Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Несколько более сложной связью на траектории в задаче Н1 типа является дифференциальная связь в упоминавшемся ранее случае разгона поршня газом: Ыи ВХ м — = (р — р,) у', — = и. В7 ~ ' В7 Еще раз подчеркнем, что изложенное описание решения сформулированных задач предполагает существование их непрерывно дифференцируемого решения (в задаче Гурса траектория, исходящая нз точки пересечения характеристик, может быть линией слабого разрыва энтропии). Рассмотрим границу области течения со стороны меньших 1. Пусть участок этой границы является пространственно-подобным. Тогда возможны два случая: характеристики в" 1, в', в" либо все исходят из точек границы внутрь области течения (рис.
2.6.3,а), либо все они направлены из этой области наружу (рис. 2.6.3, 6). РВС.2.6.3 В первом случае на участке границы должны задаваться значения всех трех определяемых величин, так как параметры течения во внутренних точках области течения в окрестности такого участка границы находятся из соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек границы; во втором случае на границе не следует задавать никаких условий, так как все величины во внутренних точках области течения и на самой границе определяются из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения. Если участок границы области течения является временно-подоб ным, то из него внутрь области течения могут исходить либо две характеристики — одна акустическая, например Й+, и энтропийная в"' (рис.
2.6.4, а), либо только одна акустическая характеристика (рис. 2.6.4,6). Соответственно из области течения к границе подходит либо только одна акустическая характеристика, либо еще и $ З. ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ ИА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 171 энтропийная. На таком участке границы должны соответственно задаваться либо два условия для искомых функций„либо только одно такое условие, а параметры течения во внутренних точках области течения находятся при этом в первом случае (рис.
2.6.4, а) из двух соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек границы, и одного — вдоль характеристики, идущей из области течения при меньших 1 («из прошлогоэ), а во втором случае (рис. 2.6.4, б)— из одного соотношения вдоль характеристики, исходящей из точки Рис. 2.6.4 границы, и двух — из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения.
Подчеркнем, что характер кривой (пространственно-подобная или временно-подобная в первом или втором вариантах) связан с значениями искомых функций на ней и поэтому не во всех случаях заранее определен. Соответственно с этим в процессе движения может меняться число условий, которые необходимо задавать на границе для определения решения. При постановке граничных условий полезно учитывать, что пространственно-подобная граница в плоскости х, 1 соответствует, очевидно, перемещению этой границы со сверхзвуковой скоростью относительно газа, а временно-подобная — дозвуковой. При этом сквозь пространственно-подобную границу газ втекает внутрь области течения в первом случае и вытекает — во втором, сквозь временно- подобную тоже либо втекает (в первом из рассмотренных случаев), либо вытекает (во втором случае), в промежуточном случае, когда граница совпадает с характеристикой й' (траекторией), она непроницаема для газа.
Если сама граница области течения должна находиться при решении задачи (как это было, например, выше в задаче со свободной границей), то число краевых условий на такой границе должно быть на единицу большим, чем это следует из предыдущего рассмотрения. При отыскании непрерывных решений задач, в которых граничные значения функций задаются на пересекающихся отрезках кривых различных типов, должны быть выполнены условия согласования этих значений в точке пересечения кривых. В противном случае в потоке возникнут разрывы или другие особенности. С примерами ~тэ гл. и.
одномв ныв иекстлновившиася движвния такого несогласованного задания краевых условий (обусловленного постановкой физической задачи) мы встретимся позднее. Заметим, что в ряде случаев вопрос о математической корректности постановок задач с краевыми условиями различных типов до настоящего времени не решен. Вернемся к рассмотренному в ~ 2 примеру, когда неподвижная правая граница области течения проницаема для газа, причем связь между массовым расходом газа сквозь границу и давлением на ней определяется соотношением (2.3).
Могут представиться различные случаи. Если газ вытекает из трубы с дозвуковой скоростью, то граница х=х„очевидно, является временно-подобной с одной исходящей от нее внутрь области течения акустической характеристикой (характеристические скорости с, > О, сэ > О, с < 0). В этом случае при определении течения внутри трубы на границе х=х, достаточно задавать одно условие (2.3). Если газ втекает в трубу с дозвуковой скоростью, то граница вновь является временно-подобной, но с двумя идущими внутрь области течения характеристиками — акустической М и энтропийной Ж'(с, < О, с > О, с < 0). Поэтому в этом случае дополнительно к условию (2.3) на границе нужно задавать еще одно условие — энтропию втекающего газа.
Если скорость втекания газа в трубу у границы х=к, сверхзвуковая, то граница является пространственно-подобной и все три характеристики направлены внутрь области течения (с, < О, с, < О, с < 0); на границе должны быть заданы значения всех трех параметров газа или эквивалентные этому три связи между параметрами. (К примеру, если граница х =х, представляет собой выходное сечение сопла Лаваля, через которое газ из большого резервуара втекает в трубу, и движение в сопле можно принять за установившееся, то должны быть заданы скорость, давление и энтропия газа в выходном сечении сопла.) Наконец, если газ вытекает через сечение х=х, со сверхзвуковой скоростью, то все три характеристики подходят к границе из области течения (с, > О, се > О, с > 0) и на границе не могут быть предписаны заранее никакие условия.
