И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Первые два члена в (2.53) н (2.54), где вычеты берутся относительно полюсов частотных спектров, определяют вынужденные колебания; последние два члена †собственн. Резонанс можно трактовать как случай, когда полюсы частотных спектров и один из корней а, уравнения с1ие, †, = О, определяющего спектр собственных частот, совпадают или имеют одинаковые по величине действительные части.
Формулы (2 53) и (2.54) дают решение нашей задачи, если известны частотные спектры. Для расчетов, естественно, необходимо отделить в них действительные и мнимые части. Для сколь-либо сложных граничных функций р(Г) и г ® и соответствующих нм частотных спектров ф(а) и Р(а) вычисления, простые по существу, могут оказаться весьма громоздкими. Поэтому мы вначале рассмотрим наиболее простой случай скачкообразных возмущений о(1) и 7 (г), а затем при помощи интеграла Дюамеля обобщим результат на случай произвольных функций э (г) и г (1). 56 гж и.
интвггиговлнив гглвннний нвгстлновивш. движвния Наядам для этих условий те н р из уравнений (2.53) и (2Л4). Частотные спектры Р (а) и Ф (а) имеют единственный полюс ал = а1 — — О. Определим сначала вынужденные колебания. Согласно формулам (2.38) и (2.17), имеем: а-+О, а-+О, х51(0, х) =1, 1 . в 5!па(1 — х)+ХЛ соо а(1 — х) 5(0' ) КИ Л оОИ вЂ” М 'и в+о в — Ит — л(1 — х) = О, ш.+О ~ л-+о 5.5 (О, х) = — 1К Ит— л-+о о оох = — 1К Иш — йх = — 1К!пп ш-о О шао к-оо л-+о шо — 12аш х 2ах = — 1К Иш, — = — К вЂ”,= — 2арх, в +О СО ( ) И со5 а (1 — х) — йд 5!п а (1 — х) 505 И вЂ” ад 5!п И л.+ о (2.59) (а1),„ = 2я1( Иш †.
° а ° 1 + 1пп — ° а ° 0) = А, (2.60) А . В -о о 251в ш.+ о 2"'ш (р),„, = 2я1~ Иш — а ( — 2арх)+ Ив —. ° а ° 1~ = А В в. о 251ш 251в = — 2архА + В. (2.61) Заметим, что слагаемое — 2архА в (2.61) имеет простой смысл — оно представляет собой потерю давления на трение на длине х при установившемся движении со скоростью А. Переходим к свободным колебаниям. Найдйм Р(1а-+- 1,) и Ф(1а-+ 1,) для частотных спектров Р(а) и Ф(а), пред- Из формул (2.53) и (2.54) находим вынужденные составляю- щие скорости и давления: Р ((а .+ с,)— 2яг га-<-(в 2сл Р.г или, учитывая (2.48), В ((а + ( ) =:. — е* в, — в 2я( ств (2.62) где (2.63) Аналогично получим: Ф((а-+ с ) ==.
— е ~В 1 вм в 2а1 ств (2.64) Теперь находим свободные колебания: оо вох вв савв (те)овос = 2п)~ х Гв 2яг с Аав Р 1 рвяв ( 5 ( 1)в(па КЕ с 2вг хд хх вш Рв(1 — — )+ ~твсов ув(1 — — ) а, (~~я~+ 5+ 1) в(а а + (а ( ю (1 ю — в 1+ — с (в в — в 1 Гв е у -ав 1И ав савв оо чв» 1 е ав = — 2А — чгч, соя((в1 — 9,) + 2 — Х ав Ава (Й то+5+1) в1пав «1 Г хт ) в1е Р ~1 — — ) + 5Р сов Р ( 1 — — ) 1) ' *(, 1) . Р ((Вятв+ 5+ 1) в!п Рв сов ав Гл. и. интегРиРСВАние уРАВнений неустАновивш. движения 57 ставленных формулами (2.57) и (2.58); 58 Гл. и.
