Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 82
Текст из файла (страница 82)
В силу выражения (21.1!) производные уй и ~р с точностью до постоянного множителя можно трактовать как распределения вихрей, так что величина гр;с в этом уравнении есть производная от распределения вихрей. Перейдем к случаю сверхзвуковой скорости набегающего на крыло потока "). Решение задачи будем по-прежнему искать методом распределения особенностей по площади проекции на плоскость х, г крыла и сходящей с него в общем случае вихревой пелены. При интегрировании потенциалов распределенных особенностей нужно учитывать сделанные в 9 !8 разъяснения об области зависимости решения в точке Р(х, у, г). Так как особенности, от которых идут возмущения, расположены на плоскости т) =О, то область зависимости точки Р (рис.
3.21.4) ограничена на плоскости т) =О обращенной вперед ветвью гиперболы (х — 9)з — т' (е — Г)' = т'у', ') Общее решение этой задачи было получено в 1946 — 1951 гг. Е. А. Краснльщиковой. (Крас ильщико ва Е. А. Крыло конечного размаха в сжимае.мом потоке. — Мч Лл Гостехиздат, !952). Е 2!. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА зтэ т. е. представляет собой часть плоскости 2) = 0„ где $ и Ь удовлетворяют неравенству 5(х — ) л22у2+л22(à — г)'. (21.15) В задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла ограничимся такой формой крыла в плане, при которой касательная к контуру крыла поворачивается монотонно при обходе контура (рис. 3.21.5). Выделим на контуре крыла характерные точки. Точки В и В,— концы крыла в направлении его размаха; часть контура крыла между точками В и В„обращенная вперед, называется передней Рис.
3.2!.4 Рис. 3.2!.5 кромкой крыла, а часть контура между этими точками, обращенная. назад,— его задней кромкой. У передней кромки газ натекает на крыло, а у задней кромки — сходит с крыла. В точках А и А, и в точках С и С, характеристики двух семейств касаются передней и задней кромок соответственно. Части передней и задней кромок АА, и СС, называются сверхзвуковыми, а их части между точками А и С и точками А, и С,— доавуковыми.
Очевидно, что нормальная к контуру крыла составляющая скорости газа больше скорости звука у сверхзвуковых кромок и меньше скорости звука у дозвуковых, Огибающая всех конусов Маха, которые начинаются в точках сверхзвуковой передней кромки крыла, образует передний фронт возмущений, вызываемых в потоке крылом. Перед этим фронтом набегающий на крыло сверхзвуковой поток не возмущен.
В плоскости х, г возмущенная область ограничена спереди сверхзвуковой передней кромкой АА, и выходящими из нее вниз по потоку характеристинами АА' и А,А; (рис. 3.2!.5). С задней кромки крыла ВВ, вниз по потоку сходит вихревая пелена, ограниченная прямыми ВВ' и В,В;, параллельными направлению набегающего потока. Пусть Х, — площадь проекции крыла; Т(Т,) — область вне крыла между характеристикой АА'(А,А;) и краем вихревой пелены ВВ'(В,В;); (Р' — вихревая пелена. Представим потенциал скорости в виде ф(х, у, г)= — — Дф„') Б, (21.16),.
к$ иь $' (х — 5)' — и22у2 — и22(г — ь)' ГЛ. ИЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Согласно сказанному ранее, для определения потенциала ср по этой формуле область интегрирования д', в которой необходимо знать <р„'(ь, О, ь), ограничена неравенством (21.15). Следует различать несколько характерных случаев расположения области интегрирования Ф. В первом случае область Х расположена целиком перед фронтом возмущений (рис. 3.21.6, кривая 1). В остальных трех случаях область (21.15) пересекается с возмуг щенной областью: во втором случае только с поверхностью крыла Т, (криш и вая П), в третьем случае (кривая !П) она захватывает и одну или обе области Т (Т,) между характеристикой д АА'(А,А;) и краем пелены ВВ' (В,В;); т наконец, в четвертом случае (кривая 7'у') область Т захватывает и часть вихревой пелены )(7.
Д' В первом случае в области Ф Рис. 3.21.6 ср„'(в, О, ь) == О, так что потенциал воз- мущений ср равен нулю. Во втором случае величина <р„'(„=с в области интегрирования известна из условия обтекания крыла. В третьем и четвертом случаях ср„'!чса в области У заранее известна только в точках проекции крыла; для использования формулы (2!.16) необходимо найти <р„'!чев в остальной части области интегрирования.
Для этого следует использовать краевые условия, к рассмотрению которых мы и переходим. На переднем фронте возмущений ~р=О. В области Т(Т,) за характеристикой АА'(А,А;) потенциал и давление при переходе плоскости у=О непрерывны; так как в силу антисимметричности производной <р,'(х, — О, г)= — ср,'(х, +О„г), то в этой области у,'=-О и, следовательно, ~р(х, О, г)=О. В точках вихревой пелены условия те же, что и при дозвуковом обтекании, так что в этой области <р,'=О. Оказывается, что сформулированные краевые условия позволяют найти значения ср„')чВВ в областях Т(Т,) и )у путем последовательного решения интегральных уравнений Абеля; при этом решение получается в квадратурах.