й 7. Простые волны (волны Римана) Рассмотрим баротропные, в частности, изоэнтропические течения с плоскими волнами. Для таких течений вдоль характеристик справедливы соотношения (3.16) г= сопз( при дх=(и+ а) Й, 1= сопз1 при Их = (и — а) й. Пусть один из инвариантов Римана, например 1, постоянен не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но имеет й 7. пРОстые ВОлны (Волны РимАнА) одно и то же значение во всей области течения, т. е. пусть в этой области имеется интеграл 1=1,=сопя!.
Тогда вдоль каждой характе- ристики первого семейства постоянны оба инварианта Римана г и!, а следовательно, постоянна и сумма и+ а, так что можно проинте- грировать и второе соотношение вдоль характеристики первого семей- ства и получить еще один интеграл х — (и+ а) 1= Р(г), содержащий произвольную функцию Р(г) *). Таким образом, в рас- сматриваемом течении характеристики первого семейства являются прямыми линиями, причем вдоль каждой из них все газодинамиче- ские величины постоянны.
Функцию Р можно, конечно, считать за- висящей не от г, а от любой нз величин р, р, а или от скорости и. Интегралы 1(и, а)=1„х — (и+а)1=1(и) (7.1) определяют в неявной форме зависимости скорости и н скорости звука а от координаты х и времени 1. Течения, описываемые этими интегралами, называются простыми волнами или волнами Римана. Аналогичные интегралы г(и, а) = г„х — (и — а) 1=у(и) (7.2) описывают простые волны с прямолинейными характеристиками второго семейства. Название «волна» для описанных движений газа оправдано тем, что при таких движениях состояние с неизменными значениями параметров †скорос, давления, плотности, скорости звука †распространяется по частицам газа со своей постоянной скоростью звука, опережая частицы или отставая от них.
В связи с этим простые волны, описываемые интегралами (7.!), называют еще бегущими вперед, а описываемые интегралами (7.2) — бегущими назад, Очевидно, что область в плоскости течения х, 1, занятая волной Римана, при переходе в плоскость г, 1 вырождается в отрезок линии г=сопз! илн 1=сопя!. Таким образом, простые волны и есть те особые случаи течений, о которых говорилось в конце 2 3. Наличие в формулах для простой волны одной произвольной функции позволяет удовлетворить одному условию, наложенному на искомые функции.
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями волны Римана с использованием зависимых переменных и и а описываются формулами и — — = сопз(, х — (и + а) 1= 1(и), 2а у — ! и+ — = сопя!, х — (и — а) 1= а(и). 2а у †! *) Этот интеграл для случая а=соне! (т. е. когдв поведение газа описывается законом Бойля — Мариотта р=а'р, а=сон»!) впервые получил в )808 г. Пуассон (см. ссылку нз с. 20). !74 ГЛ.
11. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Для такой волны 1= и — о = сопз1, х — (и + а) 1= 7 (и). Пусть распределение параметров в волне известно в некоторый момент времени. С ростом времени прямолинейные характеристики в этой волне сходятся, если в ней д(и+в) < О дх и расходятся при выполнении противоположного неравенства. Преобразуя написанное неравенство к виду в(и+в) дР в(ои В) дР О (др дх др дх н используя выражения (3.11) и (3.!2) для а и о, после несложных выкладок получим о~а~ дев др — — — ( О. 2 дрз дх Здесь и до конца абзаца о — удельный объем.
Из последней фор- дсо мулы следует, что для сред, для которых —,~ >О, а, следовательно, для нормальных газов и, в частности, для совершенных газов с постоянными теплоемкостями при 7 > — 1 или для баротропных процессов, Рис. 2.7.! д2о в которых —, > О, характеристики с ростом времени сходятся (рис. 2.7.!,а), если давление в частицах возрастает при распространении по ннм волны Римана (такие волны называются волнами сжатия), и расходятся (рис. 2.7.!,б), если давление в частицах уменьшается (зги волны называются волнами разрежения), Для сред, для которых д'о!др'), < О, этот вывод меняется на противоположный.
В случае, если д'о/др' =- О, т. е. если р = А — Во, где А и В— постоянные (модель газа', Чаплыгина, см. с. 162), прямолинейные характеристики в волне Римана параллельны независимо от 5 Т. ПРОСТЫЕ ВОЛНЪ| (ВОЛНЫ РИМАНА) 175 того, является ли волна Римана волной сжатия или волной разрежения. Из того, что в волне„бегущей вперед, 1=-и — о=сонэ(, следует /Г// вс ! ВР ш |и раж' — = — = — —, так что волны сжатия ускоряют частицы в направлении своего распространения; в волнах разрежения, наоборот, частицы получают ускорение в противоположном направлении. Очевидно, это же верно и для волн, бегущих назад. Если все прямолинейные характеристики волны Римана выходят из одной точки х„1, плоскости х, 1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
