Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 57
Текст из файла (страница 57)
3.4.2, а слева), на второй ветви — от критической при г==г;„до максимальной при г=оп (сверхзвуковой источник или сток, рис. 3.4.2,а справа). Соответственно, давление и плотность газа при изменении г от г;„до со меняются от критических значений до их значений в заторможенном состоянии в первом течении и до нулевых значений — во втором течении. Обратим внимание на то обстоятельство, что однозначному (при 0 < 0 < 2п) решению (4.3) уравнений (3.10) в плоскости годографа соответствует двузначная зависимость (4.5) )Р от г в плоскости течения.
Можно считать, что два соответствующих решению (4.3) течения газа происходят на разных листах плоскости и соединяются вдоль окружности г= г,„, через которую они не могут быть про должены в сторону меньших г. На этой окружности якобиан (3.12) Л= А'р, (4.6) о К гл. Пь устАИОВНВшився дВижения равен нулю, а ускорение газа ВУ ВУ У рУв вп Дг Ар в (М' — 11 обращается в бесконечность. Линия г= г 1, в рассмотренном течении есть простой пример возникновения в физической плоскости при переходе в нее из плоскости годографа уже упоминавшейся предельной линии.
На предельной линии ускорение газа обращается в бесконечность; через нее течение не может быть продолжено. В этом примере предельная линия совпадает с линией, на которой скорость газа равна скорости звука; линии тока подходят к предельной линии по нормали. Однако этн свойства в общем случае не являются характерными для предельных линий. 3. Из линейности системы (3.!О) следует возможность суперпоЗицнн ЕЕ рЕШЕНИй. ЕСЛИ ф,(У, О) И Врв(У, О) И СООтВЕтетВЕННО вр, И 1р, суть решения системы (3.10), то ее решением будет и линейная комбинация ф=свф,-(-с,ф„Р=С1Р,+ СвР,.
Из соотношения (3.8) при этом получим г = С,г, + С,г,. Применим принцип суперпозицин к ,'двум рассмотренным ранее решениям (4.2) и (4.4), считая в каждом из них г,=0. Поле скоростей нового течения определится формулой ге1в (1 А' +А -йв ) ее 'рУ~ Приравнивая модули правой и левой частей этого равенства, получим связь полной скорости У и радиуса г: (А Рв) (4.8) Введем радиальную и окружную составляющие скорости газа У, и Ув. Очевидно, что (У, + 1Ув) е1в Уевв Приравняв отношение правых частей этого равенства н равенства (4.7) к отношению их левых частей и используя (4.8), найдем грв = — А„гУ,=А, Рв, т.
е. окружная и радиальная составляющие скорости полученного течения равны соответственно значениям полной скорости каждого из составляющих течений. Согласно изложенному ранее прн заданных А, и А, существуют два различных течения; одно из них соответствует сложению вихря з 4. точные Решения в пеееменных годогел эл и сверхзвукового источника (стока), а второе — сложению вихря и дозвукового источника (стока).
Оба эти течения существуют вие круга, радиус которого г;„находится из условия минимума правой части выражения (4.8), рассматриваемой как функция $'. Это условие имеет вид (4.9) ~р= А — "' созй, рр А р= — 1п0 р (4.10) являются решением уравнений (3.10). В несжимаемой жидкости, т. е.
при р=р„этому решению соответствует показанное на рис. 3.4.4,а течение около полубесконечной пластины, расположенной вдоль полуоси у= О, х > 0 плоскости комплексной переменной г = х+ 1у. Действительно, при р= р, = сопз1 из (4.10) находим комплексный потенциал течения и в виде ш =«р + йр= — е'з. Отсюда следует, что и вместе с (4.8) определяет значение г,„. Очевидно, что при А,=,Л 0 будет М,=,, > 1, т.
е. полная скорость газа при г=г ы сверхзвуковая, радиальная же составляющая скорости равна скорости звука. Таким образом, если течение от вихря и сверхзвукового источника, очевидно, П)ВФ всюду сверхзвуковое, то в течении от р-ъ.о вихря и дозвукового источника скорость Р о свеРхзвуковая лишь в кольцевой облас- смеши о ооермфнойа ти между окружностью г=г ми окружностью некоторого радиуса гз, на кото- Р О рой скорость становится равной скорости звука.
При г > гз скорость газа до- о. оо звуковая. М<4 МЬ! ЪЬ Вычислив якобиан й (3.!2) и приравняв его нулю, вновь получим равен- ~У ство (4.9). Легко найти также, что ускорение газа при г = г;„обращается Рис. ЗА.З в бесконечность. Таким образом, окружносты = г;„является предельной линией рассматриваемого течения. Линии тока обоих течений отходят от этой линии под углом, не равным прямому при А,чь0, и скорость газа на предельной линии сверхзвуковая.
