Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 61
Текст из файла (страница 61)
$7. Сверхзвуковые течения**). Метод характеристик Уравнения двумерных плоских и осесимметричных установившихся движений в форме соотношений вдоль характеристик (1.27) мы используем для решения различных задач о сверхзвуковых течениях газа. При этом изложение метода характеристик во многом не будет отличаться от соответствующего изложения в разделе, посвященном одномерным неустановившимся движениям, хотя физическое содержание задач в этом разделе, конечно, является иным. Вновь рассмотрим элементарную задачу метода характеристик. Учитывая, что эта задача подробно рассматривалась для одномерных нестационарных движений, ограничимся лишь кратким ее изложением.
Пусть в области сверхзвукового течения в плоскости х, у заданы две близкие точки Ре и Р на отрезке АВ, не принадлежащие одной акустической характеристике, и пусть в этих двух точках известны значения всех искомых функций и, о, а, з. Проведем через точки Ре и Р элементы характеристик в одну сторону от отрезка АВ. Прн этом возможны два случая. В первом из ннх энтропийные характеристики расположены внутри угла между акустическими характеристиками (рис. 3.7.1,а), во втором — вне этого угла (рис. 3.7.1,б).
Остановимся на первом случае. Продолжим элементы характеристик ') Методу аппроксимации адиабаты в задачах о до-, около- и сверхзвуковых течениях посвященаспециальнаямонографяк: Домбровский Г. А. Методаппроксимацин адиабаты в теории плоских течений газа.— Мл Наука, 1зб4. '*) Теория сверхзвуковых течений газа изложена в книгах [2], 15], 16], [71 [13), а также: Ф е р р н А. Аэродинамика сверхзвуковых течений.— Мп Л.: Гостехиздат, 1952; Лилиан Г. В., Рошк о А.
Элементы газовой динамики.— Мл ИЛ, 19бо. йт. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Щ первого н второго семейств нз точек Р+ и Р до нх пересечения в точке Р, заменив прн этом отрезки характеристик касателвнымн к ннм в точках Р+ н Р . Для нахождения значений и н о в точке Р воспользуемся первыми двумя соотношениями вдоль характеристик (1.25), заменив нх приближенно конечно-разностными уравнениями и — ир +(с )р (ир — ир„)=(К~)р (хр — хр ); ир — ир +(с+)р (ср — ор )=(К )р (хр — хр ).
Входящие в К+ н К производные с(зи(йр и с(Ьй/сбр в точках Р, и Р определяются по начальным распределениям искомых функций на отрезке АВ; прн этом начальное распределение функции йр на этом У У а х Рис. З.гл отрезке находится нз соотношения (1.16) (функция ф определена с точностью до постоянной, поэтому значение йР в какой-либо точке можно назначить произвольно). После нахождення ир, Вр нз точки Р можно провести назад элемент характеристики третьего семейства, заменив его касательной к ней в точке Р.
Таким образом найдем точку Р, на АВ. ай+ ай ЗначениЯ з н Ьй = й+ з, как и значение ф в этой точке, переносятся в силу соотношений (1.25) вдоль характеристики третьего семейства в точку Р. По известным значениям з н й в точке Р, пользуясь термодннамнческнмн зависимостями, находим а в этой точке. Таким образом находятся значения всех искомых функций в точке Р.
Отрезок, в каждой точке которого характеристики расположены, как в рассмотренном первом случае, является аналогом пространственно-подобной линии в одномерном неустановнвшемся течении. Если же в каждой точке отрезка расположение характернстнк соответствует второму случаю, то он является аналогом временно- подобной линии. В конце э 1 указывалось, что в течениях с постоянным полным теплосодержанием при постоянной энтропии з(р, р) = сопз1 нлн прн другой баротропной связи между р и р скорость звука есть функция только модуля скорости. В таких течениях угловые коэффициенты сь характеристик двух первых семейств зависят согласно (1.23) только ГЛ.
!!!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 282 от составляющих скорости и и а. При этом для плоских течений в соотношениях (! .25) вдоль характеристик в"+ и и Кь = О; отсюда следует, что соотношения эти интегрируемы, т. е. вдоль характеристик 6+ и в" имеются определенные конечные связи между и и ш Прежде чем найти эти связи, отметим одно свойство характеристик 6+ и 6 в плоскости х, д и соответствующих им линий и«оь(и) в плоскости и, о (эти линии тоже будем называть характеристиками). Соотношение (1.25) вдоль характеристики 6, записанное в виде с о' (и)= — 1, показывает, что сэ есть угловой коэффициент нормали к кривой в=о (и). Таким образом, если в плоскостях х, д и и, о ось х и ось и параллельны, то элемент характеристики первого семейства Ф' в плоскости х, д и соответствующий ему элемент характеристики второго семейства о = о (и) в плоскости и„ о ортогональны.
