Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Укажем еще и на то, что возмущение решения (18.!) уравнений газовой динамики может быть обусловлено и малым изменением самих этих уравнений, например, включением в уравнения дополнительных членов (распределенных внешних сил, источников тепла и др.). з )в. метод малых возмущвния Ь(а, з)=Ь,— (Уи+ ). (18.3) Индекс ! соответствует параметрам однородного потока. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостямн это выражение дает связь между а* и возмущениями скорости в явном виде а'=а',— (Т вЂ” 1) (Уи+ ). Пусть е — малый параметр, характеризующий порядок угла отклонения возмущенной скорости от направления основного потока. Тогда и отношение величины поперечной составляющей скорости к продольной будет иметь тот же порядок. В теории малых возму- Таким образом, причины возмущения однородного потока могут быть весьма разнообразными.
Ограничимся далее возмущениями, вносимыми в однородный неограниченный поток помещенным в него телом. Обратимся к точным уравнениям (1.4) — (1,6) газовой динамики для установившегося движения, считая массовые силы отсутствующими. При адиабатических течениях эти уравнения имеют точные интегралы (1.10) и (1.1!), выражающие постоянство значений энтропии з и полного теплосодержания Ь, вдоль линий тока. Так как поток в бесконечности перед телом однороден, то значения Ь, и а одинаковы на всех линиях тока в области непрерывности течения, т. е.
при дозвуковом течении — всюду, а при сверхзвуковом набегающем потоке или, если при дозвуковом набегающем потоке вблизи тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения,— то Ь, по-прежнему постоянно всюду, а з постоянна только в области до возникающих скачков уплотнения. На линиях тока, прошедших через скачки, энтропия неодинакова, поскольку интенсивность скачков в общем случае переменна.
Поэтому согласно уравнению (!.12) поток в области течения за скачками завихрен. В декартовой системе координат уравнению неразрывности, приведенному к форме (1.13), можно придать вид l ди дг дв Х ди дг дв а'( — + — + — ) =(У+ и)' — +о* — +в' — + (,дх ду дг ) дх ду дг +(У+ и)о( — + — ~+ов ( — — )+(У+ и)в( — + — ).
(18 2) Ось х выбрана в направлении скорости однородного потока, а буквой У обозначена величина этой скорости. Величины и, и, в представляют собой возмущения скорости однородного потока. Величина а' в уравнении (18.2) выражается через (У+ и)'+ пг+ в' и энтропию з из интеграла (1.11) Ь,=сонэ(, который можно записать в виде ГЛ. Ц1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ щений предполагается, что возмущение продольной составляющей скорости имеет тот же или более высокий порядок. В дальнейшем будем считать также, что возмущения скорости малы не только сравнительно с величиной скорости, но и с величиной скорости звука в газе. Зто предположение исключает из рассмотрения так называемые гиперзвуковые течения, для которых выполнено неравенство М'е' ) 1. Гиперзвуковые течения газа и теория малых возмущений гиперзвукового потока будут рассмотрены отдельно в з 23.
При сделанных предположениях, сохраняя в (18.2) лишь главные члены, получим приближенное уравнение ди дВ дм (а' — ((У+ и)'~ — + а' — + а' — == О. дх ду дг (18.4) (Здесь и в дальнейшем, где это не вызовет недоразумений, индекс 1 у величин для однородного потока опущен.) Уравнение (18.6) является основным в теории течений газа с малыми возмущениями скорости. Оно пригодно при всех значениях О причине сохранения в коэффициенте при ди1дх величины и, малой сравнительно с (,1, будет сказано ниже. Как уже говорилось, если возмущенное течение всюду дозвуковое, то энтропия во всем потоке постоянна и, следовательно, все термодинамические функции можно считать зависящими от одного параметра, например давления или удельного объема. При наличии в потоке скачков уплотнения (слабого семейства) увеличение энтропии в них имеет третий порядок по углу отклонения потока в скачке (вновь мы оставляем в стороне гиперзвуковые течения, для которых это неверно).
Поэтому и при наличии скачков, с точностью до членов порядка е', энтропия постоянна во всем потоке. Считая величину а' функцией й и з н ограничиваясь главным членом разложения, можно написать а' = а, '+ — ~ (Ь вЂ” Ь,). дл !1 Подставив в это соотношение величину й — 61 из (18.3) и вспоминая обозначение дат(дИ =à — 1, получим а' = а,' — (Г,— 1) (Уи +" ~" + ) . (18.5) Для совершенного газа это соотношение с Г,=у является точным; в общем случае его правая часть есть главный член асимптотического представления величины а' из соотношения (18.3) при малых возмущениях скорости, Воспользовавшись выражением (18.5), преобразуем уравнение (18.4) к виду (1 — М' — (Г+1)М'11 ~ д +д + д — — О.
(!8.6) з1в. мвтод малых возмгщвнип числа Маха основного потока М и параметра возмущений е, при которых Ме(<1. Из вывода уравнения (!8.6) следует, что обращение в нем в нуль коэффициента при ди/дх соответствует с принятой точностью равенству скорости газа и скорости звука. Поэтому-яри изучении течений с околозвуковыми скоростями последним слагаемым в квадратной скобке нельзя пренебречь сравнительно с величиной 1 — М'.
