Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 55
Текст из файла (страница 55)
!и. установившиеся движения Таким образом, характеристики Ж+ и й образуют в каждой точке равные углы с направлением скорости (направленнем характеристики й«). При этом проекция скорости на нормаль к характеристике равна по величине местной скорости звука а. Угол р, образуемый характеристиками й+ н Ф с направлением скорости, называется углом Маха, а сами зти характеристики называются акустическими (зву ковыми) характерисо!иками или линиял ми Маха. Очевидно, что в а ! 5!П (х = — = —, м «у а 1 х !вр= Рнс. 3.
!.2 Выражения для углового коэффици- ента энтропийных и акустических характеристик с использованием величины угла 0 наклона скорости к оси х и угла Маха р можно записать соответственно в виде („"— ") =(нО, ® =1К(О,~р),1 Так как скорость (г и скорость звука а связаны соотношением (1.18) 2+(«)О« ° 1 2з то в общем случае скорость звука а и угол Маха р зависят от модуля скорости и через в и й,— от «)«. В случае, когда з и Ь, постоянны в потоке или когда течение баротропно, угол р есть функция только модуля скорости (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями для этого достаточно, чтобы только й,= сопз1, поскольку Ь не зависит от з). В дифференциальных уравнениях (1.20) и (1.22) бывает удобно перейти от компонент скорости и и о к другим, связанным с ними переменным, например у и О или р и О. В 5 7 будут получены и использованы характеристические соотношения в переменных )г и О.
Здесь мы приведем, опуская промежуточные несложные выкладки, уравнения с искомыми переменными ри О: созΠ— +з!пΠ— — — ~з!пΠ— — созΠ— ) =О, дО, дв ! Г. др . др~ дх ду РУ«(, дх ду) з! и Π— — соз Π— -(- — (1 — М') ( соз Π— + з (п 0 — ) — (т — 1) — = О. дО дО ! , « др , .
др т в~п О дх ду РУ' (, дх ду ) у (1.26) Как и исходные уравнения (1.20) н (1.22), система (1.26) должна быть дополнена интегралами (1.18) и (1.!9), а также одним из соотношений (! .17), Замечательно, что в уравнения (1.26) не входят явно 4 2 ГРАНИЧНЫЕ (КРАЕВЫЕ) УСЛОВИЯ 249 функции й,()р) и з(~)„они содержатся лишь в конечных соотношениях (!.18) и (1.19), определяющих зависимость от р коэффициентов 1 1 РУ' И" — и —,(1 — М*) в уравнениях (1.26). Очевидно, что ,"и соотношения между дифференциалами )(р и Г(О вдоль акустических характеристик не должны содержать функций 6,()()) и з()()). Действительно, эти соотношения имеют вид )(9 +с!а)х+= при )(у= 1~(0 ~ р))(х, (1.27) Еще раз подчеркнем, что, в отличие от одномерных неустановившихся движений газа, система дифференциальных уравнений, описывающая плоские или осеснмметричные установившиеся движения, не является гиперболической для всех возможных движений.
Эта система гиперболическая в области, где скорость газа сверхзвуковая, и эллиптическая †т, где газ движется с дозвуковой скоростью. Если при движении газа возникают дозвуковые и сверхзвуковые скорости (такие движения называются смешанными или трансзвуковыми), то система уравнений приобретает смешанный тип: эллиптический в одной части области движения и гиперболический — в другой.
$2. Граничные (краевые) условия Область, занятая движущимся газом, может быть ограничена поверхностями, на которых в соответствии с физическим содержанием рассматриваемых задач параметры газа должны удовлетворять тем или иным условиям. На непроницаемых для газа поверхностях должно выполняться условие непротекания сквозь них газа, т. е. нормальная к поверхности составляющая скорости газа и„должна равняться нулю. Если уравнение поверхности есть г (х, у, г)=О, то на этой поверхности должно быть (у' дгабг)=0, или др , др ду и — + о — +и) — =О. дх ду дг (2.1) В случае плоских или осесимметричных течений это условие сводится к следующему: дг", дг и — -1- и — =0 при г" (х, у) =0 дх ' ду —" = У' (х) при у = У (х).
или, если уравнение поверхности задано в разрешенном относительно у виде, т. е. в виде у == У(х), к следующему: ГЛ. И1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 250 Если поверхность Р =-0 проницаема для газа, то при вытекании газа сквозь нее наружу с дозвуковой нормальной составляющей скорости достаточно одного условия, например, такою: (2.2) ро„=п(р — р,) при Р(х, у, г)=0, где р,— заданная величина и р) р, (нормаль к поверхности считаем направленной наружу из области, занятой газом). Если р ( р.
и газ втекает сквозь стенку с дозвуковой нормальной составляющей скорости, то, кроме условия вида (2.2), нужно задавать еще энтропию В и полное теплосодержание И» втекающего газа или другие условия, эквивалентные этим. Необходимость в этом случае задавать В и й, на стенке математически следует из того, что линии тока, являясь характеристиками уравнений установившегося движения, «несут», согласно соотношениям (1.10) и (1.11), значения энтропии и полного теплосодержания с границы области движения. При сверхзвуковой нормальной составляющей скорости вытекания газа через проницаемую поверхность параметры газа на этой поверхности нельзя подчинить каким-либо условиям.
