Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Проведем выкладки для центрированной падающей волны, т, е. для случая, когда 1(г)=0 и, следовательно, 1=д(1)4г — 1), х= = гд(1)/(г — 1). Беря дифференциалы от правых и левых частей этих выражений и пользуясь условием г(х= '/, (г+ 1) д1, после несложных выкладок получим уравнение цх ьг+н1 — + — О, д г — 1 или, принимая во внимание связь (11.!4), а+ (!+Л! Дг — в+О А)1+(!+э)о,. Интегрируя это уравнение и определив постоянную интегрирования из условий в точке О при х=х, (х,— расстояние от центра падающей волны до невозмущенного контактного разрыва), находим: при $12. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 207 й=1, т.
е. при отражении от свободной поверхности, ! -1 —— о(1) = 2х,е при /с ~1 2йа, 1'-' д(1) =- 2х, ~ Отсюда, в частности, следует, что при й= — 1, т. е. при отражении волны от твердой стенки, д(1)=2х„так что отраженная волна является частью центрированной волны с центром в точке 2х„О. 9 12. Распад произвольного разрыва В некоторых из рассмотренных ранее задач в непрерывном первоначально потоке возникали и продолжали в дальнейшем существовать разрывы. В других задачах разрывы имелись в распределении параметров газа, задаваемых начально-краевыми условиями, и приводили к образованию разрывов и центрированных волн разрежения в потоке с самого начала движения. В связи с этим в газовой динамике важной является задача о движениях, возникающих при разрывах в начально-краевых условиях.
Рассмотрим простейшую из этих задач *). Пусть в момент времени /=О при х (О находится однородный газ с параметрами и„р», р„, а при х) Π— газ с параметрами и„ р„р,. Газы могут быть различными по термодинамическим свойствам, а значения их параметров вполне произвольны. Требуется определить движение газа, возникающее при /) О. Сформулированная таким образом задача Коши называется задачей с начальным разрывом или задачей о распаде произвольного разрыва. Последнее название связано с тем, что, как показано ниже, начальный разрыв приводит к движению с несколькими распространяющимися по газу в разные стороны волнами — один разрыв «распадается» на несколько сильных и слабых разрывов.
В силу того, что уже говорилось ранее при рассмотрении задачи о поршне, начинающем двигаться сразу с постоянной скоростью, возникающее при распаде произвольного разрыва движение должно быть автомодельным, т. е. искомые параметры газа и/а„рlр„р/р, должны быть функциями одной переменной х/(а, /) и постоянных паРаметРов и,/а„и,/а„Р,/Р„, Р,/Р„а также У, и Ты если Рассматриваются совершенные газы с постоянными теплоемкостями. Ясно, что если возникающее движение состоит из нескольких областей, то эти области должны отделяться линиями х//=сопз1. ") Впервые ее решение было дано в работах Н. Е. Кочина в 1924 — 1925 гг.
(Соч., т. П.— Мл /!г Изд-во АН СССР, 1949). Кочин Николай Евграфович (!901 — 1944) — советский математик и механик. Один из основателей динамической метеорологии. Труды по гидро- и аэродинамике, газовой динамике, теоретической механике. гл. н, ОднОмеРные неустхновившиеся ДВижения воз Ранее мы уже нашли два элемента автомодельных движений — однородное состояние газа и центрированную волну Римана.
Покажем, что все автомодельные неустановившиеся движения с плоскими волнами (с постоянными по времени масштабами для параметров газа и одной независимой переменной х!!) представляют собой комбинацию только этих двух элементов. Будем искать решения исходной системы уравнений одномерных нестационарных движений с плоскими волнами, зависящие лишь от переменной $ = х!(. д ! д д $ Так как — = — —, — = — = —, то уравнения (1.1) — (1.3) придх С йз' д! ! йз' мут вид (и — Е) — +р — =О др йи ди ! др (и — $) — +- — =О, и$ р (и — в) — = О. аз дй (12.1) Эти уравнения (как и исходные) имеют очевидное решение и = соп51, р = соп51, р = сопз(, соответствующее однородному состоянию газа. Будем отыскивать другие решения системы (12.1), т. е.
элементы решения автомодельных задач. Последнее уравнение этой системы имеет два решения. Одно из этих решений и — $=0 не удовлетворяет первому уравнению и должно быть отброшено. Второе решение 5 (!э р) = соп51 (12.2) показывает, что разыскиваемый элемент автомодельного движения должен быть изоэнтропическим. Исключая из первых двух уравнений (12,1) и †, получаем (аи)' — = О, др др рз или и ~ ) — =соп51. Г и ар р (12.3) Наконец, из первого уравнения находим 5=и ~а. (12.4) Но последние два соотношения представляют собой решения для центрированных волн Римана. Таким образом, действительно, все автомодельные движения должны состоять только из двух элементов — однородных состояний газа и пентрированных волн Римана, 512.
РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 209 примыкающих одни к другим вдоль линий х(1=СОНМ. Волны Римана примыкают к однородным состояниям газа вдоль прямолинейных характеристик х11= сонэк, однородные же состояния газа могут быть отделены одно от другого ударными волнами или контактными разрывами постоянной интенсивности, траектории которых в плоскости х, 1 суть линии хГ1=сопзй Так как в задаче о начальном разрыве кусочно-постоянные начальные значения параметров газа по обе стороны плоскости х=О вполне произвольны, то соединить эти два состояния при 1 ) О посредством ударной волны, контактного разрыва или центрированной волны Римана в общем случае, очевидно, невозможно, так как при заданном состоянии газа перед волной или разрывом соотношения на волне или разрыве допускают варьирование лишь одного из параметров в газе позади них.
