Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 49
Текст из файла (страница 49)
лр ра р Тогда соотношение (3.10) вдоль характеристики й' с(и+ — +(Р— 1) — с(1=0 при — =и+а !!р аи ра х с!! (15.2) $ !5. АсимптОтическОе пОВедение ЗАтухАющих Волн аа! интегрируется в конечном виде. Действительно, пользуясь (15,1), получаем из него аи дх 25(и+ (У вЂ” !) — — =О и+а х или ди ди т — 1 дх ди др у в 1 дх — + — + — — = — + — + — — =О. и а 2 х и р 2 х Следовательно, и- 1 рих ' =а, (15.3) где а — величина, постоянная вдоль характеристики в"+. Проинтегрируем второе соотношение (15.2) вдоль характеристики от х=-х, до фронта волны х=-хз (рис.
2.!5.!)! 15=-1,(а)+ )— Считая координаты точек волны функциями параметра а, продифференцируем это соотношение по а. В результате, принимая во жз ! дхз внимание, что — = — — ()р — скорость волны), получим да !х Ыа хз ( 1 1 1 дхз, (' д 1 — — — — 5=1;(с»)+ ( — — »(х. 0 и+а)з да ',1 да и+а (15.4) Хц Используем результаты 9 9 для слабых ударных волн. Из формул (9.12), (9.13) при и,=О, беря верхний знак для волны, распространяющейся вправо, и полагая согласно формуле (9.5) р — р, = = ри0, найдем с точностью до малых величин высшего порядка ( 1 1 '! арр — — — = — — (ри)з.
0 и+а)з 4ар Если, как мы приняли, считать инвариант Римана ! постоянным во всей области за волной, а, следовательно, и вдоль характеристики 6~, то в выражении (!5.4) под интегралом Используя эти выражения и интеграл (15,3), преобразуем (!5.4) к виду 1,я= — 4") ~-1 ~з йахз ' — ~=1;(а) — 2й ') х ' »(х и» ха яз2 гл. 11.
ОднОмеРные неустхновившиеся дВижения или, обозначив Ч-1 е ~ х 1(х=.((В1), «9 к виду йа1'(а)+ 2И (а) =- (;(а). ИнтегРиРУЯ зто УРавнение с Учетом того, чго точке (,=О, ха= х, соответствует а = а,„ получаем Йс1',1 (а) = ~ и(;(а) 1(а. аа а ~'-1 1р Но согласно (!5.3) ~ а(;(а)с(а=х '"' ) (ри),1((,. Предположим, что а, О о ~ (ри), с((, = Я, В где 9 — положительная постоянная, т. е. предположим, что расход газа сквозь поверхность х=х, после прохождения через нее ударной волны не возрастает неограниченно с ростом времени.
Тогда при больших ! верна асимптотическая формула а †! 3 .( ) а 2 О ! которая и дает асимптотический закон изменения (ри)з или какого- либо другого параметра за ударной волной и ее скорости в зависимости от хз.' Если в качестве параметра, характеризующего интенсивность волны, принять величину г=,, то ее асимптотическое поведе- Р Р1 р,а~ ние описывается следующими формулами: при у=! при у=2 $!6. сильныи ВВРыВ при т=3 'г' '"Ю Здесь К=2 ~,г — —; для совершенного газа К= у ' е. / 4 чЯ "рр "о У т-1-1 хр $16.
Сильный взрыв Покажем, как в задаче о взрыве можно, при довольно широких предположениях о начальных значениях параметров среды, установить важные общие свойства возникающих движений. Будем рассматривать движения с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами. Пусть покоящийся вначале газ имеет давление р, и плотность р,.
Состояние продуктов взрыва в начальный момент времени будем характеризовать размером занятой ими области х, (х„есть полутолщина плоского слоя, радиус цилиндра или сферы, занятых вначале продуктами взрыва), их общей массой М и общей энергией Е, В случае плоских или цилиндрических волн М и Е отнесены к единице площади или единице длины области, занятой продуктами взрыва. При равномерных начальных распределениях параметров в продуктах взрыва и модели совершенного газа для них параметры М и Е связаны с начальными значениями давления и плотности продуктов взрыва очевидными формулами М=о,р,х'„Е=о,— р,х„ ! — ч„, 1 а0 где о,= 1, и, '(,и для т= 1, 2, 3 соответственно. Таким образом, искомые функции и, р, р должны определяться при О ( х ( со и 1) О в зависимости от х, 1 и следующих постоянных размерных параметров: р„р,; М, Е, х,.
