Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Последнее преобразование сводится к иной записи оператора конвективной производной (см. (1.3)). После преобразования уравнение неразрывности принимает вид ( уа т У игаг( — ) — а'о(ч У=О. 2 ) Таким образом, система уравнений для описания установившихся адиабатических или баротропных течений газа состоит из уравнений (1.5), (1.6) с 4=0, (1.13) и замыкающих эту систему термодинамических уравнений состояния (для баротропных течений уравнение (1.6) заменяется конечной связью между р и р). Уравнение (1.5) имеет интеграл (1.8) (или — для адиабатических движений — интеграл (1.11)), а уравнение (1.6) при 4=0 имеет интеграл (1.10).
Б дальнейшем мы в основном будем рассматривать двумерные установившиеся движения: плоские, осесимметричные, конические. 244 гл. ик кстлновиашився движения Движение называется плоским !'плоскопараллельным), если существует такая прямоугольная декартова система координат (х, у, г), в которой параметры газа не зависят от одной из координат (например, г) и компонента скорости в направлении этой координаты равна нулю. Осесимлзетричнам движение называется тогда, когда существует цилиндрическая система координат (х, у, й), в которой параметры потока не зависят от угловой координаты б.
Мы будем рассматривать осесимметричные течения, у которых компонента скорости в направлении изменения угловой координаты равна нулю («незакрученные» осесимметричные течения). Движение называется коническим, если существует сферическая система координат (г, ~р, Х), в которой параметры движения не зависят от радиальной координаты г (если при этом параметры газа не зависят и от одной из угловых координат — долготы Х, то коническое движение будет одновременно осесимметричным). В случае плоского движения достаточно рассматривать поле параметров потока в одной из плоскостей течения, в случае осесимметричного движения — в одной из плоскостей, преходящей через ось соответствующей цилиндрической системы координат, в случае конического движения — на одной из координатных сфер соответствующей сферической системы координат. Уравнение неразрывности (1.4) для установившихся движений можно переписать в виде б(ч р)г=().
Пользуясь выражением для б!ч в произвольной ортогональной системе координат, для двумерного движения получим дР г гззгззиз ! дР 1~У»згззиз ! д Г Ыпузз 1) (1 14) дхз дхз ри, дхз Для плоского движения х,=х, хе=у, х,=г, ди=дзз=дзз 1; для осесимметричного движения х, = х, х, = у, х, = б, ди = кзз = 1, ьзз=у ' для конического движения хз=-гр (широта), хз=) (долгота), х,=г, ум = г', узз = г' соз' ф, уз» = 1. Для плоских (я=1) и осесимметричных (ч=2) движений уравнение (1.14) имеет, таким образом, вид д Р д'-'+ д Род'-' (!.15) дх ду Это уравнение можно рассматривать как условие того, что выражение в правой части соотношения оиуз-з йу роуз-з йх (1.16) есть полный дифференциал.
Функция зр(х, у) называется функцией и»ока. При этом — = — роу, — = риу з-з д»г » †дх ' ду 4 !. устлновившнеся движения глзл 245 Очевидно, что функция тока любого течения определена этими соотношениями с точностью до аддитивной постоянной.
Из определения (1.1б) следует, что функция тока сохраняет постоянное значение вдоль линий тока, которые в двумерных плоских и осесимметричных течениях определяются соотношением (см. (1.2)) дх ду Рассмотрим (рис. 3.1.1) две близкие линии тока и элемент 4И(!(х, Ыу) пересекающей их кривой. Из построения ясно, что с(у=йсоз(л, х), !(х= — а!сов(л, у), где и — нормаль к элементу Л. Пользуясь выражениями (1.17), найдем, что разность значений функции тока в точках А, и А, равна хврл,л, = Року При т= 1 величина ро„г(! есть, очевидно, расход газа через элемент кривой А,А, между двумя линиями тока в слое единичной толщины.
При у=2 произведение ро„уй пропор- а ционально расходу газа через кольцо, х образованное вращением элемента А,А, вокруг оси симметрии; назовем эту ве- лк личину тоже расходом. л, Таким образом, расход газа между двУмЯ линиими тока Равен Разности ~+л)4 а значений функции тока на этих линиях. Рис. 3.1.1 В силу того, что на линиях тока функция ф постоянна, для плоских и осесимметричных движений интегралам (1.11) и (1.10) можно придать вид (1.
18) и = (Ф). (1.19) Уравнение неразрывности в форме (1.13) для плоских и осесимметричных движений преобразуется к следующему виду: (а' — и') — — ио( — + — ) +(а' — о') — +(т — 1) — =О, (1.20) ди 1ди дол, до а'о дх (, ду дк) ду у Так как входящую в это уравнение скорость звука а можно считать функцией термодинамических величин й и з, то, согласно выражениям (1.18) и (1.19), а' зависит определенным образом от суммы и'+о' и — через функции у(ф) и Ь,(ф) — от ф. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эта зависимость имеет следующий 246 ГЛ.
