Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Анализ показывает, что если интенсивность волны детонации ниже некоторого граничного значения, то задний фронт волны Римана, где давление газа сравнивается с первоначальным, не достигает конца трубы и истечение газа происходит с дозвуковой скоростью. 4 Если же интенсивность волны детонации достаточно велика, то волна Римана простирается вплоть до выхода из трубы и газ истекает из трубы со звуковой скоростью и с давлением более высоким, чем в окружающем пространстве (рис. 2. )7.2) *).
Рис. 2.17.2 В табл. 2.1 приведены скорости волн детонации Чепмеиа — Жуге в некоторых горючих газовых смесях, а также в твердых взрывчатых веществах, переходящих при детонации в газообразное состояние. Там же приведены значения давления непосредственно за волной детонации **). Пусть теперь фронт тепловыделения есть фронт медленного горения. За фронтом горения в автомодельном движении не может Таблица 2.! % нь Акустическое БРиближение распространяться нн ударная волна, ни волна Римана; исключение составляет фронт горения в режиме Чепмена — Жуге, к которому непосредственно может примыкать центрнрованная волна Римана. Перед фронтом горения может распространяться ударная волна или волна Римана, Перебирая вновь различные варианты комбинации волн, установим, что при распространении фронта горения от закрытого конца трубы перед ним должна распространяться ударная волна, за фронтом горения между ннм и стенкой будет либо зона покоя (рнс.
2.17.3,а) при реальных для обычных горючих смесей тепловыделения и малых скоростях фронта горения, либо волна Римана и за ней зона покоя Рис. 2.!7.3 (рнс. 2.!7.3,6) — при больших скоростях фронта горения. При увеличении скорости фронта горения он приближается к ударной волне и при значении скорости медленного горения, равной скорости газа за ударной волной по отношению к ней, фронт горения сливается с ударной волной, образуя волну детонации. Прн поджнгании газа у открытого конца трубы перед фронтом горения вновь должна пойти ударная волна. Течение за фронтом либо однородное в случае малых скоростей фронта, либо с примыкающей к фронту центрнрованной волной Римана †случае больших скоростей фронта.
В последнем случае возможно истечение газа из трубы со звуковой скоростью аналогично случаю детонационного горения. й 18. Акустическое прнближенне Рассмотрим одномерные неустановившнеся движения газа, в которых его давление р и плотность р мало отличаются от постоянных значений рн р„ а скорость частиц и мала по сравнению со скоростью звука ан соответствующей р, и р,. Такие движения назовем малыми возмущениями однородного состояния покоя. Будем считать малыми не только сами величины р — р„р — р, и и, но н нх производные по к и !. Тогда, пренебрегая в уравнениях (1.1) — (1.3) малыми величинами по сравнению с оставшимися, 200 гл. и.
одномерные нвкстлновившився движения придадим этим уравнениям следующий приближенный вид: — + р — +(т — 1) — =О, др ди и~и д1 гдх ди !др — + — — =О, дг рг дх — — О. (!8.1) (18.2) (18.3) Аналогично преобразуем к приближенному виду соотношение (1.4) Р Рз= ~ (р Р~)+ др) др (18.4) др~ ' дх Система уравнений (18.1) — (18.4) линейна и называется линейным или акустическим приближением системы (1.1) — (!.4). Последнее название связано с тем, что эта система описывает, в частности, распространение звука, который представляет собой малое колебательное возмущение давления в газе (скорость частиц газа при распространении звука очень большой интенсивности составляет всего несколько сантиметров в секунду). Уравнение (!8.2) позволяет ввести потенциал возмущений ~р такой, что д~р д~р Р рг=' Р (18.5) Учитывая (!8.3), заменим в уравнении (18.1) производную— др дг согласно равенству (18.4) величиной — —, после чего выразим в ! др ии ием скорость и давление через потенциал ~р.
В результате получим уравнение 1 ди~р ди~р (т — 1) йр — — — — — — — =- О. и', дР дхи х дх (18.6) Это †волнов уравнение, которое в случаях т= ! и т= 3 допускает простые аналитические представления общего решения; при т = 2 выражение общего решения несколько более сложно. Очевидно, что такому же уравнению удовлетворяет давление р, а при т=! и скорость и, Отметим также, что уравнение (18.6) для потенциала ~р или давления р одинаково для баротропных и небаротропных движений. Если движение баротропно, то уравнение (18.3) является лишним, вместо него замыкающим соотношением служит связь р = р(р), и в соотношении (18.4) отсутствует последнее слагаемое (при этом производная др(др берется согласно принятой связи между р и р). После нахождения решения для потенциала ~р скорость и и давление р находятся по формулам (!8.5), распределение энтропии в случае адиабатических течений есть согласно уравнению (!8.3) функция только х (определяемая начальными условиями), плотность р находится из выражения (18.4).
Е 18 АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 231 Начнем с рассмотрения движений с плоскими волнами (у= 1). В этом случае общее решение уравнения (!8.6) имеет вид (решение в форме Даламбера): <р=г" (х — а,()+ гх(х+ а,г). (18.7) (!8.9а) Р и — 7'!х — (и+ а) 11, и+ ) — Р=О, Р1 Р и=д~х — (и — а)11, и — ~ — =О, гор Ра Р получим, что первые получаются из вторых при пренебрежении в выражениях и+.а величиной скорости газа и изменением скорости звука сравнительно с начальной скоростью звука а, и при замене Р интеграла ) — его линеаризованным выражением — .
