Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2.6.2). Так как область П граничит с областью однородного состояния газа, то течение в этой области представляет собой волну Римана и — о(а) = — о(а,), х — (и+а) г=((и), (8.!) где а, †скорос звука в покоящемся газе. Константа в правой части первого соотношения определена из условия непрерывности значений и и а на характеристике ОА, вид функции Г(и) можно определить по известному закону движения поршня х=Х(1). Действительно, представим этот закон движения в параметрической форме, взяв в качестве параметра скорость поршня и„=Х(1), т. е. будем считать на поршне х=- х„(и), 1= 1„(и). Подставив эти параметрические выражения для х и с во второе соотношение (8.1), получим ) (и) = х„(и) — (и + а (и)1 1„(и). Так как по условию — < О и в волне Римана би — — =О то ВР ~И 1 возникающая волна есть волна разрежения и, согласнодоказанному д'Р в предыдущем параграфе, при —,) О (здесь о — удельный объем) прямолинейные характеристики в ней образуют расходящийся пучок.
Функция о монотонно убывает при уменьшении давления или плотности. При адиабатических движениях нормального газа она остается 4 ограниченной по модулю при обра- в щении давления и плотности в нуль (при этом обращается в нуль и скорость звука). Для таких движений, в о как и при других баротропных про- Рис. 2.8.2 цессах, обладающих этими свойствами, удовлетворить условию и=и„(1) при х=Х(г) можно только, если ! и„(1) ! не превосходит некоторого предельного значения и,„, при котором давление и плотность газа у поршня обращаются в нуль. Если после того, как давление и плотность газа у поршня обратятся в нуль (точка В на рис. 2.8.2), скорость поршня продолжает возрастать, условие на траектории граничной частицы газа, требующее совпадения скорости этой частицы со скоростью поршня, следует заменить условием равенства нулю давления р=О на граничной траектории. (Здесь мы встречаемся со случаем, когда заданное первоначально условие на границе области движения газа оказывается, начиная с некоторого момента времени, невыполнимым и требует замены его другим.) Форма траектории, которая становится при этом свободной границей, должна определиться из решения, В рассматриваемом случае граничная траектория частицы совпадает с пря- !ао ГЛ.
11. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ При изучении установившихся квазиодномерных течений (2 3 гл. 1) мы уже сталкивались с понятием максимальной скорости истечения газа У,„, которая может достигаться в сопле Лаваля при неограниченном его расширении. В этих условиях У,„определяется фор- мулой Значение максимальной скорости и,„, как и У,„, зависит от вида связи между плотностью и давлением при течении газа. Для адиабатических движений совершенного газа с постоянными 2а теплоемкостями о = —.
Поэтому предельное значение скорости и ал т — 1 ' вавл определится формулой 2а, и ахах . ! ° значение же У,„равно (8.2) / 2 авва где а, есть скорость звука в покоящемся газе соответственно в цилиндрической трубе или в резервуаре, откуда происходит истечение. Как видим, максимальная скорость расширения газа в вакуум из одного и того же состояния покоя зависит от условий истечения. При нестационарном расширении газа в цилиндрической трубе эта скорость выше (при у (3), чем при стационарном истечении через неограниченно расширяющееся сопла Лаваля. При изотермическом расширении совершенного газа в трубе, как следует из вида функции о(р) (формула (3.19)), предела увеличения скорости нет: и,„= ао. Как и в случае установившихся течений (см, конец 2 3 гл.
1), способность газа приобретать при изотермическом нестационарном расширении сколь угодно большую скорость связана с тем, что при этом к газу извне должна подводиться энергия в виде тепла. молинейной акустической характеристикой первого семейства, так как на последней а=О. Между траекторией поршня к=Х(г) и передним фронтом движущегося газа Образуется зона, где давление равно нулю и газа нет, т.
е. зона вакуума (на рис. 2.8.2 заштрихована). Значение скорости в волне Римана, определяемое первой формулой (8.1) при о(а) =О, называется максимальной скоростью нестационарного расширения газа или скоростью нестачионарного истечения газа в вакуум Р~ ь э 8 ВАЕАчА О пОРшне. истечение ГА3А В ВАкуум Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает выдвигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до некоторого значения скорости, меньшего максимальной, в точке В, после чего скорость поршня остается постоянной (рис. 2.8.3, а).
Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области 11 между прямолинейными характеристиками ОА и ВС. К характеристике ВС слева примыкает зона Ш однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого условия и(Х, 1) = и„==сопз(, согласно которому в области 111 и второй инвариант Римана имеет постоянное значение.
а х о х РВС. 2.8.3 Будем теперь уменьшать длину отрезка ОВ траектории поршня, сохраняя неизменной конечную скорость поршня. В пределе, когда длина участка ОВ обращается в нуль, все прямолинейные характеристики волны Римана в зоне П выходят из одной точки О и волна Римана становится центрированной (рис. 2.8.3,б). При этом поршень с самого начала будет иметь постоянную скорость. Отметим, что в найденном течении с центрированной волной Римана имеется особенность в распределении параметров газа: при подходе к точке О по разным направлениям значения параметров различны.
Эта особенность вызвана, как уже о том говорилось в конце 8 6, несогласованностью граничных значений скорости в точке О пересечения двух участков границы области течения: полуоси х) О и траектории поршня ОЬ. Если конечная скорость поршня превосходит по величине максимальное значение скорости расширения газа и,„и, следовательно, начиная с некоторого момента, поршень отрывается от газа и перестает влиять на его движение, то можно считать, что, начиная с этого момента, поршня просто нет и фронт расширяющегося газа граничит с областью вакуума. Если при этом вновь совершить предельный переход, устремляя к нулю длину отрезка траектории поршня, на котором скорость возрастает до и,„, то получим течение с центрированной волной Римана, на границе которой давление и плотность равны нулю, а скорость газа равна скорости истечения газа в вакуум; поршень при этом можно считать «исчезнувшим» в начальный момент времени.
Эту задачу можно трактовать следую- 132 Гл. н. ОднОмеРные неустлновизшиеся движения щим образом. Покоящийся однородный газ в области х)'.О отделен прн х=О перегородкой от области вакуума при х( О. В момент времени / = О перегородку мгновенно убирают, и газ начинает истекать в пустоту (рис. 2.8.4).
Нетрудно убедиться в том, что движение газа прн выдвигании поршня с постоянной скоростью и движение газа прн истечении его в вакуум после мгновенного исчезновения перегородки автомодельны во всей области, занятой газом. Действительно, оба этн движения состоят нз областей, занятых либо газом в однородном состоянии, либо центрированной волной Римана, причем этн области ограничены прямыми х// =- сопи(. Таким образом, оба движения в целом автомодельны, т, е. распределения всех параметров газа в них зависят лишь от ком~Виязи ' бинации независимых переменных х// Отметим, что автомодельный характер Рис. 2.8.4 найденных движений следует уже из пос- тановки соответствующих задач.
В самом деле, обе задачи состоят в нахождении зависимости скорости и, давлення р н плотности р от координаты х и времени / при данных начальных значениях р, н р, в покоящемся газе, при заданной скорости поршня (/ в первой задаче н пря р= О на левой границе области движения — во второй задаче, Уравнения, которыми описывается возникающее движение, содержат в случае совершенного га.а с постоянными теплоемкостями лишь один параметр — отношение теплоемкостей у. Легко убедиться, что система постоянных определяющих параметров задачи содержит масштабы для давления, плотности н скорости (рн ро (/ илн а,= У' ур,/р,) н не содержит масштабов длины и времени, позволяя определять лишь нх комбинацию х/1.
Таким образом, безразмерные отношения р/р„р/р, и и/а, должны быть функциями лишь одной переменной х/(а,/) и одной постоянной у, а в первой задаче — еще и постоянной (//а,. Это н доказывает автомодельный характер возникающего движения. Возникновение пентрнрованной волны Римана с особенностью в точке О в задаче об истечении газа в вакуум прн удалении перегородки вновь вызвано несогласованностью условий, задаваемых на границе области движения: прн подходе к точке О вдоль участка границы /=-О давление равно р„а при подходе к этой точке вдоль неизвестного заранее участка границы — переднего фронта истекающего газа — давление равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