Если же скорость в возмущенном потоке нигде не становится равной скорости звука или близкой к ней, то такое пренебрежение возможно. При этом уравнение (18.6) принимает еще более простую форму (1 — М') — + — + — = О. ди дч дз дх др дг (18.7) Это уравнение, в отличие от уравнения (18.6), линейно. Оно является основным в линейной теории малых возмущений, Очевидно, что для возможности перехода от нелинейного уравнения (18.6) к уравнению (18.7) необходимо выполнение дополнительного условия (Г+1) м~ ! и ~~,„((1 (18.8) !! — М! и а (и, о, 1р) = дгаб ~р, С использованием потенциала возмущений уравнения (18.6) и (18.7) примут соответственно вид (18.10) Связь между давлением в потоке и на поверхности обтекаемых тел и потенциалом возмущений определяется интегралом Бернулли (и+а)*+" + "+ Г «Р 2 ,) р 2' Р~ справедливым для непрерывных течений и, с принятой точностью, когда р= р(р, з,),— для течений со скачками уплотнения. Отсюда, ограничиваясь линейным и квадратичными членами, получим Р Р~ 1 а~+иР~ — =- — ~ Уи + — (1 — М*) и'+ — ) .
р~ ~ 2 2 )' При тех предположениях, при которых получено уравнение (18.6), течение газа является, очевидно, безвихревым (Й, и з постоянны во всем потоке), так что можно ввести потенциал возмущений р такой, что гл. пь эстхновившився движения З4Π— = — Уи. Р— щ Р (18.11) При обтекании же тел вращения порядки возмущения продольной скорости и и поперечной скорости о вблизи тела различны: и имеет порядок ги,/Ь (!.— длина тела). В этом случае формула главного приближения для возмущения давления на поверхности тела имеет вид (18.12) Рассмотрим дополнительные условия, которым должны удовлетворять решения уравнений (18.6) и (!8.7).
При установившемся обтекании тела его поверхность должна быть поверхностью тока, так что в точках обтекаемой поверхности вектор скорости и вектор нормали к поверхности должны быть ортогональны. Если уравнение поверхности задано в неявной форме Г (х, у, г) = О, (18.13) то в точках этой поверхности должно быть выполнено условие (У+ )д + д + д — — О. дР дх дх (18.14) Если же уравнение (18.13) разрешено относительно у, т. е.
у=У(х, г), (18.15) то условие (18.14) примет вид — (У+ и) — +о+ га — =-О. дх' дУ дх дг (18.16) Для замкнутой обтекаемой поверхности функция У двузначна: на верхней части обтекаемой поверхности г'= У, (х, г), на нижней У='г' (х, г). Для возможности использования теории малых возмущений необходимо, чтобы величина дУ~/дх всюду была малой — порядка е. Исключение может составлять небольшая окрестность затупленных переднего и заднего концов тела. В этом случае следует ожидать в этих концевых областях появления особенностей в решении, полученном методом малых возмущений.
Распределение плотности в линейном приближении определяется 1 формулой р — р, = —,(р — р1). '1 Ниже будет показано, что при обтекании профилей и крыльев конечного размаха возмущение продольной скорости вблизи поверхности обтекаемого тела имеет тот же порядок, что и величина о, так что в главном приближении, соответствующем линейной теории возмущений, давление в потоке и на поверхности тела определяется формулой $18. МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ Условие (18.!4) на поверхности (18.13) или условия (18.16) нэ обеих частях поверхности (18.15) являются точными. В рамках теории малых возмущений для облегчения решения уравнений (18.6» н (18.7) эти краевые условия следует по возможности упростить„ сохранив в них лишь члены того же порядка, что и в уравнениях. Первое очевидное упрощение условий (18.14) или (18.16) состоит в пренебрежении в первом слагаемом величиной и по сравнению с (7.
Дальнейшие упрощения различны для различных классов обтекаемых тел. Рассмотрим вначале упрощение краевого условия (18.!6) при обтекании профиля. В этом случае У = У (х) и условие обтекания профиля в соответствии со сказанным имеет вид: Ж' прн у=УА(х) о=(7 — ~. их Считая, что функция а(х, у) может быть при малых у представлена разложением вида (х, у) = (х, ~0)+»в ~ у+..., заменим в краевом условии (18.!7) величину о главным членом этого разложения. В результате приведем краевое условие обтекания профиля к виду (18.18» или, используя потенциал возмущений, (18.19) Условие (18.18) или (18.19) задает нормальную составляющую скорости на отрезке оси х, соответствующем проекции на эту ось контура профиля.
Говорят, что условие обтекания профиля (18.17) «снесено» на ось х, направленную вдоль основного потока. Этот перенос условия (18.17) на отрезок оси х означает, что на этом отрезке помещаются распределенные источники с объемным расходом, определяемым формулой (18.18) или (18.!9). Взаимодействие газа, истекающего из источников, с набегающим потоком формирует линию тока, приближенно представляющую контур профиля. Аналогичным образом можно упростить краевое условие обтекания крыла конечного размаха произвольной формы в плане, все точки поверхности которого мало отклоняются от плоскости у=О. В этом случае в условии (18.16) дУ!дг(<1, так что после сноса этого условия на проекцию поверхности крыла на плоскость у=О вновь получим, что на этой проекции ду о (х, ~ О, х) = (7 (! 8.20) ГЛ.
П!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ или (18.21) В случае тонкого тела вращения с осью симметрии, совпадающей с осью х, краевое условие (18.!6) упрощается по-иному. Уравнение поверхности (18.13) запишем в этом случае в виде д'+ г' — )с*(х) =г' — — =-О, 8 (к) где г — расстояние от оси симметрии, а !с и 5 — соответственно радиус и площадь сечения тела, нормального к его оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
