Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2.!1.4 на рис. 2.11.4. В связи с таким пове- дением давления совокупность затухающих головной и хвостовой ударных волн с волной Римана между ними называют л7-волной. Часть волны Римана влево от характеристики х=а,1 не взаимодействует с первой ударной волной, поэтому поведение первой ударной волны одинаково при любом и„<0 (при и,=О интенсивность второй ударной волны обращается в нуль). При 0 < и, < и, задний фронт волны Римана, образующейся при изменении скорости поршня в точке О, взаимодействует с ударной волной (11,9) конечное время, после чего интенсивность ударной волны будет сохраняться неизменной, пока ее не догонит фронт волны Римана, идущей от точки второго изменения скорости поршня, после чего вновь начинается ослабление ударной волны. Совершенно аналогично предыдущему можно решить задачу об ослаблении или об усилении ударной волны в случае, когда волна Римана за ударной волной или перед ней не является центрированной, но газ с одной из сторон ударной волны покоится.
В этом случае вместо связи (11.7) между и, х и 1 будем иметь х = (и+ а) 1+ 7 (и) с 7(и)чмО. Это соотношение вместе с уравнением (!1.6) дает в параметрическом виде (с параметром и) дифференциальное уравнение для определения формы ударной волны. Естественно, что предыдущие выводы справедливы лишь в рамках приближений теории слабых волн. В более точной теории при взаимодействии простой волны с ударной волной образуется отраженная волна, изменяющая падающую, и возникают возмущения энтро- $1!.
ВЗАимОдейстВие Бегущей ВОлны с удлгнои ВОлнОЙ 2О3 пии. Эти эффекты для волн небольшой интенсивности имеют порядок (р — р,)'. Рассмотрим теперь задачу о движении газа при наличии контактного разрыва. Пусть контактный разрыв разделяет области однородного состояния различных газов или одного и того же газа, но имеющего в обеих областях разную плотность и температуру (давления с обеих сторон контактного разрыва одинаковы;области справа и слева от контактного разрыва будем для краткости называть соответственно «правым» и «левым» газом).
Для простоты допустим, что газ вначале неподвижен (рис. 2.1!.5). Пусть к контактной поверхности подходит, например, слева, бегущая волна (- и — о-=(, ((,=сопз1), х= =-(и-! а)1-' )(и), где )(и) — заданная функция. Начиная с точки О (при л =х,) эта волна Взаимодействует с контактной поверхностью. От точки О по правому газу вдоль известной прямолинейной характеристики ОА будет распространяться фронт возмущений, Рис. 2.1 цз к которому примыкает бегущая волна (проходящая или преломленная волна). Влево по газу передний фронт отраженной волны будет распространяться вдоль известной характеристики второго семейства ОВ. Требуется определить движение газа в угловой области между характеристиками ОА и ОВ и пай~и, в частности, траекторию контактного разрыва.
Отметим, что для правого газа контактный разрыв служит поршнем, движение которого, однако, заранее неизвестно и определяется при решении задачи. Движение в правом газе является волной Римана с интегралом 1= — и — В=(„=сопз1, дающим связь между давлением и скоростью и — о«(р) = — ц+ (р,). (1! .11) Здесь и ниже индексом !- обозначены величины для правого газа. Так как на контактном разрыве скорость и давление газа с обеих сторон одинаковы, то эта же связь должна выполняться на контактном разрыве для левого газа, Таким образом, для левого газа нужно рассчитать течение в области между акустической характеристикой (второго семейства) и траекторией частицы, на которой задано условие (11.11) между искомыми функциями. Такая задача рассматривалась ранее (задача Ш типа в й 6).
Если подходящая к разрыву волна Римана переходит сзади в зону однородного течения, то характеристика второго семейства за точкой В будет прямолинейной и, следовательно, к ней будет примыкать волна Римана, бегущая по газу влево (отраженная волна). Контактный разрыв за точкой С будет в этом случае двигаться с постоянной скоростью, отделяя две области однородного состояния газа за проходящей и отраженной бегущими волнами.
204 Гл. и. ОднОмеРные неустхновившиеся дВижения Дадим качественный анализ поведения проходящей и отраженной волн. Для этого установим связь между изменением параметра Римана г в падающей волне и изменением параметра Римана 1 в отраженной волне и параметра г, — в проходящей волне. Согласно определению (3.!5) в левом газе г+! г — 1 2 ' (1) 2 так что условие (11.11) на контактном разрыве можно записать в виде связи между параметрами Римана 2 +~ ( 2 )! (11.12) Здесь Р(о) — функция, обратная о(р). Дифференцируя это соотношение вдоль контактной поверхности, найдем дг+ 31 — — "'; Р (Ыг — 31)=0, а'(р) откуда, используя определение (3,12) функции о(р), получаем локальную связь между изменением параметра 1 в отраженной волне и изменением параметра г в падающей волне й= р р ' юг=Юг. (11.
12а) ра+ (ра) г+1 г«+1 1 и=— 2 Отсюда Следовательно, 2 Йи = 1(г + с(1 = е(г, 21!и = г(г = Ра й =- й,г(г. ра+(ра) „ (11.13) Множитель я, связывающий г(г и Й, назовем коэффициенглом отражения. Так как этот коэффициент по модулю не превосходит единицу„то интенсивность отраженных возмущений меньше интенсивности падающих и лишь при (ра),=0 или (ра) =ао равна ей.