Аналогично ортогональны элемент характеристики в" и элемент характеристики о=о (и). Перейдем теперь в соотношениях (1.27) при К„ = О к переменным У, О. В результате получим с((У со50)+ 10'(Π— р)г((У 5 и О) =О, (д= 1~(0+1!) Йх, !((Ъ~ соз 0) + (я (О+ р) д (д 53п 0) = О, г6/ = 1й (Π— 1!) !(х или (Π— с(др — „=О, ад=(й(0+р) (х, Л' !(О+ с(п р — = О, г(д = ~й (Π— р) г( . «'«' Переменные в соотношениях вдоль характеристик разделились, и эти соотношения легко проинтегрировать: 7., = 0 — ( с1д р — = сон 51, д' =" ф (О+ р), Я/ ! =О+ ~ с1пр — =-соп51, д = 1п(0 — р).
~П/ « «р Таким образом, в случае плоских безвихревых движений сетка характеристик в плоскости годографа не зависит от частного вида движения (величины 1, и 7 являются аналогами инвариантов Римана в одномерных неустановившихся движениях). Следовательно, при решении элементарной задачи метода характеристик для плоских безвнхревых движений у' и 0 в точке Р нахо- дятся точно из соотношений 7,(и,,0,)=7,(и,„,0„), 7 ((г„0,)=7 (),,О, ). Координаты же точки Р, как и в общем случае, находятся при- ближенно.
$8 ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 283 Используя решение элементарной задачи метода характеристик, можно решать различные краевые задачи о двумерных сверхзвуковых течениях газа вполне аналогично тому, как решались ранее задачи об однородных неустановившихся движениях. й 8. Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках Пусть на отрезке АВ в плоскости х, у (рис. 3.8.1) заданы непрерывно дифференцируемые начальные распределения искомых функций и, и, а, з, причем характеристики, выходящие из точек отрезка АВ в одну сторону, расположены так, что энтропийная характеристика Рис. З.ЗЛ Рис. 3.8.2 Рис. 3.8.3 лежит между акустическими характеристиками.
Тогда, беря на отрезке АВ ряд достаточно густо расположенных точек и применяя к ним процедуру решения элементарной задачи метода характеристик, найдем значения всех искомых функций в точках пересечения элементов акустических характеристик, выходящих из выбранных точек отрезка АВ. Применим ту же процедуру к близлежащим парам найденной системы точек и будем повторять ее до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик н найдены значения искомых функций в ее узловых точках в треугольной области, ограниченной отрезком АВ и линиями Маха первого и второго семейств, выходя- шими из концов этого отрезка *). Как и в гл.
11, описанную задачу назовем задачей Коши илн задачей 1 типа. Пусть теперь искомые функции заданы на пересекающихся в точке О отрезках ОА и ОВ акустических характеристик разных семейств (рис. 3.8.2), причем значения этих функций при подходе к точке О вдоль разных характеристик совпадают.
По этим данным можно определить решение в четырехугольной области, ограниченной отрезками ОА и ОВ и акустическими характеристиками разных семейств, выходящими из точек А и В'). Для получения сетки характеристик и значений искомых функций в ее узловых точках процедура решения элементарной задачи метода характеристик используется совершенно аналогично тому, как это было сделано в гл. 11 при решении соответствующей задачи.
*) Как отмечалось в гл. П, при некоторых условиях эти характеристики могут и ие пересекаться. ЭЛ. ПЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Описанная задача есть задача Гурса или задача П типа. Наконец, в задаче 111 типа задан отрезок (рис. 3.8.3) акустической характеристики ОА, например, первого семейства, вместе со значениями искомых функций на нем и известно одно условие на характеристике третьего семейства (линии тока) ОВ, проходящей через точку О, причем это условие должно быть в точке О согласованным с заданными на характеристике ОА значениями искомых функций. Таким условием может быть задание формы линии тока у= уз(х), т. е.
связи о = иуз(х) на ней; в этом случае задачу можно назвать задачей об обтекании заданной стенки (задача 111а). Другим видом условия на линии тока может быть задание на ней давления. В этом случае в соотношении о=иуз(х) функция уз(х) неизвестна и подлежит определению с помощью дополнительного условия р -сопз1 при у=уз(х); задача при этом называется задачей о течении со свободной границей (задача П1б).
Нахождение решения этих задач в треугольных областях, ограниченных характеристиками ОА и ОВ и акустической характеристикой АВ второго семейства, производится методом характеристик также совершенно аналогично решению соответствующих задач, изложенному в гл. 11. 9 9. Изоэнтропические течения. Характеристики в плоскости годографа Как уже говорилось ранее, в случае плоских баротропных и, в частности, изоэнтропических движений соотношения вдоль характеристик образуют интегрируемые комбинации, так что вдоль характеристик значения 1 =1, (у', О) и, соответственно, 1 =1 (1', О) сохраняются неизменными. Поэтому сетка характеристик 1 =сопз1, 1 =сонэ( в плоскости годографа (или в плоскости других переменных, связанных с переменными годографа, например О и р) может быть построена для всех течений одновременно. В общем случае из выражений 1,=9~ ~ стар — ","=О~~(У) (9.1) кр следует, что в плоскости годографа с полярными координатами г', О все характеристики одного семейства получаются из одной из них поворотом вокруг начала координат; характеристики другого семейства можно получить симметричным отображением относительно прямой, проходящей через начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
