Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Будем считать этот знак отрицательным, т. е. будем расо о о а'.р', сматривать дозвуковые течения, полагая У'.— а'„= — а, =- — — ', ' . рон Здесь р„— значение плотности р при У = О., В дальнейшем примем р„= !. Из выражения (6.20) следует, что, в отличие от адиабатических течений нормального газа, в газе Чаплыгина скорость звука с ростом скорости не падает, а воз- 1 растает. В дозвуковых потоках связь межу -1 ду числом Маха М=У!а и скоростью оп- Гаг Фаагыгааа ределяется формулой ! 1+ у у:о Х ао Рис.
3.6.3 из которой следует, что М вЂ” - 0 при У- 0 и М - ! при У- оо. График зависимости )Л от У(ао для газа Чаплыгина приведен на рис. 3,6,3. Там же приведена зависимость М от У/ао для адиабатического течения совершенного газа при у = ),4. Введем вместо о переменную Ун по формуле йУн О(О = —. у, ' Тогда согласно выражению (6.7) ОоУн =р Используя следующую из интеграла Бернулли для газа Чаплыгина связь между !' и р, получим Ун 1 — Р о Уо 1+р Отсюда Ун 1 —— Уо Р= о 1+— !н Уо (6.2!) Ун 2— уй 1 —— Здесь Уо — постоянная интегрирования. (6.22) гл. пь установившився движения 276 Выписанные формулы дают общее решение уравнений, описывающих течение газа Чаплыгина. Действительно, уравнения (6.5) при К=1 имеют общее решение %+ гф= 1(6+ (з) (6.23) где 1 †произвольн аналитическая функция.
Соотношение (3.8) (Й = — ",' (Йр+ ';6~)) ев е~в иг, — — (йр+ иф). Запишем теперь соотношение (3.8) для сжимаемого газа в виде Иг = — 1 —. (е(ер+ ' Ю)+ — (йЧ',— (Я)1— 1 Ге+1 . р-1, . 1 еаза и подставим в него р из (6.21) и Ъ' из (6.22). В'результате получим У.ткач)+1а~р У1 У.,ааз ™Л 2ее) ~ У„е-~Е Уе Уе Уд ) или — е(а йа~ — Хг,' е(~~, Уе ее (6.24) где Х = У,'/Уее (не следует смешивать эту величину с введенной в гл. 1 приведенной скоростью Х = $7)7„,1).
Определим константу интегрирования Уе из условия, что У„= = У,=У,. Тогда из соотношения (6.22) следует м'„ Учет множителя 2а„У, перед дг сводится лишь к изменению масштаба для координат в плоскости течения газа и не является существенным при определении параметров, не зависящих от масштаба. Формула (6.24) называется формулой Таяна: она устанавливает соответствие между плоскостью течения несжимаемой жидкости и плоскостью течения газа Чаплыгина для одной и той же функции 7 (6+ и) прн разных значениях параметра Х, связанного с величиной М„. вместе с формулами и= 1п(У,/Уе) и (6.21) и (6.22) дает зависимость х и у от 6 и У /$', и, следовательно, от О и Г.
Установим связь получаемых таким образом течений сжимаемого газа с течениями несжимаемой жидкости. Будем трактовать выражение (6.23) как решение уравнений Коши— Римана для течения несжимаемой жидкости с комплексным потенциалом ге <р+ (ф и комплексной скоростью Йа/е(е )еД )г,е 'е. Для такого течения Га. привлиженнын метод чаплыгина и егоововщения 2тт Пересчет значений скорости в соответствующих точках осуществляется при этом по формуле (6.22), которую можно переписать в виде У У, — = (1 — Х) — ' уй ! — Х вЂ”" уа Соответственно можно получить формулу для пересчета давлений. Действительно, в несжимаемой жидкости интеграл Бернулли дает а Р— Ра а рн — а а а' Раун 2 Здесь р,— давление, соответствующее значению 1~,; через р, обозна- чена плотность несжимаемой жидкости.
Для газа Чаплыгина РнУ.' Пользуясь предыдущими формулами, получим Срн рг а Эта формула называется формулой Кармана — Таяна. При малых значениях ср, она переходит в формулу 1Трандлаля — Глауэрта с„= (6.25) у )-м'„ которая будет иным способом получена ниже (в $ 19) при рассмотрении течений с малыми возмущениями скорости. Область течения несжимаемой жидкости, соответствующего данному течению газа Чаплыгина, может быть многолистной.
Верно и обратное: при использовании некоторого течения несжимаемой жидкости в плоскости ан для построения течения газа область в плоскости г, определяемая пересчетом по формуле (6.24), может оказаться неоднолистной, начиная с некоторого конечного значения параметра Х. Так, исходному обтеканию несжимаемой жидкостью (М=О) круга соответствует при разных значениях числа М обтекание газом Чаплыгина контуров, изображенных на рис. 3.6.4 [12). При достаточно больших значениях числа М (см. на рис. 3.6.4 контур при М=0,85) обтекаемый контур становится самопересекающимся и течение газа перестает быть однолистным.