Напротив, при сверхзвуковой нормальной составляющей скорости втекания газа сквозь проницаемую границу на ней должны быть заданы значения всех параметров газа. Форма ограничивающей газ непроницаемой поверхности Р = 0 может быть неизвестна заранее. Тогда, кроме условия (2.1), на ней должно быть задано еще одно условие, например, может быть задано давление. На свободной поверхности (см.
ч 7 гл. 1) давление постоянно, т. е. р=сопз1. На границе неизвестной заранее формы могут быть и более сложные условия. К примеру, если при плоском движении граничная поверхность у= У(х) представляет собой нагруженную извне гибкую мембрану, или если вдоль этой границы газ соприкасается с другой движущейся средой, в которой в силу обстоятельств движения давление связано с углом отклонения границы и ее кривизной, то условие на границе имеет вид р» У1„1=Р(х, )', )", )'"), где Р— некоторая определенная функция своих аргументов. Если область движения газа простирается в бесконечность, то поведение газа в бесконечности тоже должно подчиняться некоторьпи условиям, разным в разных задачах.
Например, в бесконечности может потребоваться знание значений всех параметров газа или только некоторых из них; иногда следует задавать порядок стремления значений параметров к постоянным при удалении в бесконечность и т. п. Внутри области движения могут быть поверхности разрыва: ударные волны и контактные разрывы. На этих поверхностях должны выполняться установленные в Э 7 гл, ! связи между параметрами течения.
На поверхности контактного разрыва при отсутствии потока $2. ГРАНИЧНЫЕ (КРАЕВЫЕ) УСЛОВИЯ 251 массы сквозь поверхность должны выполняться равенства оп пп оп, =- О, р = р„ (2.3) касательная же составляющая вектора скорости может испытывать произвольный разрыв. В связи с последним в неодномерных движениях контактные разрывы представляют собой вихревые поверхности. При о„ чь О, т.
е. на ударной волне, параметры газа связаны условиями (!.7.20), (1.7.23) и (1.7.25): Роп = Ргоп| Р + Роп = Р1 + Р1ою. „2 2 2 (2.4) (2.5) (2.6) Соотношения (2.4), (2.5), (2.6) должны быть дополнены в общем случае двумя соотношениями, вытекающими из векторного равенства (1.7.24) (2.7) Для плоских или осесимметричных незакрученных течений достаточно использовать лишь проекцию равенства (2.7) в плоскости течения, так как другая компонента касательной составляющей вектора скорости в этом случае равна нулю с обеих сторон разрыва. Рассмотрим плоскость течения вблизи какой-либо точки поверхности разрыва.
При заданных параметрах газа с одной стороны этой поверхности четыре уравнения (2.4) — (2.7) (уравнение (2.7) превращается в скалярное) связывают пять величин: угол рз меж- гпп ду направлением разрыва в данной точке в и направлением заданной скорости У,(рис. 3.2,1) и значения четырех параметров потока с другой стороны поверхности разрыва †давлен, плотности и двух компонент скорости (или величины скорости и угла 0 поворота вектора скорости при прохождении через скачок). Таким образом, при заданном состоянии газа с одной стороны разрыва параметры газа с другой его стороны образуют однопараметрическую совокупность значений, так что любая пара из пяти перечисленных величин связана при этом определенным соотношением, Во многих случаях анализа течений со скачками удобна геометрическая интерпретация некоторых из этих соотношений.
Ранее мы уже использовали геометрическую интерпретацию связи между давлением и плотностью с одной стороны скачка при известных параметрах газа с другой его стороны — кривую Гюгонио. Помимо кривых Гюгонио, связывающих значения р и 1(р, часто используют кривые, иллюстрирующие связь между )г и 0 (ударные поляры) и связь между р н 0 («сердцевидныеп кривые). Мы займемся этими кривыми ГЛ. Н!. УСЧЛНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 282 (2.9) (2.10) С использованием этих соотношений приведем выражения (2.8) к виду и 2 . з 1 — = 1 — — 51П фз —— (2.11) "( -:) о 2 I . х 1 — = — (5! и' фз — — ) с(д фз.
т+! 'Х М~тг (2.12) Так как о!и =- !а О, где Π— угол поворота вектора скорости в скачке, то нз последних двух выражений находим связь между этим углом н углом фз в виде — (а!пэ фз — — с1 фз 1 ° О= '+ (2.13) 1 — — зп. фз —— т+1 ~ ' м',/ й 3. Плоские н осеснмметрнчные потенциальные движения. Уравнения Чаплыгина") ДЛя тЕЧЕНИй, В КОтОрЫХ 5=-СОП5! И йэ=СОП51, НЛИ ИМЕЕтСя КаКОй- либо другой вид баротропной зависимости р=р(р) (3 1) ') Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869 — 1942) — руссний советский ученый, одни из основоположников теоретической аэродинамики. Автор трудов по различным вопросам теоретической механини, по гидро- и аэродинамике, газовой динамике.
Вместе с Н. Е. Жуковским основал (1918 г.) ((ентральный аэрогидродинамический институт (((АГИ); создатель крупнейшей школы советских механиков. позже, прн решении некоторых задач о течениях со скачками уплот- нения. Приведем конкретный внд соотношений, выражающих значения параметров газа с одной стороны скачка через нх значения с другой стороны для совершенного газа с постоянными теплоемкостями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
