И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Первое — удовлетворение граничным условиям — очевидно, второе — требует доказательства и более подробного исследования, к которому мы и переходим. Очевидно, подинтегральные функции сами по себе в (2.30) и (2.31) определяют вынужденные колебания, когда граничные функции в (Р) и у (Р) являются периодическими Со(Ю) — Ф(а) Веос У(Ю) — ~(15) ВЮшЮ, При таком периодическом виде граничных функций, когда ставится задача об удовлетворении только граничных усло- гл. п.
интвггивовьиив гвавнвннй нвгстьновивш. двнжвния 47 )<уЩ) (МвМ ~/(г) ~ (Ме", где М, ао — положительные постоянные. Докажем, что Ф (и) -+ О, Р(а) -+0 при ! а ~ ~ оо, агд и ) О, когда 1) О. Для этого рассмотрим скачкообразную функцию % (г), равную нулю при 1(0 и равную Меч' при 1)~0, 1(0, Ч" ®=О, 1>0, %'®=Ма'г. (2.32) Такую функцию Ф' ф можно представить контурным инте- гралом о ) ео, (2.33) где единственный полюс подинтегральной функции а= — 1оо остаатся над прямой интегрирования, лежащей в нижней полуплоскости.
Легко видеть, что при 1)0 подинтегральное выражение в (2.33) стремится к нулю при ( а, ~ -+ со, вий, т. е. задача определения одних только вынужденных колебаний, нет никакой необходимости в интегрировании по частоте и. В этом случае непосредственно подинтегральные выражения в (2.30) и (2.31) определяют вынужденные колебания. Если же ставится общая задача — удовлетворить не только граничным, но и начальным значениям, т. е.
найти также и свободные колебания или, если граничные функции ~у(г) и У® не являются периодическими, мы можем пытаться найти нужное нам общее решение, представляя как граничные условия, так и частные решения, в виде интегралов по некоторым контурам. Выясним некоторые свойства чзстотных спектров Ф (и) и Г(м) функций р(1) и У'(г), представленных формулами (2.9) и (2.14). Как выше указывалось, и Я = О, у(Г) = 0 при С(0. Кроме того, по условию уф и )'(1) не превосходят по модулю некоторой экспоненциальной функции 43 гл. и. интеггивовлниз увлвнеиий иахстлновивш.
движвния агда)~0 «). Отсюда следует, что при г) 0 мы можем замкнуть прямую, вдоль которой проводится интегрирование полуокружностью 1', расположенной в верхней полуплоскости а, причем на этой полуокружности подинтегральная функция (2.33) обращается в нуль. Тогда интеграл (2.33) обратится в интеграл по замкнутому контуру, внутри которого будет единственный простой полюс м = — 1ее.
Вычисляя его по правилам теории вычетов, получим: Ч у) 2щ' Г Р4а~м (в+ Гча)1 М~,,1 2чг и + — ель ('"+~'о) При г ( 0 мы замыкаем .контур интегрирования полуокружностью 1", симметричной с полуокружностью 1', лежащей в нижней полуплоскости. На этой полуокружности подинтегральная функция (2.33) опять обращается в нуль. Получаемый при этом замкнутый контур не содержит ника ких особенностей подинтегральной функции и интеграл (2.33) по теореме Коши обращается в нуль. Таким образом, при г(0 Чг(г)=0, при г)~0 Чг(г)=Ма'Ф. Можно показать, 1 что при г=О интеграл (2.33) даат значение Ч'(Г)= — М, т. е. среднее арифметическое значений в точке разрыва.
Сопоставляя формулы (2,33) и (2.14), а также, учитывая, что Чг(г) ) (<р(г) ~, Ч'(г) ) (~(г) ~, получаем: ( ) ~ ~ 2ч!ч+Ыо~' 2к ! е + Газ ! ' Наше утверждение, что Р(а)-ьО и Ф(м)-+0 при ~в~-+со, таким образом, доказано. $ 3. Вычисление интегралов для скорости н давления. Вернемся к интегралам (2.30) и (2.31) для скорости и давления. Покажем, что эти интегралы дают решение, удовлетворяющее также начальным условиям (2.2), для чего рассмотрим более подробно подинтегральные функции. ч) Лемма Жордаиа. гл. и.
