Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 88
Текст из файла (страница 88)
3.23.4. Там же штриховыми линиями нанесены значения с„по линейной теории Ак- б,74 керета (см. формулу (19.32)). Видно, что с ростом числа М линейный участок зависимости с„от а уменьшается и в предельном гиперзвуковом тече- О,гб нии (К= ОО) он исчезает совсем. Формула (23.9) приобретает при этом вид О,бб с! — — — (у+ 1) а'.
Для сравнения на рис. 3.23.4 нанесена также зависимость с„от а для другого предельного случая М = 9 (несжимаемая жидкость, см. формулу (19.27)) б г 4 б 8 а,гРад Рис. 3.23.4 ск = 2па. Подчеркнем, что коэффициент подъемной силы пластины резко уменьшается с ростом числа М и становится при гиперзвуковых скоростях очень низким. Найдем еще значение числа Маха М' в потоке за скачком уплот пения при гиперзвуковом обтекании мало наклоненной пластины. По формулам (23,4) получим При росте интенсивности скачка уплотнения величина Кз меняется от единицы до бесконечности, Поэтому при Кз 1 число Маха за скачком имеет тот же порядок, что и перед ним; если же Кз Оо, то М'- — „' ~77 (23.11) т. е.
и в этом случае при малых углах а число Маха за скачком большое. Выяснив на примере гиперзвукового обтекания плоской пластины под малым углом атаки основные качественные особенности течения и установив порядки величины возмущений параметров основного 408 ГЛ. 1!1, УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ г" (х, — ", — ~ =О (23.12) Рис. 3.23.8 В соответствии с оценками, полученными при изучении обтекания пластины, введем новые переменные по формулам и=У,+т'и', о=то', го=с!о', Р=т Р1 Р=р ~ Р х=х, у=ту', г=тг'. (23.13) Подставим эти новые переменные в основные уравнения (1.7.10), считая движение установившимся и адиабатическим (у=О), и отбро- сим в них члены порядка т'.
В результате получаем систему ди', ди', до' 1 др' У1 — + о' —, + 1о' —, = — — —, 1 дх ду' дх' р дх' до', до', до' 1 др' У1 — +о' —,+1о' —,= — — —,, ' дх ду' дг' р ду' ' д1о', д1о', 81о' ! др' 1', — +о' —,+1о' —,= — — —,, дх ду' дг' р дх' ' У, — + —,+ —,=О, др дро' др1о' дх ду' дх' до , дх , до 1', — + о —, + 1о —, = О. ' дх ду' дг' Условие обтекания тела в общем случае имеет вид о„= (У и) = 0 при Р (х, у', г') = О. На головном скачке, а также на возможных разрывах внутри области течения должны быть выполнены законы сохранения (1.7.15). Преобразуем все эти соотношения с учетом сделанных предположений. Как следовало из условий на головной волне, угол ее наклона к направлению набегающего потока по порядку вепичины тот же, что и угол поворота потока в волне, т.
е. равен т (если часть го- потока, изложим основы общей нелинейной асимптотической теории малых возмущений скорости при гиперзвуковом обтекании тонких тел. Пусть тонкое тело аэродинамически совершенной формы (рис. 3.23.5) помещено в гиперзвуковой поток газа, направленный по оси х. Примем длину тела за единицу, и пусть т †мал величина, характеризующая наибольший угол отклонения потока при обтекании тела, например, в случае тела вращения †е наибольшая относительная толщина.
Представим уравнение поверхнос- ти тела в виде ззз. гнпвазвтковые твчвння. озщив свопствх 4оэ ловной волны есть слабый разрыв, то угол его наклона к направлению набегающего потока равен 1/М, что при Мт~1 приводит к оценке 1!М~т). Поэтому уравнение головной волны и уравнения других возможных разрывов в области течения имеют вид Р(х, у', г') =О, где у' и г' меняются по величине в том же диапазоне, что и х.
Нормаль и к поверхности г(х, у', г') определяется формулой дР дг дР й — +7 —,+Ф вЂ”, д',, „В+Р(,.) !а ~~! ~,~ч ~ (~т~ ~ч~ где символом 0(т') обозначены члены с модулем порядка т', а нормальная к поверхности Р составляющая скорости о„— формулой о„= ( У и) = ([1 ()', + 'Ри') + т к" 1 и) = т (о„', — Р) + 0 (т'). дР Здесь введены обозначения: Р = —; и — норда ~'( — ',")' ( —:.")' маль к контуру поверхности Р=О в плоскости у', г', Г(о', ш')— вектор скорости возмущений в этой плоскости; о„',— составляющая этого вектора вдоль нормали и'. С принятой точностью и в новых обозначениях условие на поверхности обтекаемого тела примет внд ох =Р при г (х, у, 2 )=О.
