Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 78
Текст из файла (страница 78)
На рис. 3.19.4 приведено сравнение экспериментальных распределений давления на одном профиле при М= 0,6; 0,7 и'0,8 (сплошные кривые) с пересчитанными по закону Прандтля — Глауэрта данными эксперимента при М=0,4 (штриховые кривые) е). Совпадение расчетных данных с экспериментальными, естественно, ухудшается прн приближении давления на профиле к критическому (значения которого приведены штриховой прямой). ') Ли иман Г. В., Рошки А.
Элементы газовой динамики.— М.: ИЛ, 1эбо. гл. нь установившиеся движения При М ) 1 можно ввести координату у н функцию гр по формулам -у=уУМ~ 1, (-,=ФУ~,'-' (19.14) и получить систему, совершенно аналогичную системе (19.11), но -О,б -О,б -О,г -О,г 0,2 -О,б -О,б -0,4 -О>4 -О,г -О,г о,г 0,2 Рис. Зл9А (19.16) с другим уравнением для потенциала, а именно (19.15) В этом случае поля возмущений скорости и давления опреде- ляются формулами и= е, <р„(х, ур М' — 1), = йр-„-(х, уУМ' — 1), Д Р~' -„(х у)г М, ром — 1 При одних и тех же функциях )'+(х) и г' (х), т. е.
для одного и того же семейства', профилей, функция ~р(х, у) при М)11 будет, конечно, иной, чем в выражениях (19.12). З!з. лннвпнля !вопия плоских течении 357 Аналогично закону подобия Прандтля — Глауэрта при дозвуковой скорости потока, при М > 1 справедливо соотношение е,)' М' — 1 называемое законом подобия Аккерета. Перейдем теперь к способам теоретического определения функции !р(х, и). Рассмотрим вначале обтекание тонкого профиля дозвуковым потоком *). Начнем с задачи симметричного обтекания профиля у = -Е еУ (х) при 0 < х <!.. Для ее решения применим метод источников и стоков. Распределим источники, потенциал которых определяется формулой (18.29), на отрезке оси х, занимаемом профилем (длину этого отрезка 1 примем за единицу): т) =О, 0- $=..1.
Интенсивность источников з(д(й) соответствует тому, что из отрезка протяженностью !(й истекает объемный расход газа с(д($). Обозначим о($, +0) и п($, — 0) нормальную к оси х составляющую скорости при подходе к оси сверху и снизу соответственно. Ясно, что п($, — 0)= — 0(с, +0) и г(й($)=о($, +0)с$ — о(Е, — 0) !(5=20($, +0)!(5. Потенциал скорости течения от всех источников, расположенных на отрезке 0 <5< 1, выразится, таким образом, интегралом ! <р= — ~о($, +0) !п'г~(х — $)з+изузс(с, о (19.17) а составляющие скорости — формулами ! 1 ('о(й, +0)(х — $) ~й ппз,) (х — $)а+птзуз 1 (' о($, +0)п!у тз,) (х — а)з +пззрз о и !р д дх (19.18) о=— др ду *) Согласно закону Прапдтля — Глаузрта ато обтекание может быть получено простым пересчетом из соответствующего решения для несжимаемой жидкости.
Однако, так как в курсе гидродинамики обычно теория тонкого профиля в несжимаемой жидкости не излагается, мы даем здесь решение задачи для газа; решение для несжимаеиой жидкости получается из него как частный случай при М =.О. гл. нь установившиеся движения Покажем, что правая часть выражения для о при у — 0 дает значение и(х, +0). Действительно, при 0<ту=6 1 1 — 1пп о($, +0),, п$= — о(х, +0) 1пп о ! й — х!1 ! .
/ ! — к х '! = — о(х, +0)1нп агс!и — ~ = — о(х, +0)!йп ~а!с!к — +агс!ц —,) . а о ь ~,—,,~ а ь). Выражение в скобках в пределе при б- 0 равно и для 0 < х< 1 и нулю для всех х вне этого интервала; этим утверждение доказано. Функция и($, +0), определяющая решение (19.17) — (19.18), находится из краевого условия обтекания профиля э(х, +0) =еи)" (х). (19.19) Для вычисления давления на профиле по формуле Ьр(х, 0) = = — РУи(х, 0) найдем величину и(х, у) прн у=О. В выражении (19.18) для и при у=О 1 (19.20) о интеграл расходится при $=х, т. е. является при О <х < 1 несобственным и его следует понимать в смысле главного значения, Очевидно, что выражение для давления на профиле ! руее г !" я) бр=— ау"! — М* .) — з о удовлетворяет закону подобия Прандтля — Глауэрта.
На рнс, 3.19.5 приведены в качестве примера распределение возмущения скорости и/У (пропорциональной возмущению давления), .И. вычисленное по формуле (19.20), и дз ' экспериментальные значения этой ведг и=а,е личины при М=0,6 на профиле, об- О,! разованном дугами параболы, с отно- х сительной толщиной, равной 0,16. -дю о о,з .(а~-1д Отметим, что у передней и задней кромок профиля (при условии, что там У' (х) ныл) рассчитанное возмущение скорости стремится по логарнфмиРнс. 3.19.5 ческому закону к бесконечности. Как уже говорилось ранее, это является отражением особенности линейного решения, которая возникает там, где возмущения скорости при е — 0 не стремятся к нулю. В рассмотренном случае симметричного относительно оси х профиля подъемная сила, о чевидно, отсутствует.
т19. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ 359 Сопротивление профиля 1 ! 1 7(=2~бр еу'(х)(х= — 2Р(! е( ( г'(й)г'(х)дедя пт,),) х — $ о о о равно нулю, как и должно быть в соответствии с парадоксом Эйлера— Даламбера, так как подыитегральная функция антисимметрична относительно диагонали квадрата, по площади которого производится интегрирование.