интвгвизоввниа тглвнаний нвтствновизш. движвния 49 Полюсами этих функций будут, во-первых, полюсы вг» ча- стотных спектров Ф (и) и 1' (и) и, во-вторых, полюсы м„ соответствующие корням знаменателя соз ~в — 1~в з1п гув = О~ (2.34) где л и, согласно (2.17), 1 гв = )г1 = — к' мв — 12ам. с (2.36) (2.36) Таким образом, имеем: / тввв мв = 1а г ~/ — — аз, т. е. все мг лежат в верхней полуплоскости. Выше указывалось, что Ф(м) и Р(м) не имеют корней в нижней полуплоскости ниже прямой вг = — 1о и что на полуокружности Г бесконечно большого радиуса Ф(вг)-+ О, гт(м)-+О, когда 1) О, а при 1( О Ф (и) -+ О, гч (м) -+ О на симметричной полуокружности Г', лежащей в нижней полуплоскости. Обозначим сов хх сов И вЂ” Ггав1п И. г' вг вгпгг(1 — х)+Игсовл(1 — х) К А совИ вЂ” хавгпИ (2.38) А в!и ах сов и — Л1г вш и сов х (1 — х) — Иг в1п А (1 — х) сов И вЂ” Иг вгп И Е (м, х).
в( з . вага н. л. чвв а Других полюсов подинтегральные функции (2.30) и (2.31) не имеют. Как известно, при действительном р корни (2.34) действительны. Из (2.36) получаем: м = 1а зв/ —, — ав = 1а =')I Авсв — аз. (2.37) / твсв в 50 гл. и. ннтвгРИРОВАнив увавнвний нвтстлновивш. движвния Тогда, согласно (2.30) и (2.31), оо — 1» тв — ~ [л'(м)У,(м л)+ф(<о)У (м х)]аьы,ум — со — Еа со — яа р ] [»е(со)Ез(м, х)+Ф(~)Е~(м, х)]е» 'йо. (2.39) р = 2Ы(~~'.~ йан+,'5', й~" + ~~~~ й~" + ~~~~ й~"), (2.41) ь ь »» где В~1, 4,'1, й[~1, 4~ — вычеты подинтегральных функций, соответствующие полюсам мь частотных спектров Р(м) и ф (м), Й», »С», Й» Й~ — вычеты, соответствующие полюсам м, и> (з> <а> н> функций Я1(со, х), Ез(м, х), Ез(м, л), Е (и, х), т.
е. корням е, уравнения (2.34). Мы будем рассматривать случаи, когда полюсы ма частотных спектров находятся на действительной оси. Тогда, согласно (2.37), при а фО в (2.39) кратных полюсов не будет и все полюсы подинтегральных функций будут простые. В этом случае в (2.39) можно положить а = 0 и условиться, что полюсы, расположенные на действительной оси со, обходятся по бесконечно малым полуокружностям, расположенным в нижней полуплоскости.
Нетрудно видеть, что подинтегральные выражения в (2.31) стремятся к нулю на полуокружности Г при ~) 0 и на полу- окружности Г' при с (О. Замыкая контур интегрирования и полуокружностью Г' н учитывая, что в нижней полуплоскости ниже прямой со= — й полюсы отсутству1от, мы по теореме Коши получаем нуль для интегралов (2.39) при 1(0. Таким образом, интегралы (2.39) удовлетворяют всем условиям — граничным и начальным.
При 1) О, замыкая действительную ось со полуокружностью Г, на которой подинтегральные функции в (2.39) стремятся к нулю, мы получаем возможность вычислить интегралы (2.39) при помощи теории вычетов: ю = 2я[(„'», ']ф+ ч'„7ф+,ч; ]ф+ ч~", ф'), (2.40) ь ь а а Согласно правилам теории вычетов, получим: Х Кв) Х Ип) [вн (а) (а ак)[ нн((аа х) ев вв В а н+н ~~Р„1с(),) = ~ 1ип [Ф(а) (а — а))[2в(агн х) е'"а', В В н-вна ,~~Р~ в)с(аМ ~~.'~ 11ш [Р(а) (а — аа)[ Яа(агн х) е а, Н К нвна ~ Йап=,~~~~ 1ип [Ф(а) (а — аа)[е (аа, х)е й В ~-;н (2.42) Для вычетов й, будем иметь: Р(н )сов— твх в вв у в ( е в и) 4юю в)п 9в (с(й т ~В) в (2.43) нв) [ Виг Вв (1 — — ) + Дфв сов фв(1 — — Я ,'~„'у Ф( в) в Х и, (2.44) — (с(я р — ~т)~ в в(~~ (в) 9в» не в!и (н в (К~ (ав) 1 ° ) (' (2Аб) Ин н н '~~ т1 (в) в х~ х~ совке(1 ) Йвв(пте [1 ) Х .
(2.46) — (с(я н — К)~ ~в()т~ 1((в) в гл. и. иитвгвиговлиив твавивиий иитстаиовивш. движвиия 51 52 гл. и. интвггиговьнив твлвнвний нвтстановивш. движвния Вычисляем производную — „(с!3 се — ре) — (с(псе — ~ср)~ = ~ — ( — „, + ~) — „~ ~ = — (с(а' Е. + Ъ+ Р) ~4 е или, учитывая (2.34), (2.36) и (2.37) ~„( (3'у — Ы -,= — (Р'7'+1+)) —, 'У' «Р — г2ав е в 6) те+ аг+ 1) с с 7= -~ се (га тс+Яг+))' (2 47) тес тв где ,Г а Ее — — У/г,'с' — а' = $/ — ', — а'.