Величина ра, как уже говорилось в гл. 1 (см. формулу (1.8)), называется импедансом среды и характеризует ее «жесткостьж Если в падающей волне происходит разрежение (3г!«(1 < 0 вдоль линии контакта), то оно отражается вновь как разрежение (й(а1 ) О) от более жесткой среды и меняет свой характер, т. е. отражается как сжатие (Ж(е(1 (О) от более мягкой среды. Аналогичный вывод справедлив для волн сжатия. Для совершенных газов импеданс ра=рУур(р; поэтому в силу равенства давлений с обеих сторон контактного разрыва при одинаковых у у обоих газов вместо более жесткой или более мягкой среды можно говорить о более плотной или менее плотной среде.
Так как на контактном разрыве скорость и с обеих сторон одинакова, то э ы. взАимодействие еегущей волны с удАгной волной 205 Множитель й,=1+й, связывающий г)г и с(г„назовем коэффициенгпам преломления. Поскольку г)г и пг имеют одинаковгяе знаки, то проходящая волна всегда имеет тот же характер, что и падающая.
Одинаковые знаки у Йи и дг показывают, что при падении волны разрежения фг(Ж ( 0) контактный разрыв получает ускорение навстречу волне, при падении волны сжатия — в направлении распространения волны. Отражению от твердой (неподвижной) границы соответствует бесконечная величина импеданса (ра), = оо, так что й= †! и й = — йг, т. е. характер волны и ее амплитуда при отражении не изменяются. Отражению от свободной поверхности р = р, = сопз! соответствует нулевое значение импеданса (ра) = О, так что й = 1 и й = — дг, т.
е. амплитуда отраженной волны сохраняется, а характер ее изменяется на противоположный; при этом изменение скорости контактного разрыва вдвое превосходит изменение скорости в падающей волне (в этой волне с(и =с(г12, на контактном разрыве ди = с(г). Так как коэффициент преломления в соотношении (!1.!3) изменяется от нуля при (ра) = оо до двух при (ра), =- О, то интенсивность проходящей волны в более мягкой среде может превосходить интенсивность падающей волны до двух раз.
Если у обеих сред, разделенных контактным разрывом, значения акустического импеданса (и объемной сжимаемости до)др) одинаково зависят от давления, то А=О и, следовательно, отраженной волны нет, а скорость и давление в проходящей волне распределены по характеристикам так же, как в падающей волне. Для волн конечной амплитуды знак разности ра — (ра), может измениться при следовании вдоль линии контакта в плоскости х, 1: среда, бывшая первоначально более жесткой, станет более мягкой, и наоборот. т~. 1 гр~~т Для совершенного газа ра=(ра), ~ — ), так что при одинаР1 ковых у у контактирующих газов коэффициенты отражения и преломления на линии контакта сохраняются постоянными. (Нетрудно показать, что в общем случае при одном и том же газе с двух сторон разрыва достаточным условием сохранения знака разности импедансов является необращение в нуль в рассматриваемом диапазоне значений давления и энтропии производной дра1дз или, как следствие, производной й ,.) Как и в других уже рассматривавшихся случаях, если подходящая к поверхности контакта волна есть непрерывная волна сжатия, то в проходящей волне и в отраженной волне, если она тоже является волной сжатия, обязательно с течением времени возникнут ударные волны.
Расчет течения в области взаимодействия падающей и отраженной волн, т. е. решение упомянутой выше задачи П1 типа, можно произвести тем же аналитическим методом, что и при изучении Зов гл. и. одномвгныв неустлновившився движения взаимодействия простых волн ($ 8), используя в качестве независимых переменных параметры Римана г и 1, т. е, решая уравнения (3.20). В плоскости г, 1 область взаимодействия ОВС переходит в треугольник (рис.
2. 11.6). Сторона ОВ этого треугольника соответствует падающей волне Римана, где 1=1,=сонэ(, сторона ОС определяется уравнением (11.12), замыкающая сторона с г= г,.= сопз1 соответствует отраженной волне Римана. На стороне ОВ известны искомые функции х и 1 (связаниые характеристическим соотношением), на стороне ОС (она соответствует траектории частицы) х и 1 подчинены условию дх=иг(1, т, е.
Их= ='!, (г+ 1) г(1. а а Выпишем уравнение (1 !. !2) для адиабатических движений совершенного газа с одинаковыми значениями у с обеих сторон разрыва. Как говорилось ранее, в этом случае коэффициент Й постоянен, так что, интегрируя (11.12а), получим 1= йг — (1+ /г) у,. (!1.14) Таким образом, линия ОС вЂ прям. Рассмотрим вновь наиболее простой случай у= 3. При у= 3 вследствие прямолинейности характеристик в плоскости х, 1 связи для простых волн х= г1+1(г) — для падающей волны и х= 11+ д(1)— для отраженной сохраняются и в области их взаимодействия. Необходимость одновременного выполнения на линии контакта этих связей и условия г(х='1,(г+1)Ш дает возможность по заданной функции 1(г) найти траекторию разрыва х-х(г), 1=1(г) (определяющую преломленную волну Римана) и функцию и(!), определяющую отраженную волну Римана и — вместе с функцией 1(г) — течение в области взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