На рнс. 3.4.3 показана одна линия тока каждого из двух течений, а также часть окружности г= гз, на которой М= 1, для второго (смешанного) течения. 4. Непосредственной подстановкой легко проверить, что функции ГЛ. НЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ге= — и в=(2АЕ)п'.
В полярных координатах г, О в плоскости А ам/аг течения получаем (считая А > 0) так что ~р=(2Аг)и'соз —, ф= (2Аг)и'з!и —, У=! — ), О= —. (4.11) 6 б /А~Н1 4! Линии тока ф=сопз! рассматриваемого течения — параболы (линия ф=Π— дважды проходимая полуось у=О, х > 0); эти линии и показаны на рис. 3.4.4,а. В плоскости годографа (рис. 3.4.4, б) им А соответствуют окружности ф= — з!НО=сонэ(, Течение начинается с нулевой скоростью в бесконечности под пластиной, огибает ее кромку и вновь замедляется до нулевой скорости в бесконечности над пластиной. Вблизи кромки скорость жидкости неограниченно возрастает, давление при этом стремится к — оо.
и Такое поведение потока приводит к тому, что со стороны Ю жидкости на пластину действует сосредоточенная сила, приложенная к кромке пластины(в точке Она рис. 3.4.4, а) и направленная по ее продолРис. 3.4.4 жению — вдоль отрицательной полуоси х. Для доказательства применим уравнение импульсов (!.2.9) ~ Р1/В„гЬ= — ~ Рпйт+ Р" (4.12) к жидкости внутри контрольного объема в виде круга (слоя еди. пичной толщины) радиуса г с центром в точке О и с разрезом вдоль положительной полуоси х (рис. 3.4.4, а). Из того, что согласно (4.11) модуль скорости У зависит только от г, следует, что давление р есть тоже функция только г и интеграл от давления по контрольному контуру равен нулю (на окружности давление постоянно, а в точках разреза с двух его сторон силы давления одинаковы, но направлены противоположно).
Обозначим Х+ !У силу, действующую на жидкость со стороны участка пластины, прилегающего к контрольному контуру. Из 4 С ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В ПЕРЕМЕННЫХ ГОДОГРАФА 2ба уравнения импульсов (4.12) получаем 2» 2» 'д<р Х + 2У = ) ро„(и + (о) г с(8 = — ') р Д Уе2ег с(б = о а 2» . о А г 6 р — д! соя — е «ай= 2 д 2 о А =лр— 2 т. е. Х=прА)2, У=О независимо от радиуса г. Таким образом, и в пределе при г — 0 со стороны жидкости на пластину действует приложенная к ее кромке сила А Р =- — пр —, 2 ' называемая подсасыеаюи4ей. Факт появления такой силы будет использован в дальнейшем 8 19) в теории тонкого крыла. Так как при адиабатических движениях сжимаемого газа скорость не может превосходить предельной величины 1',„, при которой давление становится равным нулю, то появление «подсасывающей» силы в точной теории таких движений невозможло. Вернемся к формулам (4.10) и изучим соответствующее течение в сжимаемом газе*).
Из соотношения (3.8) после подстановки в него аср и а«р из (4.10), интегрирования и некоторых выкладок получим Р 4! ( Ро йУ ! Ро е,есояО ! .а так что, если положить г«=-0, х=А д( Р' йУ+ Ро соя'0 '!, у= А — "' яшОсояО. (4.14) о 1 — М' соя' О = О. Соответствующая ей согласно формулам (4.14) предельная линия в плоскости течения есть линия ветвления решения. Для случая ') Г. нша!еь ()940), см. (б1. Полуось у=-О, х) 0 и в этом случае является линией тока, а на больших расстояниях от начала координат (там, где У мало и р ж р,) линии тока имеют вид парабол. Однако в рассматриваемом течении газа есть предельная линия.
Действительно, для этого течения якобиан Ь по формуле (3.12) равен Ь = — А*ф (1 — М* Е). Следовательно, критическая линия в плоскости годографа определяется условием гл. ии ьстлновившився движения совершенного гази с постоянными теплоемкостями предельная линия, критическая линия и линии тока течения показаны в плоскостях х, у и и, и на рис. 3.4.5. Там же приведены окружности, на которых скорость равна скорости звука *), Предельнае линия ддияида ляреьтееа аеть льней нети Рис.
3.4.о Течение вне линии тока АВ не имеет особенностей. Газ, движущийся вдоль какой-либо линии тока в этой области, постепенно ускоряется из состояния покоя в бесконечности, достигает наибольшей скорости в точке на линии у= О (эта скорость может быть сверхзвуковой, если линия тока проходит внутри звуковой окружности) и вновь замедляется до нулевой скорости при удалении вдоль линии тока в бесконечность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
