Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ударные волны, для которых можно считать выполненными эти условия, называются сильными. Для сильных ударных волн соотношения на волне (9.5) имеют вид 5 1О, ВАдАчА О пОРшне, движрщемся ВнутРь ОБлАсти 193 получим формулу (9.16) Здесь М',=Ре!а',. Согласно этой формуле скорость газа и меняется 2 от нуля для очень слабых волн, когда М, — 1, до значения — Р 7+1 для сильных волн, когда М,— оо. Таким образом, скорость газа в потоке за ударной волной может быть сколь угодно большой, если скорость ударной волны достаточно велика. Однако число Маха этого по~ока, т. е. безразмерный параметр М=и!а, характеризующий скорость, не может быть большим, так как в ударной волне растет и температура газа, а вместе с ней и скорость звука в нем.
Действительно, для совершенного газа (М вЂ” 1) — (1+', ' М*.) (.М'*- — ', ') ' При М, ОО число Маха М потока за волной стремится к величине При у= 1,4 М ,„= 1,890, при у= 1,2 М ,„= 2,887. й 10. Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва Рассмотрим ту же задачу о поршне, что и в 9 8, но будем предполагать теперь, что поршень, постепенно ускоряясь от нулевой скорости, вдвигается в область, занятую газом, т.
е. Х(0)= Х(0) =О, Х(1) > 0 при 1>0. Вновь мы должны заключить (рис. 2.10.!), что к области невозмущенного состояния газа примыкает вдоль прямолинейной характеристики ОА волна Римана, которая в этом случае является волной сжатия, и, следовательно, при деий~др' (,> > 0 характеристики первого семейства в этой волне образуют сходящийся пучок, так что непрерывное решение этой задачи о поршне, начиная с некоторого момента времени, перестанет существовать. Ряс. 2.10.1 Если пересечение характеристик происходит уже в начальный момент времени или если поршень сразу начинает двигаться с конечной скоростью Х(0) > О, то непрерывного решения вообще не существует ни при каких 1 > О.
(При сверхзвуковой начальной скорости поршня этот факт очевиден, так как Г. Г. Черный ~о4 гл. и. одномвгныв ивустхновившився движения траектория поршня попадает при этом в область, где решение определено начальными данными и не удовлетворяет краевому условию на поршне), При этом, как и во всех других случаях, в которых, начиная с какого-то момента времени, непрерывного решения не существует, следует рассматривать решения с разрывами — ударными волнами и, возможно, с контактными разрывами.
Начнем с наиболее простой задачи, когда поршень сразу начи пает двигаться с конечной и постоянной в дальнейшем скоростью Рис. 2. !0.2 Решение этой задачи легко получить следующим образом. Рассмотрим стационарную ударную волну с набегающим на нее со скоростью и„справа сверхзвуковым потоком (рис. 2.10.2, а); ударной волне соответствует х=О, ее скорость 0 равна нулю, и, обозначает величину скорости за скачком.
Если это стационарное течение рассмотреть в системе координат, движущейся вместе с набегающим потоком, то оно станет нестационарным с ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью В= и, по покоящемуся газу вправо (рис. 2.10.2, б). Выберем начало отсчета к и 1 в новой системе координат так, чтобы ударная волна прошла через точку 0(0, 0), и рассмотрим движение в угловой области, ограниченной полуосью Ох и траекторией частицы, проходящей через точку О (границы этой области заштрихованы на рис. 2.10.2, б).
Если считать траекторию этой частицы траекторией поршня, то ясно, что рассмотренное движение при 1 ) 0 дает решение поставленной задачи: при вдвигании с постоянной скоростью поршня в область однородного покоящегося газа по газу распространяется с постоянной скоростью ударная волна такой интенсивности, что газ за ней приобретает скорость, равную скорости поршня. Решение этой задачи автомодельно (что следует, конечно, и из ее постановки): параметры газа постоянны на лучах х/1 =-сопз(. Отметим, что в средах, для которых д'о(др' (О, решение задачи о вдвигании поршня с постоянной скоростью в область, занятую однородным газом, включало бы центрированную непрерывную волну $10.
