Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями интеграл в выражениях (9.1) вычисляется, в результате чего получаем 1 /' -/ х'-~ Ь = = агс 1а ~г е — — агс 1а 1/ = У-в Г 1-.Хч 1 — езз гл. пь устлновившияся движения Если один из инвариантов, например, 1 (У, О), сохраняет постоянное значение во всей области течения, т. е. если имеется интеграл уравнений движения ! ()!, 0) =сопз1, (10. 1) то вдоль характеристик первого семейства (вдоль каждой из которых выполняется условие !, (У, 0) =- сопз1) угловой коэффициент 1ц (О+ р) сохраняется постоянным и, следовательно, уравнение Д=1К(0+р) можно проинтегрировать и получить еще один интеграл у — ~ц(0+ р) =((0), (10.2) содержащий произвольную функцию 1(0) и определяющий вместе с интегралом (!0.1) в неявном виде зависимость Ъ' н О от х и у. В течении, описываемом выражениями (10.1) и (10.2), все характеристики первого семейства прямые и вдоль каждой такой характеристики параметры газа постоянны.
Такое течение представляет собой простую волну и называется течением Прандтля — Майера, Очевидно, что наряду с течениями Прандтля — Майера, описываемыми формулами (10.1) и (10.2), можно рассматривать течения Прандтля — Майера с прямолинейными характеристиками второго семейства, для которых справедливы формулы ! ()г, 0)=сопз1, у — х1 (Π— р)=д(0) (10.3) с произвольной функцией д(0). Рассмотрим течение Прандтля — Майера с прямыми характеристиками первого семейства (рнс.
3.10.1). В таком течении прямые характеристики сходятся при возрастании у, если д — бт (О+ р) )О н расходятся, если выполнено противоположное неравенство. Написанное неравенство можно с использованием интеграла ! (У, О)=сопз1 преобразовать к виду 1ц (0(у)+ р) — ) О, откуда после выкладок получаем рссз чсс др 2У сов'(О+и) ссз и др' дк Таким образом, для сред, для которых д'о(др*),>0, или для баротропных процессов, в которых Ро/с(р') О, характеристики сходятся, если давление в частицах растет при прохождении ими простой волны (эти волны называются течениями сжатия).
Если давление в простой волне падает, она представляет собой течение разрежения ! и. овгеклиие искиивленноя стенки 287 и характеристики в ней расходятся. При д'о/др*),(0 этот вывод меняется на противоположный. Если в формулах (10.2) или (10.3), описывающих течения Прандтля — Майера, считать )(0)=у,— х, !ц(0+ р) или у(8) =у,— — х, 1я (8 — р), то все прямые характеристики в таких течениях у' у уи ,ю й хи Рис.
3.10.2 Рис. 3.10.! образуют пучок, выходящий из одной точки х„у, плоскости х, у (рис. 3.10,2). Такие течения Прандтля — Майера называются центрироеанными. Как и в случае одномерных нестационарных движений, центрированные течения Прандтля — Майера автомодельны: в них параметры потока зависят лишь от отношения у/х (при соответствующем выборе начала координат). Так же, как и для волн Римана, можно показать, что любое непрерывное течение, примыкающее к области однородного состояния, при плоском установившемся движении есть течение Прандтля— Майера.
$11. Обтекание искривленной стенки. Истечение газа в пространство с пониженным давлением. Течение в канале Предположим, что газ движется вдоль прямолинейной стенки, которая, начиная с некоторой точки О (рис. 3.11.!), плавно искривляется так, что выпуклостью она обращена в сторону, занятую газом. Предположим далее, что в области, примыкающей к прямолинейному участку стенки, поток однороден и имеет сверхзвуковую скорость Уь Вверх от стенки поток газа безграничен. Требуется найти течение, возникающее при обтекании искривления стенки.
Рис. 3.11.! Поместим начало координат в точку О, а ось х направим вдоль продолжения прямолинейного участка стенки. Проведем из точки О характеристику первого семейства, ограничивающую справа невозмущенный поток газа. Характеристика Гл. 11!. устхновившився дВижения эта прямолинейна и, следовательно, вдоль нее к однородному потоку примыкает течение Прандтля — Майера с прямыми характеристиками первого семейства.
