Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 63
Текст из файла (страница 63)
3.! !.5. В этом примере газ последовательно ускоряется в двух центрироваиных течениях Прандтля †Майе так, что начальное направление однородного потока и направление однородного потока после ускорения совпадают. В плоскости годографа (рис. 3.!!.6) начальному потоку соот- ветствует точка А (У„ 0), первой 4 волне Прандтля — Майера — дуга элиа циклоиды АВ, второй волне Прандтля — Майера — дуга эпициклоиды ВС; точка С(У„О) этой дуги соответствует конечному однородному потоку. Использование течений ПрандтРис.
3.11.5 ля — Майера не позволяет рассчитать сверхзвуковое течение в канале, у которого задана форма обеих стенок, так как решение, соответствующее течениям Прандтля — Майера, содержит лишь одну произвольную функцию, распоряжаясь которой можно удовлетворить условию обтекания только одной стенки.
Рассмотрим пример того, как рассчитывается сверхзвуковое течение в канале с заданной формой обеих стенок. Пусть стенки канала вначале параллельны, а затем начинают искривляться, как показано на рис. З.П.7, причем нижняя стенка Ос б ес Рис. 3.11.6 Рис. 3.11.7 обрывается в точке О, соединяя канал с областью, в которой задано постоянное давление.
Во входном участке канала поток однороден, Требуется рассчитать течение внутри канала и после выхода из него, Будем при этом предполагать, что течение всюду непрерывно, т, е, в потоке не образуются скачки уплотнения. Так как левее точек А и А, поток однороден, то область этого однородного потока ограничена прямыми характеристиками разных семейств, идущими вниз по потоку из точек А и А, и пересекающи- 29! $ НН ОБТЕКАННЕ ВОГНУТОГО КОНТУРА мися в точке С.
В областях АСВ и А,СВ, решения задач с известными данными на акустической характеристике и с заданной линией тока (см. 9 8, задача 1Па) будут представлять собой течения Прандтля — Майера, причем из-за излома контура стенки в точке А, часть волны Прандтля — Майера в области А,СВ, будет центрированной. По известным данным на характеристиках СВ и СВ, найденных течений Прандтля — Майера рассчитывается течение в области ВСВ,О, (9 8, задача П). В областях ВОО и В,ОГО, течение находится вновь путем решения задачи 1ПЕ, затем, решая задачу П, находим течение в четырехугольнике ООО,Е, и, решая задачу П1а,— в треугольнике О,Г,ЕО Таким образом рассчитывается все течение внутри канала вплоть до характеристики первого семейства ОЕО ограничивающей слева область влияния неизвестной заранее части границы области течения †свободн линии тока, исходящей из точки О.
Если полученное при расческе давление р в точке 0 (т. е. давление в этой точке при подходе к ней из области уже найденного течения и, в частности, при подходе вдоль граничной характеристики ОЕ,) окажется совпавшим с давлением р, в окружающем пространстве, то течение может быть непрерывно продолжено вправо от характеристики ОЕ, путем решения задачи 1116. Если же р ~р„то из-за несогласованности условий на заданной характеристике ОЕ, и на отыскиваемой линии тока 06 течение в точке 0 будет иметь особенность. При р) р, согласно сказанному ранее течение в окрестности точки 0 будет центрированной волной Прандтля — Майера и может быть описано аналитически в небольшой области ОЕН за отрезком ОЕ характеристики ОЕН на котором значения параметров газа можно считать постоянными, с помощью полученных ранее в этом параграфе формул.
После нахождения течения в областях НЕЕ,Н, и Н,Е,Е, (путем решения задач П и П1а соответственно) течение справа от характеристики НЕ, находится в результате решения задачи П1б, но уже при условиях на этой характеристике, согласованных в точке Н с условиями на продолжении свободной линии тока НО. Если р ( р„то непрерывное продолжение течения вправо от характеристики ОЕ, вблизи точки 0 невозможно. 0 том, как продолжить течение в этом случае, будет сказано в конце $ 14 после того, как будут рассмотрены разрывные течения газа. й 12.
Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов Рассмотрим вновь обтекание прямолинейной стенки, которая, начиная с точки 0 (рис. 3.!2,1), плавно искривляется вогнутостью в сторону, занятую газом. В этом случае за примыкающим к прямолинейному участку стенки однородным потоком образуется течение Прандтля — Майера, в котором скорость газа уменьшается, а давление возрастает.