ЗАДАЧА О ПОРШНЕ, ДВИЖУЩЕМСЯ ВНУТРЬ ОБЛАСТИ (ЭЗ и — п(а) = — п(а,), х=Х(т)+ (и+ а) (( — т), (10.!) причем и+а во втором выражении есть в силу первого интеграла и того, что и=Х(т), известная функция от т: и+ а = Х (т) + а [Х (т)) = о (т). В ~ 7 было показано, что в волне Римана, бегущей вправо, а (и+а) > 0 (для нормального газа). Поэтому при Х > 0 производи(и+а)- ная а= Х>0 при т)0. йи Найдем огибающую семейства прямолинейных характеристик, обозначив координаты ее точек через х' и (о. Вдоль огибающей производная от х по параметру т во втором выражении (1О,!) должна обращаться в нуль, так что параметрическое представление огибающей имеет вид (о а — Х о о — Х х'=х+а —.
а Из того, что а > 0 и о — Х = а (т) ) О, следует, что на огибающей ( > т х) Х(т); огибающая находится внутри области течения (доказательство см. в конце параграфа); при Х- 0 огибающая уходит в бесконечность. Если Х (0) = О, то при т = 0 х' = оо, (о = оо; если затем при (>О Х(())0, то при т оо х' и (Р неограниченно возрастают, так что х' и (' сначала уменьшаются, а затем увеличиваются, т.
е. имеют общий минимум при некотором т=т, (общее значение т, следует из того, что х'=о(о). Огибающая имеет при этом угловую точку, которая, исключая специальный случай, когда в некотором интервале значений т характеристики пересекаются в одной и той же точке, является точкой возврата (рис. 2.10.3). Если ускорение поршня Х(0) конечно (и, по предположению, положительно), то (о(0) = —.', х'(0) = .а', так что огибающая а (О) а (О) в этом случае начинается на характеристике х=а (, т. е. на переднем фронте возмущений, идущих от поршня (рис. 2.10.4). При воз- сжатия, а решение задачи о поршне при Х=сопз( (О, наоборот, включало бы не центрнрованную волну разрежения, как при д'о(др') О, а скачок разрежения.
Вернемся вновь к задаче, сформулированной в начале параграфа, когда поршень сжимает покоившийся первоначально однородный газ, постепенно разгоняясь от нулевой скорости. Примем за параметр, имеющий постоянное значение на прямолинейной характеристике волны Римана, тот момент времени т, когда эта характеристика исходит из точки траектории поршня ( = т, х=Х(т).
Тогда интегралы (8,1), описывающие волну Римана, примут впд !9б ГЛ. 11. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ растании начального ускорения поршня Х(0) значение 1Р(0) уменьшается и при Х (О) — со !р(0) О, так что при бесконечном начальном ускорении поршня огибающая возникает в начальный момент и непрерывное движение не может существовать нн при каких 1) О. При различных законах движения поршня огибающие могут иметь разнообразную форму. Важно, однако, что при любом законе движения поршня при наличии интервала значений 1, где Х > О, в области течения справа от поршня всегда возникает пересечение характеристик. Р..
2.1О.З Пусть (рис. 2.10.5) на участке АВ траектории поршня Х > О, так что характеристики„ выходящие из точек А и В, пересекаются в точке О при ! = 1, (так как на АВ о ) О, то точка О расположена 6 Рис. 2.!О.б Рис. 2.!0.4 на конечном расстоянии в плоскости х,1), Если к моменту 1, поршень находится левее точки О (в точке С), то точка О лежит в области движения, Если же в этот момент поршень находится правее точки О (в точке С') или совпадает с ней, то траектория поршня пересекает характеристику ВО при 1= !р ( 1,. И тогда характеристика, выходящая из точки О траектории поршня до момента 1р, но близко к нему, обязательно пересекает характеристику ВО внутри области движения. й 11. Взаимодействие бегущей волны с ударной волной н с контактным разрывом Рассмотрим некоторые задачи о течениях с ударными волнами и контактными разрывами и покажем, как эти задачи могут быть решены методом характеристик.
$ И. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С КДАРНОЙ ВОЛНОЙ )ЭТ Обратимся вновь к задаче о поршне. Пусть поршень вдвигается в область, занятую газом, и на некотором начальном участке своего пути ОА имеет постоянную скорость, после чего его скорость уменьшается (рис. 2.11.!). Тогда на участке ОВ траектории ударной волны до прихода к ней характеристики первого семейства из точки А волна имеет постоянную скорость, параметры потока за ней однородны и характеристика АВ прямолинейна. Следовательно, решение задачи !11 типа в области АВС между этой характеристикой и траекторией поршня представляет собой волну Римана, распространяющуюся от поршня в сторону ударной волны и взаимодействующую с ней, начиная с точ- Е кн В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