Эти размерные параметры позволяют образовать масштабы для измерения всех искомых функций, расстояния х и времени 1. Будем интересоваться той фазой движения, когда размер возмущенной области за ударной волной много больше х„и много больше расстояния, на которое переместится контактный разрыв, отделяющий продукты взрыва от газа, т.
е, будем изучать асимптотику движения, когда величиной х„можно пренебречь по сравнению с размером возмущенной области. Это значит, что можно не включать величину х,„а вместе с ней и М, в число определяющих параметров. Величина Е должна быть сохранена, так как именно ею определяется возникающее движение: для типичных взрывчатых веществ энергия, остающаяся в продуктах взрыва после их расширения, пренебрежимо мала сравнительно с энергией, переданной в окружающую среду.
224 гл. и. одномягныя негстлновившнася движения Из физической постановки задачи следует, что при высокой концентрации энергии в продуктах взрыва (очень большие начальные значения давления Р,) вследствие быстрой передачи этой энергии окружающему газу в области движения за ударной волной в течение некоторого времени давление р будет значительно превосходить начальное давление газа: Р>)р,. На этой фазе движения параметр Р, будет несущественным, и его можно не включать в систему определяющих параметров (см. соотношения (9.15) для сильных ударных волн). Если начальная концентрация энергии настолько велика, что условие р>) р, продолжает выполняться не только на начальной, ио и на рассматриваемой асимптотической стадии движения, то продукты взрыва влияют на движение в этой фазе только посредством единственного параметра — энергии взрыва Е.
Состояние невозмущенного газа характеризуется при этом тоже лишь одним размерным параметром р,. Уравнения движения и соотношения на ударной волне добавляют к системе двух определяющих постоянных параметров Е, р, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями еще один безразмерный параметр у. Подчеркнем еще раз, что характеризуемое этими параметрами движение представляет собой так называемую промежуточную асимптотику движения, зависящего от всей исходной системы параметров.
Эта асимптотика пригодна тогда, когда выполнены два условия: размер области движения уже достаточно велик для того, чтобы можно было пренебречь в системе определяющих параметров величиной х„, но еще не настолько велик, чтобы стал необходимым учет в этой системе величины Р,. Эти два условия противоречивы и при реальных взрывах большинства взрывчатых веществ не выполняются одновременно ни для какого интервала времени. Однако при очень высокой объемной концентрации энергии, достигаемой при взрывах ядерных зарядов или при фокусировании в малом объеме энергии импульсного излучения достаточно мощных лазеров, оба эти условия выполняются одновременно иа значительном интервале времени. В сформулированной постановке задача о взрыве получила название задачи о сильном взрыве. В задаче о сильном взрыве постоянные размерные определяющие параметры Е и р, не позволяют ввести масштабы длины и времени.
Единственной безразмерной независимой переменной является в этом случае величина (1 6.1) а искомые величины определяются формулами и = — (УК), р=р,( —,) РД), р=р,)с(с), (16,2) 516. сильный взрыв Безразмерные функции У, Р, Я должны находиться путем решения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается из уравнений в частных производных одномерных нестационарных движений после перехода в них к переменным (16.1) и (16.2).
Решение задачи о сильном взрыве является автомодельньпя; при этом понятие автомодельности трактуется в более широком смысле, чем в рассматривавшихся ранее примерах автомодельных одномерных движений с плоскими волнами. В тех примерах распределения искомых величин по координате х в разные моменты времени были связаны преобразованием масштаба для х пропорционально времени; в более общем случае эта связь устанавливается при преобразовании масштабов для х и для искомых функций пропорционально некоторым степеням времени. Задача о сильном взрыве имеет изящное точное решение в аналитической форме [101, на получении которого мы здесь не останавливаемся. Укажем„что форма решения (16.2) позволяет установить закон изменения интенсивности ударной волны на этапе промежуточной асимптотики. Действительно, из автомодельности движения вытекает, что на ударной волне $= $з(у) =сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
