Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 34
Текст из файла (страница 34)
д» Последнее из этих уравнений имеет интеграл В=5(т), с использованием которого всю систему (1.7) можно привести к одному урав- нению —,= — х ' — 1((х' — ), 5(т)1!+Х, (1.8) где 1(р, х) есть функция, определенная формулой (1.4). Для непрерывных движений функция 5(т) сохраняет свой вид во все время движения и должна быть задана дополнительными условиями. Особенно простым становится уравнение (!.8) при»=! для нзоэнтропических движений (т.
е. при условии 5(т)=сонэ!) совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В этом случае 1= Ср» и уравнение (1.8) приобретает вид д»х »С д»х —, +Х. д»» ! дх 1»" 1 диР ~ дм / Аналогично плоскости течения х, ! при эйлеровом подходе, при лагранжевом представлении можно ввести плоскость течения й, Траекториями частиц в этой плоскости будут прямые а=сонэ!. Допустим теперь, что все составляющие скорости в одномерном движении могут быть отличны от нуля.
Очевидно, что и в этом случае уравнение неразрывности в эйлеровых переменных имеет внд (1.1). Для движений с плоскими волнами (у=!) кроме проекции (1.2) уравнения Эйлера на ось х декартовой системы координат х, у, г с составляющими скорости и, В, ш его проекции на оси у и г прн $ !. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ !Ез сделанном выше предположении о массовой силе имеют вид до до дв дв — +и — =О, — +и — =О. д! дх ' д! дх (1. 10) Таким образом, частицы при их движении сохраняют составляющие скорости о и в, а составляющая скорости и, давление р и плотность р находятся независимо из трех уравнений (1.1) — (1.3).
В одномерных движениях с цилиндрическими волнами в цилиндрической системе координат х, ф, г (х — расстояние от оси симметрии, г †расстоян вдоль нее, ф †углов координата меридианной плоскости) с компонентами скорости и, о,в проекции уравнения Эйлера имеют вид (см.
12]) ди ди о' 1 др — +и — — — + — — =Х, дГ дх х р дх до до ио — +и — + — =О, дФ дх х — + и — =О. дв дв д! дх Третье уравнение выражает постоянство составляющей скорости э вдоль оси симметрии. Из второго уравнения, преобразованного к виду дхо дхо — +и — =0 д! дх следует постоянство величины хо в частице. Вместе с уравнением сохранения массы (1.1) при У=2 отсюда легко получить уравнение сохранения момента количества движения частицы относительно оси симметрии. Итак, в случае одномерных «закрученных> (т. е. с оФО) движе- ний с цилиндрической симметрией уравнения для составляющих ско- рости и и о оказываются связанными, составляющая же скорости в определяется из независимого соотношения.
При движениях со сферической симметрией в сферической системе координат х, ф, О с составляющими скорости и, о, в проекции урав- нения Эйлера для одномерных движений должны иметь вид (см. 121): ди ди о'+'в' ! др — +и — — — + — — =Х, д! дх х р дх — 'о+ до+ос+~"'ф=О, д! дх х х дв дв ив о' «1Е 0 — + и — + — — =О. д! дх х х Отсюда видно, что для того, чтобы движение было одномерным, т.
е. чтобы параметры газа зависели только от х, необходимо и=О (иначе в уравнения входит переменная О). При о= 0 второе уравнение си- 154 ГЛ. !!. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ стемы тождественно удовлетворяется; из третьего уравнения получаем дата дх!а — +и — =О, д! дк т. е. сохранение величины х!В в частице. При этом, очевидно, на поверхностях (сферах) х = сопз! при 0 = 0 и О =- и скорость газа (ее направление) при ш ~ 0 не определена; таким образом, не удовлетворено требование зависимости физических параметров только от х и, следовательно, как говорилось выше, в сферически-симметричных одномерных движениях отличной от нуля может быть только одна составляющая скорости и *).
й 2. Начальные условия и внешние граничные условия Для решения задач об одномерных или квазиодномерных неустановившихся движениях газа необходимо, кроме уравнений (1.1) !(!.1б)1 — (!.5), сформулировать в математической форме дополнительные условия, которым должны в соответствии с физической постановкой задачи удовлетворять параметры газа в данном конкретном движении. Эти условия могут быть весьма разнообразными. В большинстве задач о нестационарных движениях задают начальные значения параметров газа во всей занятой им области, т, е.
