Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 53
Текст из файла (страница 53)
2.18.3, а. Сравнение результатов нелинейной теории для распространения слабых ударных волн, изложенной в 2 11 и 15, с результатами линейной теории обнаруживает непригодность последней для описания поведения возмущений на значительном удалении от места их возникновения (точнее — от границы области, на которой заданы начально-краевые условия). Так, в 8 11 в задаче о поведении слабых возмущений при вдвигании поршня в область, занятую газом, с последующим возвращением поршня в первоначальное положение, бегущее по газу возмущение представляет собой расширяющуюся и ослабевающую со временем волну, состоящую из простой волны разре- $!В, АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 239 жения и ограничивающих ее с обеих сторон ударных волн. Согласно же линейной теории в той же задаче возмущение от поршня распространяется сколь угодно далеко в виде незатухающей бегущей волны неизменной формы. В соответствии с нелинейной теорией в бегущих непрерывных волнах при их распространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью.
По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие нх наличия в начально-краевых условиях, причем в случае плоских волн их интенсивность в пропессе распространения не изменяется. Однако на небольших удалениях от места возникновения слабых возмущений линейная теория вполне удовлетворительно описывает их распространение. Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения распространяются с одинаковой скоростью а, независимо от их амплитуды.
Это исключает возможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования разрывов — явления, столь важного в нелинейной теории, а также исключает взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении. Линеаризация же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе н бегущих в разных направлениях.
Глава 111. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 5 1. Установившиеся движения газа. Основные уравнения и их интегралы. Двумерные движения Обширный и важный для многих приложений класс движений газа представляют установившиеся движения. Напомним, что движение называется установившимся (или стационарным), если в точках занятой газом области его параметры не изменяются во времени, так что — =0 ~ — — 0 — 1 —— 0 дм др др дГ ' дС ' дг (1.1) и, следовательно, У, р и р являются функциями одних только пространственных координат. При достаточно длительном сохранении неизменными всех условий, которые определяют движение газа, можно ожидать, что и движение не будет меняться во времени, т.
е, будет установившимся. Так, если какое-либо тело неизменяемой формы движется достаточно долго поступательно с постоянной скоростью в безграничном объеме первоначально покоящегося однородного газа, то в системе координат, связанной с телом, движение во многих случаях будет установившимся. При истечении газа из сосуда больших размеров через малое отверстие в беспредельное пространство с газом более низкого давления движение можно считать установившимся, если сосуд настолько велик (или отверстие настолько мало), что при достаточно длительном истечении газа изменением давления в сосуде на большом удалении от отверстия можно пренебречь.
Если изменение определяющих движение параметров со временем значительно, но происходит так медленно, что в каждый момент движение газа можно считать установившимся, соответствующим текущим значениям определяющих параметров, то движение называется квазиустановившимся или квазистационарным. При описании квазиустановившихся движений в уравнениях, определяющих пространственное распределение параметров газа, по-прежнему следует считать выполненными условия (1.1); К, р и р зависят в этом случае от времени, как от параметра, который входит в определяющие решение дополнительные условия, Рассмотрим область движения с заданным полем скорости У(х).
Введем в этой области поле направлений с(х(1(х, бу, дг) посредством соотношения ох= Убт или — в скалярной форме — с помощью 4 Ь УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 24! уравнений ,— ( = ( у афтаб). (1.8) В декартовых координатах х(х, у, е), У(и, о, гэ) д, д д д( дх ду дг' — =и — + — +( —. Систему уравнений для определения скорости у, давления р и плотности р возьмем в виде (1,7.10). При этом уравнение импульсов представим в форме Лэмба — Громеки (1.8.4)„считая внешнюю массо- вую силу потенциальной (~=цгада).
Итак, др — +рс(1У У=О, д( 1У» ! угад'— + 2(В»)( у ) + — пгаг) р=йтаб У, 2 Р т —,=у. д» д( (1.6) Для баротропных течений газа третье уравнение этой системы следует заменить конечным соотношением р= р(р). Умножив уравнение (1.5) скалярно на г',к= КЮ, т, е. проектируя его на направление линии тока, получим, что вдоль такой линии выполняется соотношение д — + — еК/= О. 2 р (1.7; дх ду дх и(х, у, х) у(х,у,х) в(х, у, г) Здесь т — некоторый параметр. Линии в пространстве, представляющие интегральные кривые этой системы уравнений, называются линиями тока установившегося движения с полем вектора скорости У(х, у, е).
