Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 58
Текст из файла (страница 58)
«) Иа формул (4.14) легко установить, что линии т'=спой, а, следовательно. и М =сопи!, образуют в плоскости х, у семейство окружностей с центрами на осн х. Ь З. МЕТОД ЧАПЛЫГИНА1РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СТРУЯХ Линии тока, начинающиеся внутри области, ограниченной линией тока АВ, ведут себя по-иному. Например, линия тока, проходящая через точку А', доходит до предельной линии внутри окружности звуковых скоростей в точке С и не продолжается далее. От точки С под тем же углом, но в обратном направлении, отходит линия тока другого течения. Эта линия тока продолжается до точки Р, лежащей на уходящей в бесконечность ветви предельной линии, и не продолжается далее.
Из точки Р выходит под тем же углом, но в обратном направлении, линия тока третьего течения, продолжающаяся до симметричной точке Р точки Р на верхней части линии ветвления. Таким образом, решению (4.10) соответствуют три течения нв разных листах физической плоскости. Первое из них в бесконечност(ь приближается к соответствующему течению несжимаемой жидкости. Линии тока первого течения на рис.
3.4.5 показаны сплошными линиями. Часть этих линий тока (вне АВ) непрерывно огибает полуось х > О, часть (внутри АВ) ограничена внутренней дугой А"В предельной линии. Второе течение образовано линиями тока (штриховые линии ни рис. 3.4.5), начинающимися на дуге А"В" предельной линии. Часть этих линий тока ограничена уходящими в бесконечность ветвями предельной линии, часть уходит в бесконечность, где скорость газа стремится к максимальной.
Третье течение образовано линиями тока правее линии тока А'В между двумя уходящими в бесконечность ветвями предельной линии (пунктирные линии на рис. 3.4.5). Первое из течений имеет местную сверхзвуковую зону и является смешанным, два других — целиком сверхзвуковые. $5. Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях Так как коэффициенты ',уравнения (3.!1) для функции тока зависят от одной переменной 1', тодля нахождения его решений можно воспользоваться методом разделения переменных.
Для адиабатических движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями частные решения уравнения Чаплыгина (3.15) можно искать в виде действительной или мнимой части выражения „~ т ~ (. )е-тла (5. 1) где и — некоторая постоянная. Подставив тр„в уравнение (3.15), после некоторых преобразований получаем т(1 — т) «,"+а+1+(„— 1 — и — 1) т~ ф+~ ", у„=О.
(5.2у Это уравнение определяет гипергеомегрическую функциюа)у(а,Ь,с; т) ') Так называются решения у=у(о, Ь, с; т) дифференциального уравнен ига т (1 — т) у" + (с — (а+ Ь+! ) т] у ' — аЬу = О. ГЛ. 111. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 266 при частных значениях входящих в нее параметров а, Ь, с: а+Ь=и — —, аЬ=— 1 и (и+!) с=и+ 1. т — 1' 2(т — 1) ' При отыскании решения уравнения (5.2) в окрестности его особой точки т=О в виде ряда у„= т" (с, + с,т+ с,т'+... ) для определения г получаем квадратное уравнение г(г — 1)+ (и — 1) г= О.
Из двух решений уравнения (5.2), соответствующих корням этого уравнения г, =О и г, = — и, Чаплыгин использует то, которое остается конечным при т= О, т. е. гипергеометрическую функцию у„=у"'(а„, Ь„, и+ 1; т). Эта функция представима степенным рядом, абсолютно и равномерно сходящимся при О <тВ-. 1, т. е. во всем нужном для газодинамических приложений диапазоне значений т. Чаплыгин применил эти решения при рассмотрении задач о газовых струях, распространив иа случай сжимаемого газа теорию струй несжимаемой жидкости, связанную с именами Гельмгольца и Кирхгофа. Пусть известно решение какой-либо задачи о струйном течении несжимаемой жидкости методом Кирхгофа (см.
(З], ч. 1), т. е. найдена, например с помощью конформных отображений, связь между комплексным потенциалом течения п»„=»р„+1»)»„и комплексной скоростью — "=)г»ь=)ге 1В (через )г» обозначена скорость на границе »(г струи): Пусть, далее, функция ) может быть представлена в виде ряда Ю и»„=а — В1п ~+,~Р~Ь,Д'", 1 где а, В, ܄— постоянные ( — действительная величина), так что »)»=А+ ВО+~~» В„( — ) В1п(2иО+ а„). (5.3) 1 Тогда выражение для функции тока соответствующей задачи о струйном течении сжимаемого газа дается формулой (р — масштабный множитель): Щ=А+ ВО+~~»' В„( — 11 ~'" »йп(2иО+ и„).
(5А) А т» / У»п (т») ! Е И МЕТОД ЧАПЛЫГИНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СТРУЯХ 567 Ряд (5.4) формально удовлетворяет уравнению Чаплыгина. Однако, для того чтобы этот ряд действительно представлял решение и, пользуясь им, можно было по выражениям (3.14) определить 5р, а затем — по формуле (3.8) — х и у, необходимо, чтобы этот ряд, а также ряды, полученные его почленным дифференцированием по т и О, сходилнсь абсолютно и равномерно при любом т(т„а при т т5 ряд (5.4) стремился бы к тому же пределу, что и ряд для ф„при У У,.
