разрывах как скачках уплотнения).
На ударных волнах [У,1= О, но, в общем случае, [о„1 чьО, [р1 Ныл, [р1~0, [е! ~0. Равенство (7.18) показывает, что в точках ударной волны векторы скорости газа перед волной и за ней и вектор нормали к волне компланарны, так что при переходе через ударную волну газ локально движется в плоскости, содержащей нормаль к волне. Для ударных волн индексом 1 будем обозначать параметры газа, по которому распространяется волна. Установленные соотношения на разрывах должны выполняться в каждой точке разрыва и справедливы в любой инерциальной или неинерциальной системе координат (в неинерциальной системе координат в интегральных законах сохранения появятся распределенные по объему конечные массовые силы — силы инерции, которые, как было показано, не влияют на вид получаемых из этих законов соотношений на разрыве), Предельный переход в уравнении для изменения энтропии требует некоторых пояснений.
Уравнение (7.13) для этого случая (вновь без учета тепловых потоков сквозь поверхность К) имеет вид,' !' р р Рз("» лл) 1(о= Ш ~ РМ+ ) т. (Ч Ч Ч ) г(т. 'д. РРР ЧР Даже при отсутствии сосредоточенного теплоподвода на ударной волне (т. е. при ограниченной величине Ч) нельзя полагать, что второй интеграл в правой части при й 0 стремится к нулю.
Ранее, в 9 5, было установлено, что переход газа через скачок (ударную волну) представляет собой существенно необратимый процесс, в котором при адиабатическом течении энтропия возрастает. Таким образом, [рз(о„— О)] == Д', (7.!9) где согласно (7.14) 677 Д =!! ш ~ 'т (Ч -! Ч ) сУ$ ° л о Система (7,!5) в случае ударных волн содержит пять скалярных связей между одиннадцатью величинами: пятью параметрами газа (три составляющих скорости и две термодинамические величины) с каждой из сторон волны и скоростью Р. Поэтому, если задать состояние газа с одной стороны волны и ее скорость В, то соотношения (7.15) определят состояние газа с другой стороны.
В частности, при этом определится и величина, стоящая слева в выражении (7.19), 140 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ т, е. поверхностная плотность притока энтропии из-за необратимости процесса перехода газа через разрыв (и сосредоточенного внешнего теплоподвода, если он не равен нулю). Подчеркнем, как следствие этого, что хотя прирост энтропии при адиабатическом переходе газа через разрыв обусловлен необратимыми диссипативными процессами, сопровождающими этот переход, величина прироста энтропии не зависит от конкретного вида диссипативных процессов. Выпишем условия на разрыве (7.15) в системе координат, в которой скорость распространения поверхности разрыва Р в данной точке равна нулю: Р1пм Р2п т (7.20) р1п, У вЂ” р м = р о„, У, + р и, (7.21) Для поверхности контактного (тангенциального) разрыва в этом случае о„, == и„,, = О, т.
е. газ вблизи рассматриваемого элемента поверхности разрыва может иметь лишь касательную к элементу составляющую скорости. Для ударных волн, для которых и„,~О, О„,~О, преобразуем систему (7.20) — (7.22) следующим образом. Вместо уравнения (7.21) запишем его проекцию на нормаль к разрыву и его векторную составляющую (7.18) в касательной к разрыву плоскости. С учетом того, что и„ ВЕ О, это даст 1 и ~ \ + р я р о + (7.23) (7 24) В уравнении энергии (7.23) разделим все слагаемые на рп„~О Так как согласно (7.24) Ум= У~, то в результате получим: (7.25) Система соотношений (?.20), (7.23) и (7.25) имеет точно тот же вид, что и полученная в 3 4 система (4.4) условий на скачках, нормальных к направлению потока (У, =0), если в последней величину скорости У заменить ее составляющей, нормальной к скачку.
В общем случае У, Ф 0 к этой системе добавляется условие (7.24) сохранения касательной составляющей скорости газа при переходе через ударную волну. Подчеркнем, однако, что выражения в левой и правой частях соотношения (7.25) при Ут Ф 0 не равны полному теплосодержанию газа до разрыва и после него, так как они не содержат слагаемых $",,12 и Р,!2 соответственно. Однако в силу равенства этих слагаемых очевидно, что полное теплосодержание газа при переходе через ударную волну сохраняется и в этом случае (в системе координат, в которой ударная волна в данной точке неподвижна).
Все выводы, полученные в 3 4 для скачков, остаются в силе и в общем случае, если под скоростью там понимать ее нормальную $7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 141 составляющую. В частности, сохраняется соотношение Гюгонио и все следствия, вытекающие из его анализа. Для газов, для которых ао ~ ,~ -. О, скорость газа перед скачком в системе координат, в котоЛР*(,- рой скачок покоится, всегда сверхзвуковая (У',> о„, > а,).
Полная скорость газа за скачком может быль и дозвуковой, и сверхзвуковой (но всегда о„, (а,). Приведем еще условия на ударной волне в системе координат, в которой газ перед волной покои~ся. После несложных преобразований получим — р,0= ро (о„,— 0), (Ро — Ро) П = — Р,0У„ 7 Уоа Выведем одно важное следствие соотношений (7.15) для ударных волн. Уравнение импульсов в проекции на нормаль к волне умножим почленно на О, после чего вычтем из уравнения энергии. Это даст ~Р(о„— 0) ( 2 +е — со0) +Р(о„— 0)~ = О. Умножив и разделив последнее слагаемое на р, вынесем за скобки 1 1 р (со†0). Используя уравнение сохранения массы, найдем (йо — оо01 = О.
Отсюда следует, что при 0~0 полное теплосодержание газа изменяется при прохождении по нему ударной волны, причем йоо йоо (поо ооо) 0 ( 1 ) 0 (0 ооо) Так как для волн сжатия р, ( р„а 0 и 0 — и„, имеют одинаковые знаки, то при 0чьО всегда й„> й„, т. е. полное теплосодержание газа после прохождения по нему ударной волны увеличивается. В конкретной задаче о движении газа дифференциальные уравнения (7.10) и соотношения (7.!5) на возможных внутри области течения поверхностях разрыва параметров газа должны быть дополнены условиями, позволяющими выделить отыскиваемое движение из всей совокупности возможных движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
