Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Найдем значения производных и', и' и Д!' при ср=ф,. Для этого используем уравнения (16.2) и продифференпированные по ф уравнения (16.3) и выражение (16.4) для !6'. При дифференцировании ГЛ. Н!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 32О последнего необходимо иметь в виду преобразование д ь да' ьгл д — = — — — (и'+ О') = — — (à — 1) — (и'+ О'). дф да сЬ'5 ьРф 2 ь!'р да 1! 5 даь Здесь — = — — В силу интеграла — +Рь=й =сонэ(, — =-à — ! ьньь 2 2 '- =О= дд (см.
формулу (1,1.10); для совершенного газа с постоянными теплоемкостями Г =- 7). ьр В результате несло>кных выкладок найдем, что прн ф = ср, рь рсь 1' ь СО5 ф! 51П ф! а иа,=- Г+1 с„ У~ У! соа' ф, от, = рсиуииисиьоираьао Г+1 окруянсьссь а, с05 ф, йр,„=— 51п ьр! Рпс. 3.16.2 Дифференцируя (16.2) по и, полагая ьр=ф, и используя выражение (!6.7) для и „получим Г+1 )с=а' 1',51пьф,сааф, Пусть ф, < и!2, т. е. простая волна примыкает к набегающему однородному потоку вдоль обращенной по потоку характеристики и Рис. 3.16.3 продолжается, следовательно, в сторону уменьшающихся значений ьр (рис.
3.16.3). Тогда и„, < О, па, ) О, Л'„, < О, т. е. в волне и растет, а и убывает, т. е. по модулю тоже растет (так как и!=О), Таким образом, вблизи начального конуса простой волны скорость газа в ией возрастает, а давление и плотность, следовательно, уменьшаются. Величина лг= аь — о„' возрастает, так что нормальная к лучу составляющая скорости газа становится дозвуковой. Эти свойства сохраняются и далее в волне, т. е.
в этом случае простая волна есть волна разрежения. Однако, можно показать, что течение может быть продолжено лишь до некоторого ср=ьр„О «р! < ср„ при котором кривая О=О(и) имеет точку, где О =О. При этом зна- 6!6. ОСЕСИММГТРИЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 321 чении ер, как следует из уравнения (16.5), а' — о'„=О, так что линия ср=ер, имеет характеристическое направление. При приближении к ней производные и' и и' неограниченно возрастают по величине е).
Найденную простую волну можно использовать для построения части течения около тела вращения в виде кругового цилиндра, который, начиная с некоторого сечения, постепенно сужается по специальному закону (на рис. 3.16.3, б контур такого тела заштрихован).
Отметим, что найденную осесимметричную волну разрежения нельзя соединить со следующим за ней потоком с помощью конического скачка уплотнения, так как в волне нормальная к лучу <р = сопз( составляющая скорости дозвуковая. Пусть теперь ~р, > и!2, т. е. волна примыкает к набегающему однородному потоку вдоль обращенной вперед характеристики (рис. 3.16.4).
В этом случае ие, > О, пе, > О, Ж „> О, т. е. в волне Рнс. 3.16.4 и и и уменьшаются ((и! растет). Величина ))) становится отрицательной, так что нормальная к лучу составляющая скорости становится сверхзвуковой. Это направление изменения и и о сохраняется при изменении !р от <р, до и/2. Действительно, пусть при уменьшении ер при значении ср=!р' > и/2 величина и' впервые обратится в нуль.
При <р)!р' й) не может стать нулем, так как тогда, согласно уравнению (16.3), вместе с Ж обратится в нуль о и по теореме Ролля между двумя нулями величины о должен быть нуль ее про- ') Линия <у=<р! не является характеристикой, хотя н имеет характернстнческое направление в каждой точке. Это следует на того, что на ней не выполнено характеристическое соотношение (1.25) аеи 1К Ч'! 6)о = ах (иа — аа) у (левая его часть равна нулю, правая — нет). Не будучи характеристикой, линия <р= т есть огибающая характеристик.
=% е являются характеристиками н все другие прямые у= сопя!, кроме линии ч!=р ° т/е!! г, г. черена ГЛ. !!!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 322 изводной о' и, следовательно, согласно (16.!), нуль и'. Таким образом, и' > О при п12 ( !р (ф!. После перехода через !р =л/2, согласно (16.1), изменится знак производной о', так что будет о' (О. Продлить течение до о=О при некотором <р > О нельзя, так как при этом было бы 7У'=О и, согласно формуле (16.7), о' > О, что противоречит предыду!Дему. Таким образом, непрерывно соединить волну с однородным течением невозможно. Оказывается, однако, возможным, поместив на некотором конусе ф=фз скачок уплотнения (напомним, что в рассматриваемом течении Ф ( О, так что скорость по нормали к лучу— сверхзвуковая), перевести поток в однородное течение вдоль оси х (рис.
