Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 80
Текст из файла (страница 80)
После преобразования к новой переменной и учета сказанного выше о верхнем пределе интеграла получим к-с кЬ В=— кк (р= ~ д(х — тгз(тт))т(т) при М < 1, т =) 1 — М* (20.3) к кь я=в Рпк и я=в ф= ) д(х — тгсЬт))г(т) при М > 1, т=-)' М' — 1. (20.4) к сь В=— Рнк о хо. линеинАя теОРия ОБтекАния тел ВРАшения 369 Считая функцию д($) гладкой, выполняя дифференцирование и вновь возвращаясь к исходной переменной, найдем при М ( 1,т=)Г1 — М'. Ч' (Б) дэ <'х д г' (х — Б)а+ тога 1' (х — ь)а+таха )г ха+така о д<р (' д' Я) (х — Б) д$ д(В) (х — В) д(0) х ) рг(х — В)а+ тога 3~ (х — ()а+така 1' ха+така и — . др и при М>1, т=)гМа — 1 Е=х-иг и= — =— ч'($) д1 д (О) рг а тога ' (20.6) у'(х ао)а та а д' (Б) (х — В) д: )=к-каг д(0) х ггха — тога го= г — = др дг рг(х — $)а в таг' Для определения д согласно граничному условию (20.2) получаем интегральные уравнения: при М - 1, т= Рг1 — М' дн 1 (' ч'(Б) ( — 1)дй дх ~,) гг(х — $)а+тога ~ о г= Л 1к) при М > 1, т=УМ' — 1 к-тг иг — =1 гх 1 (' д' Я) (х — $) д1 1 о к=а(к) (20.7) (20.8) Для простоты в первом случае принято о)(0) =д(7.)=0, что соответствует заостренному у обоих концов телу (точиее — телу, у которого производная Юд(х обращается у концов в нуль); ео втором случае требуется выполнение лишь условия д(0)=0, так как в этом случае источники не влияют на течение вверх по потоку от исходящего из них конуса Маха.
Нахождение распределения источников д($) из уравнения (20.7) или (20.8) в общем случае производится численными методами. При этом распределение д($) аппроксимнруется многозвенной ломаной, на каждом участке которой д' ($) = сопз1. После этого интеграл (20.7) или (20.8) заменяется суммой интегралов по интервалам $, на которых и'= сопз(. Подставляя в преобразованное таким образом уравнение (20.7) или (20.8) в его правую и левую части последовательность значений х, по числу равную числу подлежащих определению значений д,', получим систему линейных уравнений для нахождения этих значений.
При сверхзвуковой скорости значения д,: находятся последовательно из решения каждый раз лишь одного уравнения, ГЛ. П!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 370 так как значения д!' при ббльших ! не влияют на течение, определяемое значениями г),' на предыдущих участках. Как следует из выражений (20.5) и (20.6), составляющие скорости и и о имеют при обтекании тел вращения разные порядки при малых г.
Поэтому, как уже говорилось в 9 18, при вычислении давления на поверхности тела в этом случае в главном приближении следует пользоваться формулой (18.12) — '= — ((7п+ — ) . (20.9) На рис. 3.20.2 приведены распределения давления на поверхности веретенообразного тела вращения с параболической формой образующей и относительной толщиной 0,16 при его дозвуковом обтекании, вычисленные по приведенной теории.
и-а,эта -а,ик Рис. 3.20.2 к сап=†тг Непосредственным дифференцированием этого выражения (или из формул (20.6)) получаем к к тг и= — А агсЬ вЂ”, и =Ат 1Г ( — ) — 1. (20.11) тг ' (,тг, Рассмотрим при М) 1 решение обратной задачи, задав д($) =А$ и разыскивая соответствующую такому распределению источников форму обтекаемого тела. По формуле (20А) в этом случае ч=г к Г тггг ! гР= А ~ (к — тгс)гт1)сЬ1=Ах~ — агсЬ вЂ” + ~/ 1 — —,!. (20.10) тг к 3 00. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ зт! г!х о!г и+и Из него получаем ! Тк е. сà — А агсь — Ат ~/ ! г !не т' огаоЕ, откуда !Тгке.
с!Яо Ео — «го+!к Е, агсь— сга е, ' Для очень тонких конусов, для которых 1доО,(< —,= !пор(т, е. ! для которых угол конуса О, много меньше угла Маха р), выражение для А можно сильно упростить: А ж (/Оо. Выражения (20.11) для компонент скорости на поверхности конуса в этом случае также можно упростить (при этом используется формула агс)!а=!п(а+ Р ао — 1)): и = — иО*,)п — „,, = иО,. 2 те Отсюда согласно формуле (18.12) коэффициент давления на конусе равен ср — — — 2 гг — ( гг ~ =-2ео(1г! Š— г ), (20.12) Для тонкого клина с полууглом О, ранее была получена формула (!9.33) ге, С Р га Поскольку обе составляющие скорости зависят только от комбинации х!г, то возникающее течение является коническим и соответствует линейному аналогу задачи о сверхзвуковом обтекании конуса, точное решение которой было дано в Е 16.