Гар Р Р1 ,) Р р1а1 Р В отличие от точной теории, в акустическом приближении бегу- щие волны разных семейств не взаимодействуют одна с другой, профили распределения параметров потока в волне не деформируются при ее распространении, так как каждое состояние в волне рас- пространяется по газу с одинаковой скоростью а,. В плоскости х, ( это распространение происходит вдоль акустических характеристик невозмущенного состояния. Действительно, характеристики системы уравнений (18.1) — (!8.3) определяются формулами — „=а, — „=- — а„— =0 Ых ах Ых ш=" ш= "ш (! 8.10) Для скорости и и давления р получаем выражения и=)(х — а!)+ д(х+ а 1), (18.8) р — р, =р,а, (7(х — а,1) — д(х+ аД~, где через 7' и а обозначены производные функций Р и б по их аргументам, Таким образом, распределения давления и плотности представляют собой суммы двух волн, бегущих с невозмущенной скоростью звука а, в обоих направлениях.
При этом в волне, бегущей вправо, давление и скорость связаны соотношением и +Р— Р' =О, Р1а1 а в волне, бегущей влево,— соотношением и — — '=О. (18.9б) р~а1 Сравнивая выражения (18.8) и (18.9) для волн, бегущих в одном направлении, с формулами (7.!) и (7.2) для волн Римана, гранича- щих с состоянием покоя, 232 ГЛ. 11. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ и представляют собой три системы параллельных прямых линий, не зависящих от решения. Как и в точной теории, вдоль этих характеристик могут распространяться слабые разрывы. Поскольку сильные разрывы— ударные волны — в предельном случае малой интенсивности распространяются со скоростью звука, т. е.
их траектории в плоскости х, ! совпадают с акустическими ха- вв+ рактеристиками, а контактный разрыв при любой интенсивносс ти распространяется в плоскости х, ! вдоль контактной (энтропийной) характеристики, то л в в линейном приближении и слаРис. 2ЛВЛ бые, и сильные разрывы рас- пространяются вдоль характеристик (18.10). При этом интенсивность ни тех, ни других не изменяется при распространении. Отметим еще, что непрерывная центрированная волна разрежения вследствие параллельности всех прямолинейных характеристик превращается в сильный разрыв— скачок разрежения. Пользуясь общим решением (!8.7), (18.8), легко решать различные задачи. Пусть, например, при 1=О скорость всюду равна нулю, давление вне отрезка АВ[ — х„х,] равно р„а на этом отрезке р,+бр, возмущения энтропии распределены произвольно.
Найдем возникающее движение (линейный аналог задачи об ударной трубе или о взрыве). Из выражений (18.8) при 1=-0 получаем )(5)+д'($)=0 при всех $, ар 1(с) д($) =. ! Р1а1 ( 0 при )$( > х1. Отсюда 1($) = а($) =1 2р1а1 ( — при )$( ( х„ ( 0 при ($)>х,. Следовательно (рис. 2.18.1), и=О, р — р1=бр в треугольнике АВС, и= —, р — р,= — в полуполосе АСС, др 2Р,д1 ар и= —, р — р,= ~ в полуполосе ВСС'.
2р1а1 ' 1 2 Во всей остальной части полуплоскости ! > 0 возмущения давления и скорости отсутствуют. Возмущения энтропии, если они были в начальном состоянии, сохраняются вдоль линий х= сопз!. Возму- $!Б. АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 288 щения плотности, в соответствии с выражением (18.4), складываются из возмущений давления и энтропии. Заметим, что характеристики, исходящие из точек А и В, являются линиями разрыва решения. Таким же образом любые начальные возмущения давления Лр(х) и скорости и,(х) (оии могут быть разрывными), заданные на ограниченном интервале — х, < х < х„ превращаются за конечное время в две бегущие в разные стороны волны, причем ио Я)+— ~И%) ) (с)= 2 )о ии (Ч)— ь' (Т)) = 2 ) О при /$/<х„ при ($! ) х„ при (т)(< х„ при (т) ( ) х,. а()) =- — ) ( — ч).
Таким образом, для значений т)=х+а,( в интервале О, х, функция д определена, так что в отраженной волне р' = — и 11 — (х+ а,т)]. р1а1 Эти волны будут распространяться неограниченно долго, если область, занятая вначале покоящимся однородным газом, простирается в обе стороны в бесконечность.
При наличии на конечном расстоянии границ области (стенка, контактный разрыв и т. п.) в результате взаимодействия бегущей волны и границы могут возникнуть отраженные волны, распространяющиеся внутрь области. -х, Подчеркнем, что в случае нестационарных а х движений с плоскими волнами согласно линейной теории по однородному состоянию могут распространяться волны конечной ширины, в которых во всей области волны возму- Ри с. 2. ) 8.2 щения давление, как и скорость частиц, имеет один и тот же знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