(2.48) Найдем теперь входящие в (2А4) и (2.45) отношения — ' тв и —: тв . 'се ~'в Га ~ се те 9в че че т, ('- Ее — Га) те Ще — Га) 'в Р а Га -~- Е Ее+ ае тасе сев в в Ф е в Таким образом, для вычетов Я„ получим после вычислений, согласно (2.43), (2.44), (2.45) и (2.46), (ц у Еа, е — иетг,ы :ь Е.1'(М+ Р+ 1) тел се -ее = — — е Х. т савв Х Е Фет~е + ф+ 1) е!и т„ )с', '(Р'((а+Е ) енес — Р'((а — Е ) е е ], (2.49) ГЛ. 1!. ИНТВГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ ОЗ о К Х1 / х) в!Пв (1 — — ~!+Яр совВ, 11 — — 1 сгвю е в ~ Е юв 6 Еэ + ю) + 1) в!и фв (1 — — ) + 5Ев сов В~, (1 — — ) = — — е вг 'х (5ЯР:+ 51+!) в!П Тв Х(Ф(!а+Ею)е ~о~ + Ф(Еа — Е ) е вг+ + — [Ф(!а+ Ее) е~~в~ — Ф (юа — 1о) е~в~)~, (2.50) В Ес„= — ю — ,'~ ю".
(юа + $,) — (-+- $,— юа) )( Х ° — — Х юв),К ег . Ев савв ' э э 1 . у,х ю<юавв,)г Вх в!п — ' е ' с%!в в!и 8!и фв -~- $в Раув+)!+1) Га ей Раув+ 5+ 1) в!и во Х ( Г(юа + Ео) ею!в' + Г" (юа — Ео) е ивов — — '" [Р' (юа+ 1 ) е Вэ — Г (юа — 1 ) е ивю 1), (2.51) В сов ув(1 — — е! — ВЕ в!ЯР, (! — — ) в о 1 сг ю(юаха,) г ~в (рвР'» р ! цюг Х [Ф(Еа+Ео) е эг — Ф(Еа — 1о) е ювэ").
(2.52) 54 Гл. !!. интеГРиРОВАниВ УРАВнений ИВУСТАноВиВш. дВижениЯ Подставляя найденные значения вычетов в формулы (2.40) н (2А1), получаем для скорости и давления те=2ею'( )„Иш [Р(а)(юв — ав)12ю(ав, х)е в + и "'+"А +~~) Иш [Ф(а) (а — аа)[хв(ав, х) е н.+ н тв СОВ— т⻠—;е- У. Х ~ Е~ (РЪ+ Р+ ~) вююю тв Х '1Г(!а+Ею) ею!в! — Г(юа — Е,) в~~в~]— в1пте ( 1 — Ю)+ [1тв сов тв(1 Р'~'+Р+ )~1~Ь Х [Ф(юа+Е ) ею!в!+Ф(юа — Е )е ~в + + — (Ф (юа+Е,) е в — Ф (юа — Е,) е ' )]), (2.53) р = 2ею'(',)' Июп [ю. (а) (а — ав)\ е в (ав х) е + и.+ н + ~ Иш [Ф(а)(а — а„)[е.в(ав, х)е " + н+н вв вх + ю в~~~ [рвт~ "[- ~ -[- » вюп юв,в юювю Х [ Р (юа + Е,) е ' + юн (юа — Е,) е юа юв,ю юювв — — (Г (юа+ Е,) е ' — Р (юа — Е,) е ' ) ~— в х') х~ св -аю — — Е ютв Х сов тв (1 — — ) — Рте в!и тв1! — — 1 Х Ев (Рвтв+ 4+ 1) в1п тв Х [Ф(юа+Е ) е ' — Ф(юа — Е„) е * Ц.
(2.54) гл. и. интвггиговлнив гвавнвний нвгстлновивш. движения 55 ф 4. Скачкообразные изменения скорости и давления в начальном и конечном сечениях трубы. Рассмотрим случай, когда 7'(г) и у(г) имеют следующий вид: У'(1)=А=сопз1, 1) О, У(1) = О, 1< О, / ~>(1) = В=сопзг, т) О, ~ <р(т) =О, 1(0. (2.55) (2.56) А — скачок скорости,  — скачок давления. Согласно (2.9) и (2.33), частотные спектры определяются формулами 2 г (2. 57) 2псш ' (2.58) При этом в (2.33) полагаем ее †О, а О и единственный полюс а = О обходится при интегрировании вдоль бесконечно малой полуокружности, расположенной в нижней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
