Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Совершенно аналогично предыдущему решение может быть найдено и тогда, когда начальные значения искомых функций заданы в плоскости х, г на отрезке АВ пространственно-подобной кривой (рис. 2.5.2). Описанная задача о построении решения по значениям трех искомых функций на отрезке пространственно-подобной кривой называется задачей с нехарактеристическими начальными данными нли задачей Коши (ее называют еще задачей 1 типа). Область, в которой находится решение по начальным данным, называется областью определенности решения этими начальными данными.
1ЕВ ГЛ. 11. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Используем решение задачи Коши для анализа вопроса о зависимости решения от начальных данных. Возьмем внутри области найденного решения (рис. 2.5.2) какую- либо точку Р и проведем через нее акустические характеристики обоих семейств до пересечения их с начальной кривой в точках Р+ и Р . Отрезок начальной кривой между точками Р+ и Р называется областью зависимости точки Р. По построению решения ясно, что решение в точке Р зависит только от начальных значений на отрезке РВР; изменение начальных значений вне этого отрезка не сказывается на решении в точке Р (для непрерывных решений). Отсутствие такого влияния есть следствие конечной скорости распространения слабых возмущений: возмущения из области вне отрезка Р Р не успевают прийти в точку Р, распространяясь в пространстве с конечными характеристическими скоростями и + а и и — а соответственно. Если изменить начальные данные только на отрезке Р Р , то, как вновь ясно из построения решения, это проявится в изменении решения между акустическими характеристиками РЯ~ и РЯ .
Область между этими характеристиками называется поэтому областью влияния отрезка Р,Р . Характеристика Р Я, распространяющаяся из точки Р+ со скоростью звука по частицам газа влево, есть, таким образом, левый фронт возмущений, вызванных изменением условий на отрезке Р+Р; аналогично характеристика РЯ есть правый фронт этих возмущений. Существование областей определенности, зависимости и влияния позволяет во многих случаях проводить качественный анализ одномерных течений, не прибегая к решению описывающих их уравнений. Пусть начальные данные на отрезке АВ (рис. 2.5.2) таковы, что определенное ими решение в области АВС непрерывно дифференцируемо. Изменим начальные данные на участке АР~ отрезка АВ с сохранением их непрерывности в точке Р .
Будем считать, что новое решение задачи Коши по-прежнему непрерывно в области определенности. Решение в области Р~ВС, и, в частности, на характеристике Р+С осталось после изменения начальных данных прежним, поскольку оно целиком определено данными на Р+В, решение же левее характеристики Р С изменилось, так как эта часть области определенности решения входит в область влияния отрезка АР~. Таким образом, решение в области Р~ВС может быть непрерывно продолжено через характеристику Р+С неединственным образом.
Отличие измененного решения от первоначального может состоять в том, что производные от некоторых искомых функций по нормали к характеристике станут различными при подходе к ней с разных сторон (производные по касательной к характеристике с обеих ее сторон одинаковы из-за непрерывности решения на характеристике). 1 А. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ И ОБЛАСТЬ ВЛИЯНИЯ 167 В таком случае говорят, что на характеристике искомые функции имеют слабый разрыв. Уточним понятие слабого разрыва решения. Гладкая кривая Г в области определенности решения называется линией слабого разрыва, если решение непрерывно всюду, его первые производные тоже непрерывны вне кривой Г и односторонне непрерывны на ней, но некоторые производные по нормали к Г имеют в ее точках разрыв первого рода.
Из сказанного выше следует, что характеристика может быть линией слабого разрыва решения (но может и не быть ей). Покажем, что если на какой-либо линии решение имеет слабый разрыв, то'эта линия обязательно является характеристикой. Действительно, обратимся к уравнениям (3.6) †(3.8). Пусть'1на некоторой линии Г нормальная производная какой-либо из функций и, р или з терпит разрыв, Так как производные по касательной к Г непрерывны с Обеих ее сторон, то можно считать, не уменьшая общности, что терпят разрыв производные по х. Записывая каждое из уравнений (3.6) — (3.8) дважды — в точках при подходе к кривой Г с одной и с другой стороны — и вычитая почленно одно такое уравнение из другого, получим дТ ] + (и + а) [ д ] + — 1 [ дг ] + (и + а) Ц ) = О, [ д1 ] + (и — а) [ д" ] — — ( [ ~~ ] + (и — а) [д ] ) = О, [д',]+ [д'.]= Знак [ ) обозначает скачок значения соответствующей величины с двух сторон Г.
Если х=х(1) — уравнение кривой Г, то из непрерывности производных вдоль Г с обеих ее сторон следует, что Ц+ [д ] х=О, [д ]+ [д ] х=О, [д~]+ [д ] х=О. Исключая из выписанных соотношений скачки производных по времени, получим (и+а — х) ( [д — ] + — Ц) =О, ) ([д ] [д ])=О, ( — ) [ —,] — О. Отсюда следует, что слабые разрывы скорости и давления могут быть только на акустических характеристиках; слабые разрывы энтропии на них невозможны. Вместе с давлением на акустической характеристике имеют слабый разрыв и все другие величины, зависящие от давления и энтропии: плотность, температура, скорость звука и 168 гл.