Перейдем теперь к более сложному случаю несимметричного обтекания профиля, заменив пока профиль линией (дужкой) у = ЕУ (х) *). В отличие от симметричного относительно оси х течения от источников, расположенных в точках атой оси (см. формулы (19.18)), течение от вихря, находящегося на оси х, как легко получить из формулы (18.31) при т)=0, несимметрично: компонента скорости п сохраняется при переходе через ось х, компонента и меняет знак. Располагая вихри непрерывно вдоль отрезка 0 ( $ < 1 оси х и полагая с(("($)= — и($, +0)1(е+ и($, — 0)с%= — 2и ($, +0)с5, найдем потенциал !р в виде ! !р= — — ) и($, +0)агс(Н вЂ” У!19.
о (19.21) Компоненты скорости выразятся формулами дф 1 дх и ~ ( ' ) (х — Ц)з+теу! о 1 и = — = — ) и($, +0) д1р т Г х — $ с(е. ду м,) ' (х — $) а+тзуа о (19.22) При у = 0 получим ! о(х, 0) = — — ~ ' с($, т Г и(з, +О) м,) х — $ о (! 9.23) причем интеграл в правой части при 0 < х < 1 вновь нужно понимать в смысле его главного значения. В случае симметричного обтекания определяющая решение (19.! 7)— (!9.18) функция о($, +0) находилась непосредственно из граничного условия на профиле. В рассматриваемом несимметричном ре- е) Задачи обтекания таких профилей эффективно решаются методом теории функций комплексного переменного (см.
[121). Предпочтение излагаемому ниже методу отдано в связи с последующим его обобщением в $ 21 для эадачн обтекання крыла конечного рамаака. звз Гл. 111, ВстхноВиВшисся дВижения шенин (19.21) — (19.22) функция и(В„+0) непосредственно граничным условием обтекания профиля не определена. Опа известна, если решается обратная задача нахождения формы профиля по заданному на нем распределению давления.
При решении прямой задачи функция и($, +0) должна находиться из интегрального уравнения ! (/В1" (х)+ — ~ " ' „1!В=О при 0 <х < 1, (19.24) о в которое обращается формула (19.22) для о при у=-0 после подстановки в нее значения о(х, 0) из краевого условия обтекания проф. В(х, О)=из~ (х). Не останавливаясь на выводе, приведем формулу обращения интегрального уравнения (19.24): ! и(х, +0)== + ~ РВУ'(!) УО-1 УΠ— 1~ о В качестве примера рассмотрим плоскую пластину под углом атаки а.
В этом случае ВУ'(х) =- — а и формула (!9.25) дает 1 и(х, +О) = — — ~// — ') )// —, о Отсюда и(х, +0) = — у иа /! —. (! 9.26) График величины и(х, +0) приведен на рис. 3.19.6. На нижней стороне пластинки и(х, — 0) = — и(х, +0). Таким образом, давление на нижней стороне пластинки выше, а на верхней стороне — ниже, чем в набегающем потоке. Нормаль- приО<х<1. Решение определена с точностью до константы С, соответствующей разным значениям циркуляции скорости вокруг профиля.
Распоряжаясь этой константой, можно удовлетворить условию Жуковского— Чаплыгина схода линии тока с задней кромки профиля. Из условия ограниченности и(х,+0) при х ! получаем НС+ — ~ (/ВУ' (!) ~ 1(! =О, так что решение, удовлетворяющее )/'1! ! — г) условию Жуковского — Чаплыгина, имеет вид 1 и(х, +О) = — ~/ — ~ Г (!) )/ — . (19.25) о в!З. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ ЗЕ1 ная сила, действующая на пластину, и равная ей с принятой точ- ностью подъемная сила У определяется выражением ! 1 = ) (1ХРн ОРв)= — ~ Отсюда для коэффициента подъемной силы находим 2ла "=) 1-Мв (19.27) В соответствии с парадоксом Эйлера — Даламбера сила сопротивления, действующая на пластину, равняется нулю.
Однако, проектируя нормальную к пластине силу на направление набегающего потока, получим от- вт~~ личную от нуля величину ер с1ВаВ т Разрешение этого кажущегося противоре- г чия состоит в том, что в линейном приближении задача дозвукового обтекания профиля газом согласно формулировке (19.11) идентична задаче его обтекания несжимаемой жидкостью, Поэтому при обтекании газом передней кромки пластины возникает, как и в несжимаемой жидкости, подсасывающая сила, о которой подробно говорилось в 2 4. Согласно формуле (4.11) для гр распределение скорости по верхней стороне полубесконечной пластины, обтекаемой несжимаемой жидкостью, дается выражением прцвав В сжимаемом газе подсасывающая сила, уравновешивающая вычисленную выше силу сопротивления, есть риа т !2 Г, Г.
ввврввт Сравнивая это выражение с распределением скорости (19.26) на пластине единичной длины при х — 0 (тоже для несжимаемой жидкости, т. е. при т=-1), находим (А(2)ив =-Уа, так что в соответствии с формулой (4.!3) подсасывающая сила у кромки такой пластины равна ГЛ. Н!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 362 Рассмотрим (рис. 3.19.7, а) симметричный профиль с уравнеивем контура (при 0 < х < 1) у = ~ т)', (х) ()', (0) = У, (1) = 0; 21 — наибольшее значение относительной толщины профиля). Искривим среднюю линию профиля (рис. 3.19.7, б), придав ей вид у,= е)',(х) (У, (0) = У, (1) = 0;  — наибольшее значение относительно прогиба средней линии). Наконец, повернем профиль (рис. 3.19.7, в) вокруг точки х=О, у=О, установив его под углом атаки а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