Это течение есть, таким образом, течение сжатия, и прямолинейные характеристики, образуя в нем сходящийся пучок, 19* гл. ~11. Установившиеся движения неизбежно пересекаются в области течения. Непрерывного решения задачи об обтекании стенки в этом случае не существует: в потоке образуется скачок уплотнения.
Если в построенном течении провести линию тока, целиком лежащую в области, где пересечения характеристик еще нет (рис. 3.12.1), то, приняв эту линию за вторую обтекаемую стенку, получим Рис. 3.12.! Рис. 3.12.2 непрерывное течение внутри канала с сжатием газа в волне Прандтля — Майера. При возникновении в потоке после пересечения характеристик скачка уплотнения найденное течение, включающее волну сжатия Прандтля — Майера, сохранится в области (рис. 3.12.2), ограниченной вниз по потоку скачком уплотнения АВ и характеристикой второго семейства АС, идущей к стенке от точки зарождения скачка уплотнения.
Линия тока АО, идущая вниз по течению от этой точки, отделяет область безвихревого движения вблизи стенки от завихренного течения за скачком, Вихри в потоке образуются вследствие а неодинакового на разных линиях тока изменения энтропии газа при прохождении им скачка переменной интенсивности.
Если пересечение характеристик происходит непосредственно на стенке или стенка искривляется не плавно, а имеет излом, то скачок начинается на стенке. Отметим, что, как следует из дальнейРис. 3.12.3 шего(214),если угол поворота стенки доста- точно велик и стенка после поворота продолжается под постоянным углом в бесконечность, решения задачи об обтекании вогнутой стенки сверхзвуковым потоком вообще не существует (и с учетом возможного образования скачков); если же стенка в дальнейшем вновь отклоняется и образует небольшой угол с направлением набегающего потока, то решение существует, но скачок уплотнения может при этом начинаться перед точкой начала искривленного участка стенки (рис.
3.!2,3). Область, занятая течением Прандтля — Майера, при этом, конечно, отсутствует. 4 !а, ГРАФическОе пРедстАВление сООтнОшений 293 $ 13. Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердцевидная кривая Продолжим рассмотрение соотношений на скачке, начатое- в 9 2. Займемся геометрической интерпретацией этих соотношений. Как уже отмечалось, при заданном состоянии газа с одной стороны скачка его состояния с другой стороны образуют однопараметрическую совокупность. Зафиксируем состояние газа с одной стороны волны и будем отмечать параметры газа в этом состоянии индексом 1. В качестве параметра, от которого зависит состояние газа с другой стороны волны, возьмем угол !рз между направлением скачка и направлением скорости газа в зафиксированном состоянии, которое мы примем за направление оси х. Тогда, очевидно, справедливы следующие выражения для нормальной и касательной к скачку составляющих скорости: о„= и яп грл — о соз тря о„, = У, яп грз, о,=..исозфз-! Ояпгрз, В„=-У,созгря — "" .
Используя вы- 7+1 Уяр 7 — 1 2 4.16) Обозначим правую часть равенства (2.6) ведеиное ранее соотношение Прандтля (1 ояэо» 1 яР и, замечая, что и'„',=Утэ — о'„, получим ты 7 Мсл ьР +1 7+ Подставим в это равенство выражения (13.1) для оаи о„и п„: У, з!и грз (и яп <ра — о соз грз) = У"„'р — 7, Уэ, соз'фз. (13.2) Согласно соотношению (2.7) касательные составляющие скорости с обеих сторон скачка одинаковы, т. е. и соз грз+ о з1п тра =- 1', соз фз.
(13.3) Исключив нз двух последних равенств тря получаем уяр и —— пя = (1',— и)' (1 3.4) 2 Уяр — Ут+ — — и 7+1 У, Кривая в плоскости и, о, соответствующая этому уравнению, есть кривая третьего порядка (строфоида) и называется она ударной полярой или полярой Буземана*). Согласно уравнению (13.4) направ') Вуэеман (Впаешапп) Адольф 11901 — 1986) — немецкий ученый- эродинамик. Работал в Германии, с 1947 г.— в США; автор ряда основополагаюших работ в области теоретической и прикладной аэродинамики больших скоро~чтей. гл. нп рстхновившиеся движения ление потока при прохождении им скачка не меняется, т. е. составляющая скорости о равна нулю, при и =-1'„т.
е, когда скачка нет (или его можно считать бесконечно слабым), и при и = У„' 1У,— в этом случае скачок нормален к направлению скорости с обеих его сторон. Ударная поляра имеет асимптоту и== — У,+ — "Р . =-,+1 Ударная поляра при У, ) У„р изображена на рис. 3.13.1, а при У, < Уир — на рис. 3.13.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