Линии тока мы будем в дальнейшем обозначать символом .К. В частности, если трактовать параметр т как время, положив т=(, то система (1.2) совпадает с системой, определяющей траектории частиц в пространстве (см. 2 2 гл. 1). Таким образом, в установившемся движении траектории частиц газа и линии тока совпадают. Область установившегося движения газа заполнена неизменными во времени линиями тока, вдоль которых движется — «течет» — газ так, что его параметры в каждой точке тоже не изменяются.
Эта наглядная картина установившихся движений делает для них особенно подходящим термин «течения газа», часто употребляемый и для общего случая неустановившихся движений. Для установившихся движений оператор а(а( индивидуальной производной сводится в силу соотношений (1.1) к оператору дифференцирования вдоль линии тока — так называемой конвектиеной производной: ГЛ.
ПЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Пусть на линии тока плотность и давление связаны зависимостью р=р(р, .У); тогда в области непрерывности движения дифференциальную связь (1.7) можно проинтегрировать и получить выражение Р— "+ ! "" — и =Р„ 2 „Р(Р, *В) (1 .8) Ре где при выбранном фиксированном значении р, константа в правой части может быть разной на разных линиях тока: Р, =Р,(.9'). Выражение (1.8) есть уже известный нам интеграл Бернулли (1.3.21), справедливый вдоль линий тока при установившемся движении. Если движение баротропно, т.
е. р=р(р), и если величина Р, одинакова на всех линиях тока в некоторой области движения, то интеграл Бернулли при отсутствии массовых сил дает связь между давлением (или плотностью) и величиной скорости во всей этой области. Аналогично интегралу Бернулли можно путем умножения уравнения (1.5) на йх=еп( и последующего интегрирования получить соотношение Р— '+~ — — и=Р (Х*), лр ) р(р Ве) е *е Ре справедливое вдоль вихревой линии .2'е.
При адиабатических течениях в уравнении (1.6) д = 0 и это уравнение имеет вид дз/д( = О. Таким образом, вдоль линии тока й=О (1.9) н справедлив интеграл з(р, Р) = З(-2'). (1.10) Константа в правой части этого интеграла может быть разной на разных линиях тека. Соотношение (1.10) позволяет выполнить интегрирование в интеграле Бернулли (1.8), так как дает необходимую для этого связь р= р(р, .У). С помощью термодинамического равенства (11.2) ц= (й — ' РР Р условию (1.7) вдоль линии тока в случае адиабатических течений ф)=0) можно придать вид 1 — ', +и'й — (и=О, так что для таких течений интеграл Бернулли можно заменить интегралом 2 ( 1.1 1) $ Ь УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 243 (1.13) где (при (/=О) й,=5+ У /2 есть полное теплосодержание единицы массы газа.
Как и интеграл Бернулли (1.8), этот интеграл был получен нами ранее (1.3.18), Таким образом, вдоль линий тока установившихся непрерывных адиабатических течений газа сохраняются энтропия и полное тепло- содержание газа. Уравнение количества движения в форме (1.8.5) при установившихся движениях имеет вид 2 (га х У) =- Т игаб з — игаг) й, (1. 12) (в таком виде уравнением движения первыми пользовались А. А. Фридман и Л. Крокко). Это уравнение указывает явно на связь завихренности установившегося течения с градиентами энтропии и полного теплосодержания в потоке.
Если энтропия и полное теплосодержание газа одинаковы на всех линиях тока (в более общем случае— если движение баротропно и константа Р, одинакова на всех линиях тока), то движение — безвихревое (исключение составляют так называемые винтовые движения, у которых вектор скорости и вектор вихря в каждой точке коллинеарны; этот специальный класс движений изучал И. С, Громека). Преобразуем уравнение неразрывности (1.4) для адиабатических или баротропных течений к иной форме. Для таких течений справедлива следующая последовательность преобразований: др др да р д У~ р / Уа т — = — — = — — — — = — — ~У агаб — ).
д/ др В/ аа д/ 2 а~ ( ~ 2 ) ' Для баротропных течений первое преобразование очевидно; производная др/др вычисляется при этом по заданной связи между р и р. Для адиабатических течений в силу (1.9) это преобразование справедливо, если производную др/др вычислять при постоянной энтропии. При втором преобразовании использовано соотношение (1.7) вдоль линии тока (при г((/ =- О) и введено обычное обозначение др/др = а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
