Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В более общем случае задачи о поршне с заданной скоростью илн давлением на нем, когда распределения параметров газа при /=- О неоднородны, движение в области / находится путем решения задачи Коши, а движение в области Π— путем изложенного в 2 6 $8. ЗАДАЧА О пОРшне. истечение гАзА в влкггм решения задачи 1П типа. Конечно, при этом предполагается, что непрерывное решение существует.
Если скорость выдвигаемой границы относительно прилегающего к ней газа в начальный момент времени не равна нулю и направлена в сторону от газа, то локально течение в окрестности точки О описывается центрированной волной Римана. Если же эта скорость не равна нулю и направлена в сторону области, занятой газом, то непрерывное течение невозможно— в газе образуются поверхности разрыва.
Этот случай подробно рассмотрен ниже — в 2 10. При нестационарном истечении покоившегося вначале газа в вакуум через цилиндрическую трубу можно осуществить его разгон до скорости, большей и,„. =ю Пусть при х> 0 справа от перегородки, от- и -а деляющей газ от вакуума, к трубе присоединен посредством плавно сужающегося насадка большой резервуар (рис. 2.8.5) с неподвижным однородным газом. При 1=О перегородка мгновенно убирается; предположим, что в то же мгновение справа от перегородки устанавливается стационарное течение газа с максимальным расходом, т, е с критическими условиями в сечении х=О.
Газ слева от перегородки будет расширяться в вакуум в волне Римана. В этой волне имеет место интеграл 2а !' 2а 1 у+1 и — = ~и — — ~ = — — а,=ю. у — 1 ~ у — 11~8 т — 1 В стационарном потоке справа от сечения х= — 0 справедлив интеграл Бернулли, согласно которому ( — + )- = — '- = — '-' 88 аю ~~ у+! 8 2 у — 1/8=8 2(у — 1! " у — 1 ' где а,— скорость звука в покоящемся газе, Таким образом, в волне Римана 2а / у+1 '2а и — — = — у у †! У 2 у †! ' так что скорость ее переднего фронта (при а= О) равна и= — 1/ т. е. превосходит и ,„= — по величине в ь — раз.
2аю / у+1 Конечно, нужно иметь в виду, что стационарное течение газа при х> 0 устанавливается не мгновенно, так что найденное значение скорости фронта достигается тоже лишь постепенно. Рассмотрим еще задачу о взаимодействии простых волн или— иначе — задачу о двух поршнях.
184 гл. и. одномвгныв нвустлновившиеся движения Пусть по однородному покоящемуся газу (рис. 2.8.6,а, область !) распространяются во встречных направлениях две бегущие волны разрежения П и П1; волны можно считать возникшими в результате соответствующего движения поршней, между которыми в области 0(х(х, первоначально (при 1=0) был заключен невозмущенный газ Встретившись (в точке О на рис. 2.8.6,а), волны начинают взаимодействовать, проникая одна сквозь другую.
Л! Ж а Рис. 2.8.8 Область взаимодействия волн представляет собой четырехугольник ОАСВ, стороны которого образованы отрезками акустических характеристик. Распределение параметров Римана вдоль характеристик обоих семейств в этой области известно по их значениям на отрезках ОЛ и ОВ, однако свми характеристики искривлены и для их нахождения в области ОАСВ нужно решить задачу Гурса. Для простоты изложения далее рассматривается случай, когда обе волны Римана являются центрированными (именно такой случай изображен на рис. 2.8.6,а). Пусть в области невозмущенного состояния газа ! и=О, о=о„ а центрами каждой из волн являются точки (О, 0) и (х„1,) соответственно.
Тогда бегущая вправо волна Римана П описывается формулами (см. (7А)) 1 — -- и — о = — о„х — (и+ а) 1 = О, (8.3) а бегущая влево волна П! — формулами (см. (7.2)) г = и+ о = о„х — х, — (и — а) (! — 1,) = О. (8.4) Пользуясь этими выражениями, легко найти уравнения характеристик ОВ и ОА и распределения параметров газа на них. Так, если в уравнении характеристики ОВ йх=-(и — а)й1 заменить дифференциал йх с использованием выражений, полученных из (8.3): йх — (и+ а) й1+ 1 (йи+ йа) = О, йи — йо = О, то это уравнение примет вид 2а й1 + ! (йо+ йа) = О.
Е 8. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ 1вз Учитывая, что согласно (3.12) 1(о=а — Р, отсюда получаем инар Р теграл 1 1/ ра =- 1, )Г(рп)„ (8.5) где постоянная интегрирования определена по условиям в точке О (1, †соответствующ этой точке момент времени). Интеграл (8.5) вдоль характеристики ОВ вместе с соотношениями (8.3) и определяет форму этой характеристики и распределение параметров газа па ией.
Аналогично находится интеграл вдоль характеристики ОА: (1 — 1,) )/Рп =- (1,— 1,) Уг(РП)„ (8.6) определяющий вместе с (8.4) ее форму и распределение на ней параметров газа. Сформулированную задачу Гурса удобно решать с помощью уравнений (3.20), принимая за независимые переменные инварианты Римана г и 1 и считая х и 1 искомыми функциями. Область ОАСВ переходит в плоскости г, 1 (рис. 2.8.6,б) в прямоугольник, ограниченный указанными на рис. 2.8.6,б линиями г=сопз1 и 1=сопз(.