интеГРироВАние УРАВнений нВУстАноВиВш. дВижениЯ где а1 (2.66) а СО в(п— .К А 1 'г (Р)„,б =2и1~ ю' — е- ' — — Р в Х р, (Р' Рв+ 6+ !) в(п Рв бп б — В ) — ц( в — в ) 1а (% б — В ) + — б((вв — в ) Ев 00 / х! х! ев б В 1 %ч сов Рв~! — — ) — ачвв1птв ( ! —— Рв 2ер с ,.Е.Р~,~+5+ 1),!... Х ( в(1,(-в,) + б(1,( — в,) СО в!и Рвх = — 2рсАе- ' Р'. 1 в!и (Е,р — 20,)- ~~ Р (8~Р~+а+1) в1пр сова СО 2В сов Рв ~1 — — /1 — ~тв в(п Рв ~! — — ) — — е" б !ИВ, 1/ Х сов (Е,р — 6,).
(2.67) Окончательно получаем, суммируя свободные и вынужденные колебания бе = (ти)выв +((И)вввб в~ (я а ° сов— е-в( и в 1 = А — 2А — ~ сов (Е 1 — Ов) + 1 Е 'рв+Е+!)ввп'р вв ( х) ( х~ В у в(пчв(1 — — )+~в совР 1 —— 1/ ' '~ 1/ Рс вв4 Р ф~т~~+Е+1)в!НР сов 0 Х в!п Е,р, (2.68) гл.
и. НнтегРиРОВАнив УРАВнений нвУстАновивш. движвния 69 р = (р),„„+(р) в = — 2архА+ В— оо з!и— твх — 2рсАе-ов Р', в!и (Ива — 20в)— р (ав рв -1- а + 1) з!и т сов О х ') х) 2В сов т 1 — — — рр в1пт,1 —— — — е-ов чт' .!66, в, йм (рвт'„+р -1-1) в!В т, Х сов (6,1 — 6,). (2.69) $ 6. Переход от скачкообразных изменений скорости и давления к произвольным функциям времени.
В 9 3 было дано решение задачи для функций 9(Р), 7(Р), возрастающих не быстрее некоторой экспоненциальной функции, равных нулю при Р ( О, когда известны выражения (2.14) для их частотных спектров Ф(а) и х'(в) р (Р) = ~ Ф (вв) ев"'в !вм, оо — Вв у(р) в:о ~ р (и) евшв Ерм (2.70) Ф (и) р (а) е-» в!а 1 Г Р(м) = — ) /(а) е-' вша !" 2я,) (2.71) Для ограниченных функций ! р(Р) ! (М, )У(Р) ) (М можно положить здесь С=О и условиться брать интегралы по вещественной оси вв с обходом полюсов, если таковые имеются там, по бесконечно малым полуокружностям в нижней полу- плоскости.
Отметим попутно, что при этом формально можно пользоваться также формулами (2.6), вытекающими из интеграла Фурье 60 гл. и. интвгвиоовлнив хгавнвннй нагстлновнвш. движвния ОЭ Ф (а) = — ~ Ве е " е1а = -- .--. 1 Г В 2л,) 2луо о (1 Цш е-ьоа) «+со Р(а)= — ~ Ае ' ° г1а= А 2л,~ 2лйо о 11ш е ьлл) Если мы будем считать Иш е е л-+О, ы + со то В 2лйо ' 2 ' А т. е. получаются правильные выражения частотного спектра, если мы будем при интегрировании в (2.70) считать о=О и обходить полюс а =0 указанным выше образом. Для периодических функций 7'(1) = Аеежо, У(С) = О, 7(с) — Вече о, р(1) = О, г)0, Сч. О, С)0, С( 0 (2.72) даже для функций р (г) н у'(1), пе удовлетворяюших одному из условий Дирихле — условию интегрируемости в пределах от — со до оо, но ограниченных. Например, рассмотренные ранее в й 4 функции ~(1) и о(8), заданные в виде скачков формулами (2 55) и (2.56), не удовлетворяют, очевидно, указанному условию Дирнхле. Тем не менее, из формул (2.71) для иих можно получить правильные выражения Ф (а) и Р(м), если условиться считать 1йп е-ы-+ 0; для у(1) и 7®, заданных формулами (2.55) и (2.56) из (2.71), получим: Гл.
