Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Уравнения в характеристической форме Вернечся к уравнениям $ ! в эйлеровых переменных — ( — + и — )+ р — +(У вЂ” !) — =О, 1 /др дрт ди ри аи (, д! дх ) дх х ди ди ! др — + и — + — — =-О, д! дх р дх дх да — '+ и — =О. д! дх (3.1! (3.2. (3.3) где о,= 1, 2п, 4п для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно. При у=-2 и у=3 условие (2.5) задает особенность в поведении плотности потока массы ри при х О. Аналогично в некоторых задачах могут задаваться особенности в поведении на границах области течения потока импульса или потока энергии. Могут быть и другие следующие из постановки физической задачи особенности поведения параметров газа при приближении к части границы области движения в плоскости х, ! или к отдельным точкам этой границы.
В конкретных механических задачах выбор начальных и граничных условий обычно не вызывает особых трудностей, поскольку он диктуется непосредственно физическими соображениями. Однако в более сложных случаях, как показывает приведенный выше пример течения с проницаемой границей, может возникнуть вопрос о числе условий, которые необходимо задавать на отдельных частях границы области движения.
Как уже было сказано, этот вопрос будет рассмотрен позже при изучении свойств решений системы уравнений одномерных нестационарных движений. а 3. уРАВнения В хАРАктеРистической ФОРме [ЕТ вЂ” +СА —, д д д! А дх' (3.4) где с — некоторые функции независимых переменных и искомых величин. Системы квазилинейных (и линейных) уравнений, которые допускают такое преобразование, причем у преобразованной системье определитель из коэффициентов при производных (3.4) отличен от нуля, называют гиперболическими. Направления дифференцирования в плоскости х, 1, определяемые формулами — = с...' дх д! (3.5) называют характеристическими направлениями, а линии, определяемые уравнениями (3.5),— характеристиками исходной системы уравнений, в нашем случае уравнений (3.1) — (3.3). Очевидно, что если характеристические скорости с„зависят от искомых функций, то характеристики системы уравнений различны для разных решений этои системы.
Уравнения, связывающие производные искомых функций вдоль характеристических направлений, называют уравнениями в характеристической форме или иногда — условиями совместности. Итак, попытаемся привести уравнения (3,1) — (З.З) к характеристической форме. Не описывая алгоритм такого приведения в общем случае *), заметим, что уравнение (З.З) уже имеет характеристическую форму. Для того чтобы привести к характеристической форме уравнения (3,1) и (3.2), рассмотрим следующие их линейные комбинации: прибавим второе из уравнений к первому, умноженному сначала на а,'р, а затем — умноженному на — а!р. В результате вместе с уравнением (3.3) получаем систему ди ди, 1 — +(и+ а) — +— д! дх ра ди ди ! — + (и — а) — —— д! дх ра + (У вЂ” 1) — = О, (3.6) — (У вЂ” 1) — „=- О, (3.7 д5 дз — + и — =О.
д! дх (3.8) '! С ним можно познакомиться, например, в [51 или [9!. Система (3.1) — (3.3) линейна относительно частных производных искомых функций по координате х и по времени !. Козффициенты в уравнениях при производных и свободный член зависят от искомых функций„так что зта система является квазилинейной (см. 4 8 гл. 1). Попытаемся заменить уравнения системы (3. !) — (3.3) их линейными комбинациями так, чтобы каждое уравнение новой системы содержало производные от входящих в него функций только по одному направлению в плоскости х, 1, т.
е. чтобы й-е уравнение содержало тольк~ производные вида !зц Гл. и. ОднОмеРные неустАИОВившиеся дВижения г(и+ — = (ч — 1) — "Й, йх= (и+ а) й, Ра х г(и — Р = (ч — 1) —" с(1, дх = (и — а) й, ра х аз=0, ах= ис(1. (3.10) Наряду с плоскостью х, г бывает удобно рассматривать движение и в плоскости и, р (или и, а), изображая на этой плоскости, в частности, линии, соответствующие характеристикам, т.
е. линии, вдоль которых выполняются характеристические соотношения. Эти линии для краткости тоже называют характеристиками. Особенная наглядность представления результатов решения ряда задач достигается при использовании плоскости переменных и, р. Это — система в характеристической форме (определитель из коэф. фициентов при производных по характеристическим направлениям 2 равен — — ~0). Таким образом, система уравнений одномерных рч неустановившихся движений является гиперболической при всех значениях независимых переменных и искомых функций. Из уравнений (3.6) — (3.8) следует„что характеристические направления и характеристические скорости для одномерных неустановившихся движений определяются формулами ( — „,) =с,=и+а, ( — „~ =с = — а, ( —,) =с,= .
