Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если соотношений вдоль подходящих к разрыву характеристик и граничных условий на разрыве как раз достаточно для определения всех искомых величин, то такие разрывы называются вволюционными (т. е. позволяющими проследить за зволюцией во времени течений газа с такими разрывами). В противном случае разрывы называются невволюционными. Для эволюционности газодинамического разрыва число граничных условий на нем должно быть равно 7+йà — и или 7+ааà — т+з, где з — число уходящих от разрыва (идущих «в будущее») характеристик, а т = а+ з — общее число приходящих и уходящих характеристик.
188 гл. и, одномеиные неустАновившиеся Ви:кения о об+ бладая детонация Ударная донна сильное детонация т б,е а гб+ Сильнее дяфлаврация 1окачок раврвтвния ) т б, о ч владая дефлавраяио т=б,в б Рис. 2.9.! Скорость контактного разрыва по отношению к газу с обеих его сторон равна нулю. Поэтому от такого разрыва в каждую сторону отходят по две характеристики †од акустическая и ',одна энтропийная (рис. 2.9.1, а), причем обе энтропийные характеристики образуют одну сдвоенную, совпадающую, с траекторией разрыва. Таким образом, в этом случае з= 4, лс =-8, так что число требуемых дополнительно условий есть 7+ 5 — т=-З, что как раз равно числу условий на контактном разрыве (9.4), следующих из законов сохранения.
Таким образом, контактный разрыв эволюционен. Скорость ударной волны сжатия относительно газа за ней дозвуковая, а относительно газа перед ней — сверхзвуковая. Вследствие этого от ударной волны по газу за ней уходят две характеристики — энтропийная и акустическая (рис. 2.9.1, б), все остальные характеристики подходят к волне. В этом случае т=6, 8=-2 и число требуемых условий совпадает с числом условий на ударной Выясним, являются ли эволюционными изученные ранее разрывы — контактные разрывы, ударные волны, волны детонации и волны дефлаграции. Для разрывов первых двух типов 1ч'=О; поэтому для их эволюционности число граничных условий на разрыве должно быть равно 7 — т+ з.
В соотношениях на волнах детонации и дефлаграции входит величина теплоподвода д, в общем случае заранее неизвестная (см. сноску на с. 112), так что для таких волн М= 1; если, однако, как предполагалось выше, считать величину д заданной, то и в этом случае У=О. 99 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ 1З9 волне (9.5), следующих из законов сохранения. Следовательно, ударная волна есть тоже эволюционный разрыв. Аналогичное рассуждение свидетельствует об эволюционности волны сильной детонации (рис.
2.9.1,б). Волна слабой детонации (быстрого горения) распространяется по газу перед ней и за ней со сверхзвуковой скоростью, а волна слабой дефлаграции (медленного горения) — с дозвуковой скоростью. От волны слабой детонации уходят три характеристики — все в сторону газа за ней (рис. 2.9.1,в); со стороны газа перед волной все характеристики — приходящие.
От волны слабой дефлаграцни уходят тоже три характеристики: две акустические — по одной в каждую сторону и энтропийная — по газу за волной (рис. 2.9.1,г). Таким образом, для эволюционности этих двух видов разрывов необходимо к трем условиям, следующим из законов сохранения, добавить еще одно. В конце э 5 гл. ! уже говорилось, что таким условием может быть задание скорости распространения волны по газу перед ней как характеристики физико-химических свойств среды. От волны сильной дефлаграции, имеющей дозвуковую скорость по газу перед ней и сверхзвуковую †газу за ней, вперед уходит акустическая характеристика, а назад †в три характеристики (рис.
2.9.!,д). Для эволюционности такого разрыва дополнительно к трем условиям, налагаемым законами сохранения, необходимы еще два условия (об этом также говорилось в ~ 5 гл. 1). Детонация и дефлаграция Чепмена — Жуге являются предельными случаями соответственно сильной детонации (рис.
2.9.1, б) и слабой дефлаграции (рис. 2.9.1,г); в этих случаях подходящая к разрыву сзади характеристика й+ касается траектории фронта или совпадает с ней. Расположение характеристик на рис. 2.9.! показывает, что течения с обеих сторон контактного разрыва или фронта медленного горения (слабой дефлаграции) взаимосвязаны: с каждой стороны линии разрыва есть характеристики, идущие по направлению к ней и от нее (линия разрыва является временно-подобной для обеих областей течения, см. 9 4). В случае ударной волны или волны сильной детонации нет характеристик, идущих от волны вперед; для течений же позади этих волн они являются временно-подобными линиями. Таким образом, ударная волна или волна сильной детонации распространяется по независимо развивающемуся перед ней течению и подвержена влиянию идущих к ней сзади акустических возмущений.
Волны слабой детонации или сильной дефлаграции пространственно-подобны по отношению к течению позади них; их распространение не зависит от того, что происходит в области течения за ними, а наоборот, полностью определяет это течение. При этом волна сильной дефлаграции влияет на течение перед ней (по отношению к нему она является временно-подобной линией), тогда как волна слабой детонации, подобно ударным волнам и волнам сильной дето- 199 гл.
и. одноменные ненстлновившиеся движения нации, никакого влияния на течение перед ней не оказывает (нет характеристик, идущих от волны вперед) *). Выведем теперь дополнительно к тому, что было сделано ранее— в гл. 1, еще некоторые важные и нужные для дальнейшего связи между параметрами газа на ударной волне, следующие из соотношений (9.5). Уравнению импульсов (9.2) с использованием величины т можно придать одну из следующих форм: р — р,=т(и,— ц), р — р,=та(п,— и). Здесь п — удельный объем. Заменив во втором соотношении величину т' на р',(и,— Р)а или на р'(и — 0)з и разрешив его относительно О, получим г х) — и,=~ ~l о', Р Р' или 0 — и=~ 1I ьл Р Рг .