Рассмотрим лишь случай, когда на значение потенциала <р в рассматриваемой точке пространства влияют возмущения в области Т вЂ” сказывается так называемый концевой эффект, а влияния вихревой пелены нет, Получим интегральное уравнение для определения функции ~р„'!чса в выражении для потенциала (2!.16) в части области Т между характеристикой АА' и характеристикой ВВ" (рис. 3.21.7). Для этого выразим по формуле (2!.16) потенциал ф произвольной точки й! (х, О, г), лежащей в этой области.
Область интегрирования разобьем на две части сТ, и )Г„первая из которых принадлежит $2!. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА зз( проекции крыла, а вторая лежит вне ее. В области хд функция г()„'(„о задана краевым условием обтекания крыла, в области г, она неизвестна. Так как по предыду)нему потенциал др в точке д(!' равен нулю, то Д »($»(~ ) 1' (х — о)г — од» (2 в ь)г =7(; у), 'Р» где )(х, у) — известная функция !'(х, у) = — (дг'„'($, ~) 1' (х — д)' — мд (2 — о)д »(о»(о Уравнение (21.17) есть интегральное уравнение для определения д()о'(х, О, 2) в области Кг. Упростим его путем введения характеристйческих координат Хд =Х Хо )П(2 Ею) ~г 2, = Х вЂ” Хо+ т (2 — 2,), 4 а) Б =Б — Х вЂ” ~(1 — Ео)' ь, = к — х, + т (д,— 2,).
л' д За точку х„х, можно принять, например, точку пересечения продолжения характеристики АА' с осью х; тогда 2»=О. Так как д(й д(И = ~' ~' д($д(~=2тд$д(~, то вместо уравнения (21.17)~ в новых переменных получим д»» Пусть уравнение сверхзвуковой передней кромки крыла А,А в новых пеРеменных есть 2, =5(хд), а УРавнение ДозвУковой пеРеД- ней кромки крыла АВ есть 2»=Яд(хд). Тогда уравнение (21.18) можно переписать в виде к, г, к» 5»($») о„'(1„о, 1,) „~ „~ (( ~~, ае,нг, о з» )д») 1' (2,— Од) (гд — Ьд) ' ) ) "Гк(хд — Од) (од — Ьд) ~=-й озрь) Иначе х, о з» )о») 5 (В») Это уравнение представляет собой уравнение Абеля относительно функции в квадратных скобках с тождественно равной нулю правой ГЛ. !И, УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 382 частью.
Из него следует, что при В(=х, выражение в квадратных скобках равно нулю, т. е. 5, (х,) 5 (х,) Это соотношение есть вновь уравнение Абеля, но уже с не равной нулю правой частью. Опуская промежуточные выкладки, приведем формулу обращения этого уравнения: 5,(к,) и у' г! — 5((х!) г(— 5 (к,) Отметим, что согласно этой формуле (р„' при приближении к дозвуковой кромке АВ растет неограниченно как 1(у' г, где г — расстояние до кромки. Зная (р„'(х, О, г) в области между характеристиками АА' и ВВ", можно найти потенциал (() в тех точках пространства, для которых Рис. 3.2!.8 Рис. 3.2!.9 область интегрирования в формуле (21.16) захватывает поверхность крыла и область Т (на рис. 3.21.8 такая область ограничена гиперболой 111).
Интересный результат, который мы приводим без вывода, состоит в том, что в выражении для потенциала возмущений части интеграла по площадям Ух и У! на рис. 3,2!.8 взаимно уничтожаются, так что потенциал ойределяется при этом формулой р= — — ('('иу.й, ~) ' ('(' !(й !(В )х (х — В)х (и у lи (г — Ь) где Х' — часть площади крыла, отмеченная на рис. 3.21.8 штриховкой. Мы рассмотрели наиболее простой случай, когда концевой эффект с одной стороны крыла не сказывается с его противоположной стороны. В случае крыла, вытянутого вдоль оси х, или при малых сверхзвуковых скоростях эта независимость нарушается (рис. 3.21.9)! возмущения нз области Т проникают в область Т, и наоборот.
$22. ОКОЛОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 383 Не рассмотрели мы н вопрос об определении потенциала в точках, где сказывается влияние вихревой пелены. Отметим, что при наличии дозвукового участка задней кромки для однозначности решения требуется условие, аналогичное условию при дозвуковом обтекании профиля с острой задней кромкой, т. е. условие Жуковского — Чаплыгина. Во всех случаях, как уже говорилось, решение может быть получено в квадратурах. Рис. 3.21.10 Для некоторых форм крыла в плане отыскание распределения параметров потока в точках поверхности крыла существенно упрощается по сравнению с общим случаем.
Так, если отсутствует дозвуковая часть задней кромки, то вихревая пелена не влияет на течение у поверхности крыла 1рнс. 3.21.10, а); если дозвуковых кромок вообще нет, то нет и влияния концевого эффекта у поверхности крыла 1рис. 3.21.10, б), Следовательно, если и передняя и задняя кромки сверхзвуковые, то нет необходимости в нахождении функции распределения источников вне поверхности крыла при определении действующих на него нагрузок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