Если известна область течения газа в комплексной плоскости Уе 'с, то ей легко поставить в соответствие область в плоскости Уне аз, 278 ГЛ. 1!1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ после чего, определив функции гн=Р(Ь) и г„=Е(Г), можно найти и течение газа в плоскости г. Так, в час~ности, каждому струйному течению несжимаемой жидкости можно поставить в соответствие струйное течение газа.
Пересчет некоторых струйных течений несжимаемой жидкости на течения газа, в том числе и в случаях, когда неприменим описанный ранее точный метод Чаплыгина, был дан самим Чаплыгиным. Впоследствии теория была развита на случаи истечения струй из сосудов 5,85 с криволинейными стенками или струйного обтекания криволинейных препятствий и на случаи бесциркуляционного обтекания профилей *). Да Решение задачи об обтекании профилей при отличной от нуля циркуляции потребовало существенного развития теории е*).
Суть затруднения состоит в том, что при не равной нулю циркуляции скорости вокруг профиля соответствие между плоскостями г и ен в окрестности бесконечно удаленной точки перестает быть однолистным. Поэтому пересчет однолистного течения несжимаемой жидкости около некоторого исходного профиля не позволит получить обтекание газом деформированного профиля. Действительно, при наличии циркуляции в окрестности бесконечно удаленной точки плоскости дн справедливо разложение — =!)т„е- "+ — — -1- —., +... ам, ге Г ! аз "ан 2н1 г„гн Из формулы (6.24) непосредственно вытекает, что вблизи точки г = оо, соответствующей г„=оо, однолистность будет только при Г= — О. При Г=О профиль в газе согласно формуле (б,24) отличается от профиля в несжимаемой жидкости из-за присутствия в этой формуле второго слагаемого. Если )ь мало, т.
е. при малых М'„этим отличием профилей можно пренебречь. При этом формула Кармана— Тзяна дает зависимость распределения давления на неизменяемом профиле от числа М„. Мы не имеем здесь возможности излагать соответствующие теории; сошлемся на литературу [!2!. При М= 1 функция К обращается в нуль. Поэтому для изучения течений со скоростями, близкими к скорости звука, функцию К нельзя полагать постоянной. *) Основные результаты в этом направлении получены н 1938 — 1940 гг.,'в СССР Н. А, Слезкиным, С. А. Христиановичем, за рубежом — Т.
Карманом и С. Тзяном. **) Это было сделано в 1948 — 1947 гг. в работах Л. И. Седова, Л. Н. Сретенского, С. А. Христиановича, И. М. Юрьева и в ряде работ зарубежных авторов. а б. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ЧАПЛЫГИНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 279 Наиболее простым видом уравнения (6.3), описывающего смешанные до- и сверхзвуковые течения, является уравнение Эйлера — Трикоми —,— о —,— О, даа9 зааг (6.26) которое получится, если в уравнении (6.3) положить д=-А, К(а) = = — А'а.
Приняв для д и К эти выражения, найдем соответствующую им зависимость К от р. Для этого, подставив в правую часть формулы дтс дтС дч ~р др йт БР аР величину оо из (6. !) и величину пр из соотношения р)ГЛ'+ Г(р=О (здесь р — размерная плотность), получим дтс Ла ~р М' Исключив отсюда М' с помощью выражения (6.4) для К, получим дифференциальную связь между. К и р в виде (6.27) Постоянную интегрирования и константу А найдем из условий, 1 ИК ГНКД 2 что К = О и — = ( — ) при р = р„= ( — ), т. е.
при М = 1. БР а!Р ад Р т+! / БК ~ Величина ( — ) находится простыми вык- к БР ад М=| ладками из выражения (6.4) при адиабатической связи между М' и р: йд та а ) =А'=2( 2 ) м=! На рис. 3.6.6 дано сравнение полученной интегральной кривой уравнения (6.27) (штриховая линия) и кривой К(р) для адиабатического течения (сплошная линия). Уравнение Эйлера — Трикоми является основой для изучения многих свойств околозвуковых течений газа, о которых будет идти Рис.
3.6.5 речь ниже в 9 22. При сверхзвуковых скоростях течения газа аппроксимация К= 1 тоже не является удовлетворительной. Значительно лучшее соответствие приближенных зависимостей с точными для адиабатических ГЛ. 1Ц. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ течений можно получить, полагая в уравнении (6.!4) — — )пКт = 1 о) 4 оо — —" —, где и — целое число. Уравнение (6.14) переходит о-1-оо в+ч+ао ' при этом в хорошо изученное уравнение При и= 1 достигается удовлетворительная аппроксимация функции К для адиабатического течения в диапазоне 1,06 < )7))7„р < 1,74 (при у= 1,4), и это уравнение имеет особенно простое решейие: ф1 (з)+о[2 )т)) $+ я+ по Здесь ф, и трз — произвольные функции своих аргументов. Мы не будем останавливаться на дальнейших деталях использования метода аппроксимации адиабаты для изучения сверхзвуковых течений, так как в следующих параграфах будут изложены другие эффективные методы их исследования е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