(23.15) На поверхностях разрыва условие сохранения массы (первое соотношение (1.7.15)) дает связь р(о„',— Р) =(р(о„— Р)1о (23.! 6) С использованием этого условия уравнение импульсов (второе соотношение (!.7.15)) дает проекцию на ось х р (о„',— Р) (и' — и,') $', = (р' — р,') Р (23.17) и соотношение в плоскости у', з' р(о„',— Р) У' — ~р(о„',— Р) У'),=(р,' — р') и', (23 18) Наконец, из уравнения энергии (третье соотношение (!.7.15)), принимая во внимание (23.16) и (23.17), получаем (обозначив е=т'а') р(о' — Р) ( — + а') — '(р(о.' — Р) ( —,+е)~,=(р'о.'),— (Ф'о.'). (23.19) В том случае, если поверхность есть тангенциальный разрыв, соотношения (23.!6) и (23.18) дают условия на ием в виде о„', = (о„',), = Р, (23.20) 4!О гл.
иь мстлновившиеся движения Система уравнений (23.14) и дополнительных соотношений (23.15)— (23.20) распадается на две. Одна независимая система служит для определения У, р' и р. Она состоит из четырех последних уравнений (23.14), которые после введения переменной (=х!У, примут вид ди', дР', дУ' ! — + о' —, + и' —, = — — афтаб' р', д~ ду' дг' р ++ б(ч' р У' = О, (23.21) д« , д« , да — +о' —,+ш' —,=О, дГ ду' дг' Операторы дгаб' и б!ч' берутся по переменным у' и г'. Эта система представляет собой уравнения нестационарного движения газа в пло- скости у', г'. Условие (23.15) иа поверхности тела принимает вид условия непротекания газа сквозь контур Р(У,(, у', г')=0 в плоскости у', г', представляющей собой сечение обтекаемого тела плоскостью х=У,(.
Условия (23.16), (23.18) и (23.19) или условия (23.20) суть условия на нестационарных поверхностях разрыва (скачках уплотнения или тангенциальных разрывах в плоскости у', г'); величина Р в них, дР/д~ равная Р =- — , есть скорость перемещения по- ~'( — ',")' (' ),, верхности разрыва в плоскости у', г'. После нахождения из этой системы У', р' и р первое уравнение (23.14) вместе с условием (23.17) на скачках уплотнения определяет величину возмущения продольной составляющей скорости и'.
На- хождение и' можно упростить, если вместо первого уравнения (23.! 4) использовать интеграл рг у', — + Ь= — '+И„ 2 2 справедливый во всем потоке. Из него в принятом приближении следует, что во всем потоке и' определяется соотношением (23.22) Таким образом, задача о пространственном гиперзвуковом обтекании тонкого тела эквивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа, вызываемом изменением в этой плоскости контура, который представляет собой сечение поверхности тела плоскостью х = У,1. Наглядно эту эквивалентность можно представить (рис. 3.23.6), если рассмотреть фиксированную в пространстве плоскость у', г', сквозь которую пролетает со скоростью 1', по нормали к ней обтекаемое тело.
Сечение тела плоскостью у', г' представляет собой «поршены, расталкивающий в стороны частицы газа. К примеру, $ гз, ГиперзвукОВЫВ течения. ОБщие сВОйстВА 411 симметричное гиперзвуковое обтекание со скоростью У, тонкого круглого конуса с полууглом а эквивалентно плоскому течению, возникающему при расширении в покоящемся газе круглого цилиндра, радиус которого растет по закону 14 =У,аг. С принятой точностью составляющая скорости частиц газа У' в плоскости у', г', его давление и плотность определяются независимо из уравнений движения газа (23.21) в этой плоскости с соответствующими дополнительными условиями. При необходимости из соотношения (23.22) находится возмущение продольной составляющей скорости, имеющее более высокий порядок малости.
уагааа Леиае Рис. 3.23.6 Эквивалентность трехмерного гиперзвукового обтекания тонких тел плоскому неустановившемуся течению называется иногда законом плоских сечений в гиперзвуковой аэродинамике. Эта эквивалентность делает очевидным подобие гиперзвуковых течений около аффинноподобных тонких тел (23.12) с разными значениями т.
Действительно, течение в плоскости у', г' будет для разных тел одним и тем же, если при данных параметрах первоначально покоившегося газа (т. е. набегающего на тело потока) поршень, вызывающий движение в плоскости у', г', будет изменяться со временем одинаково; для этого нужно, чтобы для разных тел была одной и той же величина У,т (более тонкое тело должно двигаться с большей скоростью и наоборот). Сформулируем закон подобия. Система уравнений (23.21) с условиями на поверхностях разрыва (23.16), (23.18), (23,19) или (23.20) и условием на поверхности тела о„'=0 при г'(У,1, у', г'), а также уравнение (23.22) определяют и', У', р', р в зависимости от(, у', г' и постоянных У„р„р, и у или — в безразмерной форме — зависимость —, —, —,, — от У,1=х, у, г и постоянныхг и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