и. одномвгныв негстлновившиеся движения другие. На характеристике в' слабые разрывы скорости и давления ! связаны соотношением [и„.1 — — [р,1=0, а на характеристике и" ! соотношением [и„)+ — [р„]=0. Слабый разрыв энтропии возможен только на характеристиках о' — траекториях; слабых разрывов скорости и давления на этих характеристиках быть не может. 5 6.
Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей) Пусть теперь два пересекающихся в точке О отрезка ОА и ОВ (рис. 2.6А) представляют собой акустические характеристики разных семейств; пусть на каждом отрезке известны значения трех искомых функций (на каждой характеристике эти значения связаны соответствующим характеристическим соотношением, так что только две из трех функций являются независимыми).
Предположим также, что распределения искомых функций на обеих характеристиках непрерывно дифференцируемы и что их значения в точке О совпадают. р, Будем искать решение в угловой облас- ти между заданными характеристиками + ОА и ОВ. Поставленная таким образом 0 задача называется задачей с характерис- тическими начальными данными или Рис. 2.6.
! задачей Гурса (назовем ее также зада- чей П тина). Применим для ее решения метод характеристик. Для этого возьмем на отрезке ОА и ОВ кроме граничных точек еще ряд промежуточных точек. Для пары точек Рч и Р, ближайших к угловой точке О и принадлежащих разным характеристическим отрезкам, можно применить процедуру решения элементарной задачи метода характеристик, проведя из этих точек внутрь угла между отрезками ОА и ОВ элементы характеристик разных семейств Р,Р и Р Р до их пересечения в точке Р, Затем та же процедура применяется к парам точек Р'„Р и Р', Р и т. д., пока не будет построено решение для узлов характеристической сетки, лежащих на характеристиках разных семейств, выходящих из точек Р+ и Р . Далее процедура очевидным образом повторяется вновь и вновь до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик и найдено решение в ее узловых точках в области, ограниченной заданными отрезками характеристик и характеристиками разных семейств, выходящими из конечных точек А и В.
В общем случае эта область представляет собой четырехугольник, однако при некоторых специальных условиях она может быть и неограниченной. Зк зидлчи с Условиями ни хлглктеиистииих 169 Рассмотрим еще одну задачу (назовем ее задачей 1П типа). Пусть (рис. 2.6.2) на отрезке ОА акустической характеристики, например первого семейства, заданы значения искомых функций (опять из них только две независимы) и пусть на неизвестной заранее траектории частицы, проходящей через точку О, задана некоторая связь между искомыми функциями и, может быть, х и Г (кроме заданного на ней постоянного значения энтропии; последнее не требуется, если движение баротропно).
Примем также, что начальные значения искомых функций на отрезке ОА удовлетворяют в точке О наложенной на траектории ОЬ связи между ними и имеют в этой точке то же значение энтропии. Требуется найти область определенности решения и найти это решение, в частности, найти форму траектории ОЬ. Как и в предыдущих задачах, вы- Р делим на отрезке ОА кроме концевых точек ряд промежуточных точек.
По из- х вестным начальным данным проведем из Рис. 2ЛЬ2 точки 0 элемент траектории, а из точки Р элемент характеристики второго семейства до их пересечения в точке Р, Для определения двух параметров течения в этой точке (третий— энтропия — известен) имеем два соотношения: заданную связь между этими параметрами (ее при фактических вычислениях можно при необходимости линеаризовать) и соотношение вдоль характеристики второго семейства Р Р. После определения таким образом параметров течения в точке Р решим элементарную задачу метода характеристик для пары точек Р и Р', в результате чего найдем узел характеристической сетки Р' и значения параметров потока в нем, Повторяя аналогичную процедуру, найдем решение в узловых точках Р" и т.
д. характеристики первого семейства, выходящей из точки Р. Далее очевидным образом строим сетку характеристик и находим решение в ее узловых точках во всей области определенности решения, представляющей собой треугольник, сторонами которого является начальный отрезок характеристики ОА и отрезки выстраиваемых в процессе решения характеристики второго семейства АЬ и траектории частицы (характеристики третьего семейства) ОЬ. Укажем на два частных случая рассмотренной задачи. Первый случай: пусть заданная на траектории связь между искомыми функциями О(и, Р; х, Г)=О не содержит и. Так как вдоль траектории с(х/Й =- и, то задание такой связи, очевидно, эквивалентно просто заданию самой траектории в плоскости х, 1, а следовательно, и значений скорости и вдоль нее.
Эта задача возникает при нахождении движения газа, вызываемого движением поршня по заданному закону. Второй случай: пусть, наоборот, связь О (и, р; х, () = О не содержит и. Эта задача возникает при нахождении движения газа, г7о гл. 11. ОднОмеРные неустАиозившиеся дВижения вызываемого движением поршня, на котором давление изменяется заданным образом. Траектория поршня при этом не задана и должна быть определена. Интересным является случай, когда р=р (х, 1) =сонэ(, т. е. когда давление на поршне или в пространстве, с которым граничит газ, постоянно; в таком случае траектория является так называемой свободной границей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