Поэтому система волн должна содержать три элемента, включая контактный разрыв. Покажем, что в каждую сторону ог контактного разрыва по газу может распространяться только либо одна волна Римана, либо одна ударная волна (предполагается, что оба газа являются нормальными). В самом деле, если по газу распространяется центрироваиная волна Римана, то ее задний фронт перемещается по частицам газа со скоростью звука.
В автомодельном движении распространение скачка за волной Римана в ту же сторону невозможно, так как скорость скачка по частицам перед ним больше скорости звука. Точно так же невозможна и вторая волна Римана, отделенная от первой конечной зоной однородного состояния. Ширина этой зоны при движении сохраняется неизменной из-за равенства скоростей заднего фронта первой волны и переднего фронта второй волны, что невозможно в автомодельиом движении.
Если по газу распространяется ударная волна, то ни вторая ударная волна, ни волна Римана распространяться по газу в том же направлении в автомодельном движении не может. Действительно, первая волна распространяется по газу за ней с дозвуковой скоростью, тогда как следующая ударная волна распространяется по тому же газу со сверхзвуковой скоростью, а волна Римана — точно со скоростью звука. В автомодельном движении это невозможно. Таким образом, при распаде произвольного разрыва возможно образование лишь трех существенно различных волновых конфигураций.
В первой из них в каждую сторону от контактного разрыва по газу распространяются ударные волны. Во второй конфигурации в одну сторону распространяется ударная волна, в другую †центрированная волна Римана. Наконец, в третьей конфигурации в обе стороны от контактного разрыва распространяются центрированные волны Римана. Во всех случаях между расходящимися волнами образуется область постоянных значений давления и скорости газа, включающая контактную поверхность, на которой в общем случае терпит разрыв плотность газа. 2!О ГЛ. !!. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Образующаяся в результате распада разрыва конфигурация волн зависит, естественно, от принадлежности начальных значений параметров газа той или иной области пространства определяющих параметров. На рис.
2.12.1, а, б, вч приведены волновые конфигурации о г Рис. 2. !2.! в трех типичных случаях и соответствующие им распределения давления и скорости газа. Мы не останавливаемся на доказательстве того, что в случае нормального газа прн любых начальных данных решение задачи о % ПЬ РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 211 распаде произвольного разрыва существует и единственно.
Это доказательство и формулы для расчета образующихся течений имеются, например, в (5, 9). Из физических соображений ясно, что конфигурация с двумя ударными волнами обязательно осуществляется, например, если начальные значения параметров отличаются лишь направлением скорости в обоих полупространствах и скорости направлены к поверхности раздела (задача о симметричном соударении двух масс газа), Конфигурация с одной ударной волной и одной волной Римана возникает, к примеру, в случае, если газы по обе стороны поверхности раздела первоначально покоятся, но имеют разное давление (задача о выравнивании давления). Наконец, конфигурация с двумя волнами Римана образуется, например, если при одинаковых начальных давлении и плотности скорости газа с обеих сторон поверхности раздела направлены от этой поверхности (задача о разлете двух масс газа).
В случае распада разрыва с образованием двух волн Римана возможен отрыв одной массы газа от другой. Действительно, ранее было установлено, что имеется максимальная скорость расширения газа при нестационарном адиабатическом движении с плоскими волнами. Поэтому, если модуль разности начальных скоростей разлетающихся газов больше суммы величин их максимальных скоростей расширения, то газы при расширении не смогут заполнить образующуюся при разлете полость и между передними фронтами расши. ряющихся во встречных направлениях газов образуется зона вакуума— в таком случае говорят о полном разлете газов.
Соответствующая полному разлету конфигурация волн разрежения и графики распределения давления и скорости в этом случае приведены на рис. 2.12.1, г. Задача о распаде произвольного разрыва может возникнуть и при более сложных, чем одномерные, пространственных распределениях параметров газа, когда начальная поверхность раздела искривлена и скорость газа с обеих сторон в общем случае имеет все три компоненты, не равные нулю. Для выяснения того, что происходит при распаде такого разрыва, обобщим сначала сформулированную ранее постановку задачи об одномерном разрыве на случай, когда газ с каждой стороны плоской поверхности раздела однороден, но скорость его может иметь все три компоненты не равными нулю.
Очевидно, что и в этом случае вывод об автомодельном характере возникающего движения сохраняет силу. Разыскивая зависящее только от х!1 решение для компонент скорости и, о, и2, легко убедиться, что единственным автомодельным решением, отличным от однородного потока с постоянными значениями и„о„тп„будет решение, в котором продольная компонента скорости удовлетворяет тем же соотношениям для волны Римана (12.2) †(12.4), а поперечные компоненты скорости сохраняются постоянными ь). Так как поперечные компоненты скорости не изменяются и при прохождении ударной «) Это следует ив выводов $ ! относительно одномерных движений с плоскимн волнами в случае, когда скорость не на правлена вдоль ося х (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