Эти доказательства, на которых мы не имеем возможности оста- т — ! навливаться, были даны Чаплыгиным при условии, что т, ( —, т+! т. е. У, -- У„,. При струйном установившемся течении несжимаемой жидкости или газа область движения ограничена линиями тока. Поэтому на границе этой области в плоскости годографа У, О функция тока должна принимать постоянные значения.
На поверхности струи давление газа постоянно и, следовательно, постоянен модуль скорости; поэтому в плоскости полярных координат У, О поверхности струи соответствует дуга окружности У=1',=сопз1. При У= У, и соответственно т =т, правые части выражений (5.3) и (5.4) совпадают. Поэтому, если при У=У, ф„=сонэ(, то одновременно Я при т=т, и ф=сопз(. Если ограничивающие несжимаемую жидкость или газ стенки плоские, то им в плоскости годографа соответствуют отрезки лучей О=О,= =соп51. На этих отрезках в несжимаемой жидкости правая часть выражения (5.3) не должна зависеть от У, что возможно лишь, если при данном 0=0, для любого п з(п (2п05+ сс„) = О.
Но тогда и правая часть выражения (5.4) при 10=05 не зависит от т, т. е. ф=соп51 при О=О,. Следовательно, при одних и тех же граничных условиях решению (5.3) задачи о струйном течении несжимаемой жидкости соответствует решение (5.4) задачи о струйном течении газа. В качестве примера рассмотрим истечение газа из щели в плоской стенке (рис. 3.5.1). Напомним решение этой задачи для несжимаемой жидкости. С помощью конформного отображения илв методом особенностей функция Гп„(Ь) находится в виде ш„= — й 1п ( — — 5,).
Отсюда гл. пь установившиеся движения так что — й О+'Ь' — ( — ) з!п2лО с ю л (, У! ) ! Постоянная й есть функция ширины отверстия, которая опреде- ляется соответствующим интегрированием. Проверим выполнение краевых условий. На стенках при О = ~— 2 имеем !р,*:!- —; на поверхности струи при У=У! выражение ал т-ч 1 в квадратных скобках равно О+ ~-з!п2лО= — зяпО, так что ! ьл ал — при О) О и ф,= — при 6(0. Следовательно, при истечении газа из щели решение для дается формулой (5.5) ! Найдем 'одну нз наиболее важных характеристик истечения— коэффициент сужения струи, т.
е. отношение ширины струи л на большом удалении от отверстия к ширине отверстия Н. Для этого проинтегрируем соотношение (3.8) от точки А нижней кромки отверстия (см. рис. 3.5.1) до точки В, лежащей на нижней поверхности струи в бесконечноети. Интегрирование будем вести вдоль граничной линии тока, так что в формуле (3.8) следует счи- тать !(ф О, У=У! и, следовательно, о Г осе дч — — — (10. У, д9 о!о Отделив здесь мнимую часть н воспользовавшись вторым уравне- нием '(3.14), получим !о уа — уА= 2 = 1 ' д з!ПОДО. !д дт У!(1 — т )т ! п(о Подставив сюда выражение дф!дт нз (5.5) и произведя необходимые преобразования, получим и/о Учитывая, что з(п2лбз!пО= — (сов (2л — 1) Π— соз(2л+1)6], 1 2 4 а. пеивлиженныя метод чаплыгина и его ововщения 269 выполним интегрирование.
В результате найдем И вЂ” й 2 й I т1у,л(т1)~ 2л( — 1)"-а 2 ()! 2а ~ луаа (тй / 4ла- 1 С другой стороны, расход Я газа в струе равен ()-рР.й-ра(фа,— фа)-р. ~ (йл так что 'йл 1 -~- (! — т,) -' )~18. Следовательно, окончательно для величины, обратной коэффициенту сужения струи, получаем формулу И 8 ( — 1)"-алГ 0;„(т1)1 — =1+-'1', а ~1+2тг— й л 4л'-1 ) Фаа (т1) ) ! Легко показать, что прн т,— О, т. е, в пределе, когда влияние сжимаемости на течение газа отсутствует, — =)+ —. И 2! 'й л' 0 0,02 0,611 0,623 0,04 0,06 0,636 0,650 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 1/6 0,665 0,746 0,717 0,738 й)И 0,681 0,699 С.
А. Чаплыгиным было найдено также решение задачи о симметричном обтекании со сходом свободных поверхностей плоской пластины бесконечным потоком и струей ограниченной ширины. В последующих работах ряда авторов (С. В. Фальковнч, Л. Н. Сретенский, Л. В. (Овсянников и др.) метод Чаплыгина решения задач о дозвуковых газовых струях был существенно развит и усовершенствован. й 6. Приближенный метод Чаплыгина и его обобщения Как уже указывалось, использование точных уравнений Чаллы гина для решения задач об обтекании профилей сжимаемым газом, о течениях внутри каналов с заданной формой стенок, для решения многих задач о струйных течениях газа представляет большие труд- В табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