8.16.4). Рассмотрим теперь задачу о сверхзвуковом симметричном обтекании кругового конуса. Те же рассуждения, что н в случае обтекания клина, позволяют утверждать, что при обтекании конуса бесконечной протяженности решение, если оно существует, автомодельно, т. е. параметры течения постоянны на конусах ф = сопз1. В частности, головной скачок уплотнения, отделяющий однородный набегающий поток от возмущенного течения за ннм, должен быть конусом !р= фа. Так как интенсивность головного скачка уплотнения во всех его точках одна и та же, то и изменение энтропии газа при прохождении им скачка на всех линиях тока одинаково, так что течение за скачком изоэнтропическое.
Поскольку полное тепло- содержание газа при прохождении им скачка не изменяется, то изоэнтропическое течение за скачком безвихревое. Таким образом, течение за скачком представляет собой осесимметричную простую волну и, следовательно, описывается в плоскости годографа уравнением (16.5), а решение в плоскости течения находится по решению в плоскости годографа согласно выражению (16.2). Сформулируем краевые условия, которым должно удовлетворять решение. На поверхности конуса, т.
е. при ф=!р, (<р,— угол полу- раствора конуса), должно быть выполнено условие 1<, !р, 0 или — в плоскости годографа— — о' (и) + 1 = О. (16.8) Геометрически, как уже говорилось, это означает, что нормаль к кривой о = о (и) в точке, соответствующей поверхности конуса, должна проходить через начало координат в плоскости годографа. На скачке уплотнения — при ф = фз — значения и и о должны удовлетворять соотношениям на скачке, т. е. точка кривой о=о(и), соответствующая скачку, должна лежать на ударной поляре набегающего потока и касательная к скачку составляющая скорости за скачком должна равняться этой же составляющей перед скачком.
ь ы освсиммвтгнчныв пгостые волны з23 Итак, решение уравнения (16.5) должно удовлетворять следующим краевым условиям: при <р =~Г, — = 1я~р„ (16.9) и+ о !к фа= 1'„ при <р=срз о= (и), где У'(и) — правая часть уравнения ударной поляры (!3.4).
Хотя сформулированная краевая задача для уравнения второго порядка (16.5) содержит три условия, она не является переопределенной, так как при заданном щ„ (т. е. при заданном угле раствора конуса) величина ф (т. е. угол раствора конического л скачка уплотнения) заранее неизвестна и должна находиться в процессе решения. При решении этой краевой задачи в обычно поступают по-иному. Задают угол и скачка уплотнения ч~з. При этом краевая задача превращается в задачу Коши, так как при ~р= грз заданы два условия.
Угол Рис. 3.16.5 соответствующего конуса ~р, находится при продолжении решения в сторону уменьшения ~р до такого значения, при котором удовлетворяется первое условие (16.9). Рассмотрим ход решения подробнее, В плоскости годографа проведем луч ч~=~рз (рис. 3.16.5). Опустим на этот луч перпендикуляр из точки А, соответствующей набегающему потоку. Точка пересечения В этого перпендикуляра с ударной полярой определяет значения и и о за скачком, т.
е. начальную точку интегральной кривой уравнения (16.5). Из соотношения (16.2) следует, что в этой точке о' (и) 1я ~ра + 1 = О, так что интегральная кривая выходит из начальной точки вдоль нормали к направлению скачка, т. е. вдоль направления АВ. За скачком нормальная к скачку скорость дозвуковая, и, следовательно, интегральная кривая обращена выпуклостью к центру. Так как при уменьшении гр поворот луча в плоскости течения и, соответственно, нормали к интегральной кривой в плоскости годографа, должен происходить по часовой стрелке, то интегральная кривая должна идти от точки В влево.
Эта кривая продолжается до точки В„ в которой нормаль к кривой проходит через начало координат О. Отрезок ОВ, дает направление и величину скорости на поверхности конуса. Описанное построение можно произвести для всех углов скачка от п(2 до р,. Совокупность полученных при таком построении точек В, образует в плоскости годографа кривую, которая за ее 11* ГЛ. П1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 324 своеобразный вид получила название яблокоаидной кривой (рис. 3,16.6). Яблоковидная кривая и интегральные кривые, соединяющие точки ударной поляры и яблоковидной кривой, определяются только условиями в набегающем потоке. Имея заранее заготовленные при решении обратной задачи яблоковидные кривые и совокупность интегральных кривых, описывающих простые осесимметричные волны между скачком уплотнения и поверхностью конуса, можно решать прямую задачу об обтекании Лс илоиоВид1ая заданного конуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