НЬ УотЛНОВИВПП4ВСЯ ДВИЖЕНИЯ вид: (1.21) и не содержит з(ф). Если при этом Ь,(ф)=сонэ(, что выполняется во многих важных и интересных задачах, то функция 4у выпадает из коэффициентов уравнения (1.20). В случае двумерных движений из векторного уравнения (1.12), кроме интеграла (!.18), следует получить еще одно скалярное урав- нение. С этой целью для плоских и осесимметричных движений возьмем проекцию (1.!2) на направление у. В результате получим / ди ди ~ дх дйо О (,дх ду ) ду ду ' Поскольку з и Ь, суть функции только одной величины ф, то, поль- зуясь еще формулой (1.17) для дф7ду, найдем ди ди (' ди даи ') — — =~т — — '')рд-. дх ду ~ д$ ЙУ 7 (1.22) Таким образом, исходная система (1.4) — (!.6), которая в случае двумерных движений содержит четыре квазилинейных дифференци- альных уравнения (у векторного уравнения (1.5) две проекции), приведена для плоских или осесимметричных движений к двум диф- ференциальным соотношениям (1.7) и (1.9) вдоль линий тока и к двум дифференциальным уравнениям (1.20) и (1.22).
Поскольку при преоб- разовании уравнения неразрывности (1.4) введена новая искомая величина — функция тока ~р, то к полученным уравнениям в общем случае нужно добавлять одно из соотношений (1.17), определяющее функцию тока. Соотношения (1.7) и (1.9) содержат дифференциалы искомых функций только в одном направлении †вдо линии тока †имеют, следовательно, характеристическую форму, так что линии тона являются сдвоенными характеристиками исходной системы уравне- ний. Выражения в левых частях интегралов (!.8)(или (!.11)) и (!.10) представляют собой аналогично функции тока ф инварианты, сохра- няющие свои значения вдоль линий тока.
Попробуем привести и уравнения (1.20), (!.22) к характеристи- ческой форме, беря их линейные комбинации. Умножим уравнение (!.22) на неопределенный пока множитель Л, сложим с уравне- нием (1.20) ди ди (ди ди иии (а' — и') — — (ио + Л) — — (ив †)' — + (а' — о') — = ЛЯ вЂ (т — 1)— дх ду дх ду у (для сокращения записи правая часть уравнения (1.22) обозначена ьз) и потребуем, чтобы полученное уравнение содержало производные от и и о лишь в комбинации д д — +с —, дх ду ' 4!.
остхновившиеся движения ГА3А 247 т. е. производные по направлению, определяемому выражением !(у — с !(х = О. Для этого должно быть выполнено равенство ио+Л и! — а! — — = — с, иа — а! ио — Л или Л! = а'(и'+ ох) — а'. Отсюда находятся значения Л: ЛА = ~ а УЪ* — а'. Эта формула показывает, что значения Л, а вместе с ними и значения с, будут действительными только при )Г)а. Следовательно, исходную систему уравнений можно привести к характеристической форме только в случае сверхзвуковой скорости движения газа.
Характеристические направления определяются при этом выраже- ниями Г(У = — !(х о и (1.23) Соответствующими характеристическими уравнениями будут ди ди (' до до ) ! 1" а!о дх ду !,дх ду ! ио — ах ! — -1 с — +ст ( — + сь — ) = — ! (У вЂ” 1) — Л~Й~ . (1.24) Полная система соотношений вдоль характеристик (будем обозначать их соответственно Ь', 5 и 6' или .2) имеет вид: !(и+с Г(о=К+!(х при Г(у=с+!(х, Г(и+с+сЬ=--К Г(х при Г(у=с Г(х, Г((" ~ )+ГУГ=-О ( (1.25) Г(а=О ) Г(ф= О ! ! Г а'о Здесь КА — — —,, ~ (У вЂ” 1) — — Л„й~.
Этн соотношения будут в даль- нейшем служить основой для решения задач о сверхзвуковых уста- новившихся течениях газа. Определим относительное расположение характеристик трех семейств в точках плоскости течения. Для этого введем в этой плос- кости локальную систему координат х', у' с центром в рассматри- ваемой точке О, направив ось х' вдоль скорости (Х(и', о') в этой точке (рис, 3,1.2), т. е. вдоль линии тока †характеристи третьего семейства 6' (энтропийной). Из формулы (1.23), полагая в ней о=- и' = О, и = и' = )', найдем направления характеристик 6 н 6 : 248 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