в плоскости х, ! задают значения трех параметров газа на отрезке оси х, являющемся частью границы области движения: и (х, 0) = и,(х), р (х, 0) = р,(х), р (х, 0) = р, (х). Начальные распределения газодинамических величин могут не быть гладкими, могут иметь разрывы и обладать другими более сложными особенностями. Если область, занятая движущимся газом, ограничена по координате х с одной стороны или с обеих сторон, то, кроме начальных условий, нужно задавать и условия, которым должны удовлетворять параметры газа на границах,— граничные или краевые условия. При интерпретации одномерных движений как движений в трубках неподвижную границу х = сопз! часто называют стенкой, а подвижную границу х=х„(!) — поршнем.
Если граница соприкасается с газом и непроницаема для него, то скорость границы и скорость соприкасающегося с ней газа должны быть одинаковы, т. е. на поршне должно быть выполнено краевое условие (2.1) и = х„(!) при х = х„(1) (точкой вверху обозначено дифференцирование по времени 1). *1 Это не исключает возможность испольаования сферически-снмметричнык решений с о=о, ш М О с особенностями на прямой О=-О, я.
% 2. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ И ВНЕШНИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ !55 В частности, на непроницаемой стенке х„=сонэ( скорость газа должна равняться нулю: и = 0 при х=х„= сопзй (2.2) В некоторых задачах на поршне задается давление газа р=р„(1), а скорость перемещения поршня х„(1) и, следовательно, равная ей скорость газа, прилегающего к поршню, определяются при решении задачи. Как уже говорилось в ~ 7 гл. 1, при р=-сопз( непроницаемая граница называется свободной.
Таким образом, на части границы области движения в плоскости х, !, соответствующей непроницаемым стенке или поршню, задается одно граничное условие, В случае, если газ может протекать сквозь неподвижную или подвижную границу, вопрос о числе требуемых краевых условий на такой границе интуитивно не так ясен. Рассмотрим пример. Пусть газ может вытекать наружу из занятой им области в трубе сквозь проницаемую правую границу трубы х=х, и пусть массовый расход газа ри сквозь границу есть некоторая, например, линейная функция разности давлений р — р, по обе стороны границы, причем р,— наружное давление — задано.
Граничное условие ри =Й(р — р,) при х=х, (2.3) связывает на границе значения трех искомых функций и, р, р. Если считать это условие справедливым и при р( р„когда газ втекает снаружи в трубу, то физическая интуиция подсказывает, что одного лого условия недостаточно и дополнительно на границе нужно задавать энтропию втекающего газа. Однако, как будет показано далее (Э 6), в некоторых случаях вытекания газа сквозь границу даже одно условие может оказаться излишним, а при втекании — и двух условий может быть недостаточно и нужны три граничных условия, подобно тому, как это необходимо при задании начальных условий на части границы при г = О.
Условия (2.1) — (2.3) связывают значения искомых функций на границе (и скорость движения границы, если она подвижна) конечными соотношениями. Однако в некоторых случаях граничные условия могут быть и более сложными. Так, представим себе, что поршень с массой М, ограничивающий со стороны ббльших значений х занятую газом область в цилиндрической трубе, движется под влиянием разности сил давления, приложенных к нему со стороны газа и с внешней стороны, где давление р, задано. Дифференциальные уравнения движения поршня М вЂ”" =- (р — р,) г", — ' = и„при х = х„(1) (К вЂ” площадь поршня) вместе с начальными условиями для решения этих уравнений х„(0) = х„и„(0) = и'„связывают значения двух искомых функций и и р на поршне и закон движения поршня х= х„(1) !ВВ ГЛ. !!.
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ и служат в рассматриваемой задаче требуемыми граничными условиями. Если центр или ось симметрии течений со сферическими или цилиндрическими волнами принадлежат границе области, занятой газом в плоскости х, 1, то должно быть выполнено условие и=О при х=О. (2.4) Это же справедливо и для течений с плоскими волнами, если для них плоскость х= О есть плоскость симметрии. Однако параметры течения со сферической или цилиндрической симметрией и симметричные относительно плоскости х= О течения с плоскими волнами могут подчиняться и другим условиям при х = О. Так, если при х=О имеется источник массы с мощностью д(!), то условие (2,4) нужно заменить условием 1пп о, рих' ' = д (1), (2.5) й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