На сторонах ОА и ОВ этого прямоугольника искомые функции х и 1 известны (напомним, что при этом их значения связаны соотношениями на характеристиках). На рис. 2.8.6,б приведена также линия г — 1=2о(р)=0, т. е. линия, где давление равно нулю — линия вакуума.
При увеличении интенсивности одной или обеих взаимодействующих волн Римана характеристики 1=сопз( и г=сопз(, идущие из точек А и В в направлении линии вакуума, заканчиваются в точках этой линии; отрезок линии вакуума образует тогда часть границы области взаимодействия. При этом точка С плоскости х„( уходит в бесконечность, так как из (8.5) и (8.6) следует, что на границах АС и ВС области взаимодействия 1 ао при ра — О. Таким образом, область определенности решения в рассматриваемой задаче Гурса становится бесконечной.
Не описывая общего метода решения задачи о взаимодействии волн, укажем лишь, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, когда уравнения (3.20) приводятся к виду (3.21), решение удается получить в аналитической форме, а для указанной в $ 3 совокупности значений у — и выразить его через элементарные функции. Совсем просто получить решение при у = 3. В этом случае, как было показано в $ 3, акустические характеристики обоих семейств в плоскости х, 1 прямолинейны.
Прямолинейные характеристики в области взаимодействия являются просто продолжением соответствующих характеристик бегущих волн, и распределение параметров Римана г и 1 по ним известно †о такое же, как и в самих бегущих волнах. Если в одиночной волне, бегущей вправо, 1=сонэ(, г=г+ (х, 1), а в одиночной волне, бегущей влево, г=сопз(, 1=1 (х, 1), то прн 7=-3 в области взаимодействия волн г= г.„(х, 1), 1=1 (х, 1).
Напомним, что при 7=3 о= — =а, так что в рассматриваемом 2а у — 1 к к — кз примере центрированных волн Римана г+ —— и+а= —, 1 =и — а=— ! — с, и, следовательно, в области взаимодействия Очевидно, что если взаимодействующие бегущие волны (не обязательно центрированные и в любом нормальном газе) отличаются только направлением распространения, то течение симметрично относительно плоскости встречи обеих волн.
В силу симметрии в этой плоскости и= О и ее можно принять за неподвижную стенку. Рассматривая течение лишь с одной стороны стенки, получаем, таким образом, решение задачи об отражении бегущей волны от жесткой стенки. Так, полагая в решении (8,7) 1, = О, получаем в области взаимодействия падающей и отраженной волн 2к — к, кд и= 2! ' 2! ' а= —. Интересно, что при этом давление во всей области взаимодействия одно и то же и зависит только от времени.
Как уже говорилось ранее, если при решении задач о движениях газа в области движения происходит пересечение характеристик одного и того же семейства (как, например, в бегущих волнах сжатия), то непрерывность распределений параметров газа нарушается и необходимо рассматривать движения с разрывами. В связи с этими следующий параграф посвящен необходимым длядальнейшегодополнительным сведениям о соотношениях на разрывах в газе.
й 9. Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные разрывы. Слабые и сильные ударные волны В гл. 1 было установлено, что внутри занятой газом области могут быть поверхности, на которых параметры газа терпят разрыв. Значения параметров газа с обеих сторон такой внутренней границы и скорость ее перемещения в пространстве связаны условиями, налагаемыми законами сохранения. В 2 4 и 5 7 гл. ! эти условия были получены для поверхностей разрыва без сосредоточенных на них притоков массы, импульса и энергии — для ударных волн и контактных разрывов. В 2 5 гл.
! получены условия для поверхностей разрыва с сосредоточенным притоком тепла — волн детонации и волн дефлаграции. а 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ !37 В случае одномерных движений условия (7.15) гл. 1 для разрывов без сосредоточенных воздействий принимают вид р(и — О)= р,(и„— 0)=т, (9.1) р+ р(и — Р)'= р,+ р,(и,— О)', (9.2) р (и — Р) ( ~ + е) + Ри =- Р (и,— Р) ( "~' + е,)+ Р и' (9.3) На контактном разрыве, т.
е. при т=-О, из соотношений (9.1) и (9.2) получаем условия и=- и,=0, р=р„ (9.4) соотношение (9.3) удовлетворяется тождественно. На ударных волнах, т, е. при тФО, соотношения (9.1) — (9.3) можно записать в виде р (и — Р) = р, (и, — О), р — р, = р, (и,— Р) (и,— и), (и — Р)а (иа — ГЗ)а 2 2 (9.5) Последнее соотношение выражает собой условие сохранения полного теплосодержания газа при прохождении им ударной волны в системе координат, связанной с поверхностью разрыва. (Для его получения нужно вычесть из равенства (9.3) почленно равенство (9.2), умноженное на О.) Рассмотрим вопрос о числе условий на поверхностях разрыва различного типа, необходимом для решения задач о течениях газа с разрывами.
Значения параметров газа в точках внутренней границы — по три с каждой ее стороны, скорость перемещения границы О, и, может быть, еще йа' каких-либо других заранее неизвестных величин, характеризующих свойства границы, образуют систему из 7+ааа' величин. Для их определения необходимо такое же число условий. Часть этих условий числом п дают соотношения вдоль характеристик, подходящих к границе (идущих «из прошлого») из области движения с обеих ее сторон. Недостающие условия на границе должны следовать из законов сохранения н, в необходимых случаях, формулироваться дополнительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