Вэтом течении ! (У, 0) = сонэ(, откуда О+ ') с1пр — =О. (11.! ) Угол О при движении вдоль стенки уменьшается, так что скорость ~' возрастает (!1О и Б' имеют разные знаки). Следовательно, давление вдоль стенки уменьшается и течение Прандтля — Майера есть течение разрежения, в котором (при обычных предположениях о свойствах газа) прямые характеристики образуют расходящийся пучок. Так как угол О в каждой точке обтекаемой стенки известен, то согласно (11.1) известна и скорость.
Зная угол О и величину скорости у', можно определить угловой коэффициент прямой характеристики первого семейства, выходящий из данной точки, Параметры потока во всех точках характеристики одинаковы — те же, что и в точке ее пересечения со стенкой. В аналитической форме решение можно получить, если в общем выражении у — х !ц (О+ р) =1(0) (11,2) ! и определить вид функции ! (0). Для этого нужно выразить координаты у и х точек стенки в функции угла 0 и подставить эти функции в выражение (11.2). Для совершенного газа с постоянными тепРис.
3.! !.2 лоемкостями легко получить решение геомет- рически, используя диаграмму эпициклоид в плоскости годографа. Очевидно, что образующееся при обтекании криволинейной стенки течение Прандтля — Майера соответствует отрезку эпицнклоиды второго семейства, проходящей через точку (У„О) плоскости годографа, соответствующую заданному невозмущенному потоку (рис. 3.11.2). Движению вдоль стенки вправо соответствует движение вдоль эпициклоиды от точки (У'„О) в сторону уменьшающихся значений О, При этом вектор скорости с началом в центре плоскости годографа и концом на эпициклоиде поворачивается по часовой стрелке.
Нормаль к эпнциклоиде в какой-либо точке дает направление характеристики первого семейства в плоскости течения в точке обтекаемого контура с тем же значением угла 0 (ось у= О в плоскости х, у н ось о= О параллельны). Рассмотрение рис. 3.1 1.2 показывает, что при данной начальной скорости 1', при адиабатнческом течении совершенного газа сущест. вует предельный угол поворота потока вдоль стенки, при котором скорость у' становится равной максимальной скорости У ,„ стационарного течения газа, давление падает до нуля, а характеристика е !!. СвтекАние искРиВленнОЙ стенки первого семейства совпадает с линией тока (угол Маха !А =О, так что 1й(0+р)= !КО), Если стенка искривляется на угол, больший этого предельного угла, то газ отрывается от стенки и между прямолинейной границей области движущегося газа и стенкой образуется вакуум (рис.
3.1!.3). Очевидно, что с росгом начальной скорости и', предельный угол поворота уменьшается. Наибольшее его значение соответствует звуковой скорости невозмущеиного потока 1', = У„р и равно ( $~ —,— 1! —, что при у= 1,4 составляет 130,45, при / т+! а у = 1,2 — 208,50'. Если после искривлеииого участка с'*нка вновь становится прямолииейной, то за прямолинейной харэктеристикой, замыкающей Рис. 3.
! !.3 Рис. 3.! !.4 течение Праидтля — Майера, поток вновь становится однородным. Если уменьшать протяженность криволинейного участка, сохраняя неизменным угол поворота потока вдоль него, то в пределе, когда стенка будет состоять из прямолинейных участков, образующих выпуклый угол, течение Прандтля — Майера станет цеитрированным (рис.
3.11.4). Если поместить начало координат в точку излома, то для центрированной волны функция ~ в выражении (11.2) обратится в нуль, так что в такой волне у — х !ц(0+ р) =О. (11.3) Это же решение с центрироваииой волной Праидтля — Майера можно использовать, если считать, что прямолинейная стенка, вдоль которой движется со сверхзвуковой скоростью газ, обрывается в точке О„и газ истекает в область с пониженным давлением.
Прямолинейную границу вправо от точки 0 следует при этом считать свободной границей. При заданном давлении во внешнем пространстве скорость иа свободной границе находится из интеграла Бернулли, а угол отклонения потока в центрироваииой волне †соотношения (11.1). В частности, при истечении газа в вакуум угол отклонения свободной границы будет равен предельному. 1О Г. Г. Черний гл. 1и. устлновившився движения Комбинируя течения Прандтля — Майера и области однородного потока, можно конструировать разнообразные течения в каналах. Пример такого течения приведен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