Все линии тока такого течения в плоскости х, г подобны. На рис. 3.20,3 приведена картина линий тока рассматриваемого течения. До конуса Маха х — гпг=О поток не возмущен. За этим конусом линия тона поворачивается, отклоняясь по часовой стрелке. На линии тока г — х 1п О, = 0 направление скорости совпадает с направлением луча, т. е. угол О, есть полуугол при вершине обтекаемого конуса. Угол О, находится из соотношения ГЛ. НЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 372 Избыточное давление на конусе при том же полуугле по порядку ! величины в 0,!п — раз меньше. Этот меньший рост давления очев, видным образом связан с тем, что при обтекании конуса поток имеет возможность <растекаться» во все стороны от оси конуса, тогда как в случае клина это растекание может происходить лишь в двух противоположных направлениях от плоскости симметрии.
Формула (20.12) для коэффициента давления на конусе может быть записана в виде с, = 611(Е, ~'М вЂ” !). (20.13) Вспомним, что при точном решении задачи сверхзвукового обтекания конуса в $ !6 зависимость ср на конусе от определяющих параметров имела вид с,=)(М, у, О,), (20.14) причем функция трех аргументов в правой части определялась численным интегрированием дифференциальных уравнений. Приближенная формула (20.13) для ср содержит функцию лишь одного аргумента 8, у' М' — 1, причем вид этой функции определен простой формулой (20.12). Покажем, что, как и в случае плоских течений, в линейной теории обтекания тел вращения можно сформулировать законы подобия, аналогичные законам подобия Прандтля — Глауэрта н Аккерета.
Действительно, рассмотрим обтекание семейства тел с образующей г=е)«(х). (20.! 5) Введем вместо потенциала ф величину Уе'ф, а вместо координаты г — величину г=гт, где т = )'! — М' при М ( 1, т — 'угм 1 при М) 1. Тогда задача об обтекании любого тела семейства (20.!5) сведется к решению уравнения д»~р д'ф 1 дф ~: — +=+ — = =0 дг» г дг (знак «+» при М < 1, знак « — » при М > 1) с условиями (20.16) ф„„= О. Сформулированная таким образом задача содержит параметр те. Решая ее, получим ф = ф (х, г, те), 5 21. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА зтз откуда и= Уе'~р„'(х, г, те), п=тУЕ'ф,'(х, г, те), се — = — 2<р„' — (те)' ср,'. Приведенные формулы свидетельствуют о подобии течений около аффинноподобных тел одного семейства при дозвуковых или при сверхзвуковых (но не гиперзвуковых) скоростях (и притом в газах с разными термодинамическими свойствами) при одинаковых значениях те.
Для очень тонких тел, когда в условии (20.16) можно брать левую часть при г=О, равенство значений те для подобия течений не требуется, т. е. все дозвуковые или все сверхзвуковые течения около аффинноподобных тел вращения подобны (как в случае очень тонкого конуса при М ) !). $21. Линейная теория обтекания крыла конечного размаха Рассмотрим в рамках линейной теории малых возмущений обтекание крыла конечного размаха. Набегающий на крыло поток однороден в бесконечности перед крылом и направлен вдоль оси х.
Примем, что точки поверхности крыла лежат на малом расстоянии от плоскости х, г и что направление нормали к поверхности крыла мало отклоняется от направления оси у, за исключением, может быть, малой окрестности кромок крыла, если они не заострены (рис,3,21.1).
Потенциал возмущений скорости р должен удовлетворять уравнению и граничному условию обтекания крыла д ~ =И'м(х, ~0, а) (21.2) Рис. 3.21.1 в точках проекции поверхности крыла на плоскость у=О. В 5 17 указывалось, что для получения решения, соответствующего картине действительного обтекания крыла, необходимо в общем случае принять, что с его задней кромки сходит вихревая пелена. Эта пелена представляет собой тангенциальный разрыв между потоками, сходящими с верхней и нижней сторон крыла. На поверхности тангенциального разрыва должно быть выполнено кинематическое условие †равенст нулю нормальной состав- ГЛ.
111. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ З74 ляющей скорости газа с обеих ее сторон и динамическое условие— равенство давлений газа. В линейном приближении эти краевые условия сносятся, как и условие на поверхности крыла, на плоскость у = О. Прн этом считается, что проекция вихревой пелены на плоскость у = О представляет собой полубесконечную полосу, ограниченную параллельными осн х линиями, идущими от концов крыла (см. рис, 3.21.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