(9.6) ' иг-о ч ог — и Зти выражения дают скорость ударной волны, распространяющейся по газу в одну или другую сторону, через изменение термодинамических параметров в волне. Исключив же из обоих выражений для р — р, величину т, найдем формулу для изменения скорости в волне и — и, = ~ У (р — р,) (и, — и). Формулы (9.6) и (9.7) получены только из законов сохранения массы и импульса; их вид не связан с энергетическими процессами в газе при переходе его через волну.
Закон сохранения энергии, с помощью которого устанавливается дополнительное условие для изменения термодинамических параметров газа в волне — соотношение Гюгонио, позволяет выразить правые части формул (9.6) и (9.7) через изменение лишь одной величины — давления или удельного объема (плотности). Рассмотрим теперь некоторые следствия соотношений на ударных волнах, справедливые для предельных случаев волн малой или, наоборот, очень большой интенсивности. Ранее при изучении адиабаты Гюгонио было выяснено, что изменение состояния газа в ударных волнах небольшой интенсивности с точностью до членов порядка (р — р,)' включительно происходит изоэнтропически.
Ударные волны, которые удовлетворяют этому условию, назовем слабыми. В слабой ударной волне и в волне Римана связь между удельным объемом н давлением до членов порядка ') Отметим, что у адиабатического скачка разрежения (допускаемого законами сохранения, но противоречащего в средах с део/дра > О второму началу термодинамики) расположение характеристик такое же, как у волны сильной дефлаграции (см. рис. 2.9.1, б). Это значит, что такой скачок был бы незволюционным, а его распространение в противоречии с физическим смыслом не зависело бы от условий течения позади(него, т. е, от причин, как раз и вызывающих образование и распространение скачка.
49. СООТИОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ 191 (р — р,)' включительно одинаково, а именно: 1 Р(~ Р1)+ 2 РР(' (9.8) Выразим скорость Ар с учетом членов следующего приближения в разложении (9.8), т. е. с учетом в нем членов порядка (р — р,)'. Найдем сначала выражение для скорости звука а: (9.11) Простыми выкладками, подставляя в первую формулу (9.7) разложение (9.8) для о, получаем )р=и,~а,~ (р — Р).
49р С другой стороны, сложение и вычитание выражений (9.10) и (9.11) для и и а дает и~а=и,~а,~ — (р — р,). (9.13) 29р Исключив из двух последних соотношений слагаемое с разностью р — р„находим А) = — (и, ~Р а, + и +- а). 1 (9. 14) где производные ор и орр берутся при постоянной энтропии и соответствуют состояийю газа перед волной. Связь (9.7) между скоростью и давлением в слабой ударной волне приобретает тот же вид ба= ~)Р— бра, (9.9) что и в бегущей волне Римана. Используя при интегрировании выражения (9.9) соотношение (9.8), получим в обоих случаях ОГ 1 Ррр и — и,= ~ — (р — р,) 1Ь1+ — — (р — р,)1 (9.10) ЕГ 4 Р, (верхний знак соответствует распространению волн вправо, нижний— влево). Поскольку в слабых ударных волнах связь между изменением скорости и изменением давления или плотности та же, что и в бегущей в ту же сторону простой волне, то отсюда следует, что в слабой ударной волне соответствующий инвариант Римана не терпит разрыва.
Выражение (9.6) для скорости ударной волны показывает, что при учете в разложении (9.8) только членов порядка р — р„т. е. в линейном приближении, скорость ударной волны по частицам есть скорость звука В=и-~а,. !92 Гл. н. ОднОмеРные неустлнозиешиеся движения р(и — 0)= — р,О, р=р,иР, (е — тз)~ 1Ф вЂ” +Ь= —. 2 2, (9.15) Таким образом, в случае сильных ударных волн состояние газа перед волной влияет на параметры газа за ней только через вели- чину плотности р,; величина давления р, и значение скорости и, перед волной становятся при этом несущественными.
Запишем соотношения (9.15) в системе координат, в которой волна неподвижна, полагая и=О+ и' и Р=- — и,': У ри =р,и,', Ф 3 р+ ри =р,и,', .В и и( — +л= — ' 2 Эти соотношения отличаются от исходных условий на неподвижной волне тем, что в уравнении импульсов опущена величина давления р, по сравнению с количеством движения набегающего на волну потока, а в уравнении энергии опущена величина теплосодержания й, по сравнению с кинетической энергией набегающего на волну потока.
Пусть ударная волна распространяется по покоящемуся газу со скоростью О. Газ за волной имеет скорость и, определяемую из уравнения неразрывности В ударных волнах сжатия (р>р,) газ приобретает скорость в направлении распространения ударной волны, причем скорость газа тем ближе к скорости самой волны, чем сильнее уплотнение газа в волне. Если воспользоваться полученным ранее выражением (4.5) гл.
1 для отношения р,/р в ударных волнах в совершенном газе, то Таким образом, скорость распространения слабой ударной волны равна полусумме скоростей распространения слабых возмущений перед волной и за ней. Заметим, что этот результат не связан с конкретными термодинамическими свойствами вещества (единственным требованием является условие ор < 0). Выражение (9.14) будет использовано ниже в задаче о затухании ударных волн и в других задачах о движениях газа со слабыми ударными волнами. При очень большой скорости распространения ударной волны Р в соотношениях на волне (9.5) можно пренебречь слагаемыми и,(Р, р,/(р,Р'), е,/О' по сравнению с единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