(39) Согласно этим выражениям для каждого решения уравнений (3.1) — (3.3) в области плоскости х, 1, где определено решение, можно построить три семейства линий — характеристик. В случае непрерывных движений через каждую точку области движения проходит одна и только одна характеристика каждого семейства. Уравнения (3.9) определяют перемещение в физическом простран. стае поверхностей (сфер, цилиндров, плоскостей при У=З, 2, 1 соответственно) с характеристическими скоростями.
Очевидно, что поверхности, соответствующие первым двум уравнениям (3.9), движутся относительно частиц газа со скоростью звука а в сторону роста или убывания координаты х (вправо или влево), а поверхности, соответствующие третьему уравнению (3.9), движутся вместе с частицами газа. Характеристики й' и Ф первых двух семейств в плоскости х, ! называют эеукоеыми (акустическими) характеристиками, а характеристики третьего семейства й' — контактными (энтропийными) характеристиками или, согласно уже принятому ранее наименованию,— траекториями.
Очевидно, что в каждой точке направление траектории разделяет направления звуковых характеристик (при одном и том же знаке й). Уравнения (3.6) — (3.8) можно представить в виде соотношений между дифференциалами искомых функций вдоль соответствующих характеристических направлений, а именно в виде за. УРАВНЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 15Э В случае баротропных и, в частности, в случае изоэнтропических течений достаточно рассматривать две первые пары соотношений (3. 10). Уравнение г(х=ий в этом случае может использоваться при необходимости для определения закона движения частиц. Для баротропных течений соотношениям (3.10) можно придать более удобный вид.
Для этого, пользуясь тем, что а= )/ дР =а(р), (3. 11) введем функцию о, имеющую размерность скорости, с помощью формул: Р Р ~а ~др (3.12) Р Р (3.13) придадим двум первым парам соотношений (3.!0) вид Ь = — (и — !) — й, е(х=(и+а)й, Х (3.1 4) Ж= (ч — 1) — й, е(х=(и — а) й или — в форме уравнений в частных производных— дг дг аи — +(и+а) — '= — (У вЂ” 1) —, д( дх х д( д( аи — + (и — а) — = (у — 1) —.
д( дх Х В этих уравнениях величины и и а суть известные в силу формул (3.11) — (3.!3) функции г и й — И Н=+. (3.15) Переменные г и ! называются переменными Римана е) или инеариантами Римана. Смысл последнего названия ясен из того, что в случае баротропных движений с плоскими волнами (которые изучал Риман) в левом столбце соотношений (3.!4) г(г=О и й= 0 и эти соотношения при- *) Риман (йиегпапп) Бернхард (1826 — 1866) — немецкий ученый, основоположник ряда плодотворных направлений в математике.
Развил, в частности, теорию дифференциальных уравнений, описывающих одномерные движения газа. Здесь постоянные пределы интегрирования определяются в конкретных случаях соображениями удобства представления формул. С помощью новых переменных г=и+о, 1=-и — о 1еп гл. !!. Одномеяные не»становившиеся дВижения нимают вид г = сопз( при <(х = (и + а) с(1, 1= сопз( при с(х = (и — а) Й, (3.
16) так что величины г и 1 не меняются (инвариантны) вдоль характеристик первого н второго семейств соответственно. Таким образом, при баротропных движениях с плоскими волнами каждая акустическая характеристика <несет» определенное значение инварианта г или 1. В плоскости г, 1 или и, и сеть характеристик, т. е. линий г= =сонэ! и 1=сонэ(, представляет собой два семейства прямых линий. В плоскости переменных и, р или и, а или других связанных с ними параметров эта сеть топ а же не зависит от конкретного решения и Рис.
2.3.! целиком определяется свойствами газа. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями при адиабатических течениях Р а ~а(2(12а Р т — 1„т — 1' О а так что 2а 2а г= и+ —, 1=и —— т — 1' т — ! (3.17) и, обратно, г+! и=— 2 1 а = — (г — 1). т — 1 4 Линии г =- сопз! и 1= сонэ( в плоскости и, а представляют собой при этом два семейства параллельных прямых, заполняющих верхнюю половину плоскости (рис. 2.3.!). Отметим, что при у 3 инварианты Римана (3.17) имеют вид г = и+ а, 1= и — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