и. интеГРиРОВАние УРАВнений неУстАнОВВВШ, дВижения 61 (при этом д, и да — вещественны) 'формальное применение формул (2.71) даат также правильные результаты: Р' (и) — ~ Ааспб,а е-4ыа Г(е ~ е-» ОР-ч,)» Де— 1 Г,4 Г 2я .) =2ч .) е о А [1 — 1пп е Г( — ш) ) = А (2.73) 2ч) (~о — 4) 2ш (и — 4) и аналогично для Ф (м) в 2ВГ (ш — да) ' (2.74) А+ Иэ р=рд+рв~ (2.75) Подставляя (2.73) и (2.74) в (2.70), полагая а=О и об- ходЯ полюсы и = д, и м = 7В, как выше Указывалось, мы убедимся, что формулы (2.73) и (2.74) дают правильные выражения частотных спектров периодических функций, представленных уравнениями (2.72). Интегралы (2.9) и (2.71) позволяют всегда получить выражения Ф (и) и Р(а), правильность которых может быть установлена подстановкой в формулы (2.70), где интегрирование выполняется в комплексной области. Таким образом, задачу 5 нахождении частотных спектров Ф(м) и Г" (и) можно считать принципиально решенной, а тем самым, согласно результатам 9 3 настоящей главы,— решйнной и задачу о нахождении скорости и давления.
Другой возможный способ решения задачи состоит в том, что исходят из формул скорости и давления (2.68) и (2.69) 9 4 для скачкообразных изменений функций У (Г), ~Г(г), заданных формулами (2.55) и (2.56). Для произвольных у'(С) и р(Г), равных нулю при Г (О, применяется интеграл Дюамеля. В уравнения (2.68) и (2.69) входят слагаемые, содержащие множителем скачки А и В 62 гл.
и. Внтвггиоованна ававнвний нвгстановивш. дВижвння где тел, ген, р„н рв являются слагаемыми, определяемыми скачками А и В: 1Я ав СО5 =А 1 — — е-ага Х [ а, Л Е(аят',+6+1)51няв Х соз (Евг 65)1) 51п тв(1 — — )+ Ив сов тв(1 ) о (Р т„+ З + 1) 81п В сов В Х 8(п Е,'г, р = — 2ар»А— л — 2рсАе- 5 ~ (2.76) 81а— Фв» 1 тв(р 95+ 7+ 081п овсов ав О 5 Х Х яп (Е,Š— 26в), р,=В— со585 (1 ) Р7во!п тв (1 ) 26... ст, Х соз (Евг — 65). "= 1 У(') ЛИ1("* ' — ')1"'+ д о +~ 'р(') у( Я1(» ~ — ')11( д о (2.77) Пусть теперь вместо условий у(г)= А и р(Ю)= В, у(г) и 17(Ф) стали произвольными функциями времени, равными нулю для 5(0.
Тогда, в силу линейности как исходных дифференциальных уравнений, так и граничных условий, можно применить интеграл Дюамеля, позволяющий совершить переход от скачкообразного вида граничных уеловий к произвольным функциям времени следующим образом: в (2.76) полагаем А=1 и В=1. Тогда Гл. и. интегРиРоВАние УРАвнений неУстАнОВиВш. ЕВижения 63 = ) 7'() д (р!в!(» à — )1 4т+ 0 С +.1 ср(т) дг(рн(х т — т)1!Ут, (2.78) д в й 6. Случай большого затухания вследствие вязкости и гидравлических сопротивлений. В предыдущих формулах предполагалось, что величина 1„ согласно (2.48), действительна, т. е. параметр затухания а невелик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
