И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Прн большой величине параметра а первые значения $, могут обратиться в нуль или даже стать мнимыми. Преобразуем для этого случая соответствующие члены сумм (2.68) и (2.69). Согласно (2.48) и (2.63): . Г "~„' в 1/ р 1 а !И8 =— в аг а!В8,= —, втв $в! СОВ Ов= — '.
втв ' (2. 79) ПРи 1в= О, а=+в, после РаскРытиЯ неопРеделйнностн, совтв ответствующие члены сумм (2.68) и (2.69), если учесть (2.66), где геф, теЯ» рг! р!вг! значения тлл глв Рл Рн в (2.76) при А=1, В=1. Мы будем рассматривать только скачкообразные и периодические граничные условия. Поэтому в дальнейшем для простоты исследования за исходные берутся формы решения (2.53), (2.54), (2.68) н (2.69), где предполагаются известными частотные спектры Р(а) и Ф(!в), выражающиеся в этих случаях весьма простыми формулами. 64 Гл. и. интеГРиРОВАниВ УРАВнений неУстАноВиВш.
дВижениЯ примут внл: т х з !6 ав соз— Иш — 2А —,, соз (Евр — ез) р,-за ~ а, (6'т„'+ 6+ !) а!и тз авх соа— = 2Ае- ' (2.80) тв 6'тв+ 8 + !) а!и тз ' Ит 2 — е-ае а!Нта(! 7)+Ртзсозтв(1 !) 1 е!ВЕАР~= ! .Рз Рс р (6 т +8+1) а!птз сов ев в!Вез(! )+Мвсовтв(1 р) = 2 — Ре-ав (2.81) Рс фее+а+!)в!и рв а!и— тзх Иш — 2рсАе-а', з е!и (Е,р — 26в) ! ! -з з тз (Р 'Рв+ Р + !) Егл тз соз Ев в!и— твх 2реАС-ас (2+ ае), (2.82) тз(а т'„+ 6+ !) в!и та с ов ав (1 — — ) — атз з!и тв (1 — — ) >в а! (Е~ез+Р+ !)в!Ет К сое(Е,Р— 6,) соз ез(! — ) — арвз1птв(! — — ) = — 2В(1+а!)е- з тз(взтза+ р+ ц мл р, (2.83) При а )+з Е, станет мнимым, но заметим кстати, что и при мнимом Е, все корни м„согласно (2.31), лежат в верхней полуплоскости зз. Таким образом, выведенные выше формулы для скорости и давления остаются в силе. При мнимом Е, соответствующие члены сумм (2.68) и (2.69) принимают вид Е,=(Е,', (2.84) гл.
и. ннтвгвнровлнив трлвнвний нвгстлновивш. движвния 65 где Е=~/ а — —, (2.85) В этом случае проще всего исходить из общих формул (2.49)— (2.52 и вы ажений (2.57) и (2.58) для частотных спектров: А 1 А 1 ю-(!а+ Е ) = Р(1а+1Е,') =— 2пю ю'(а+Е,) 25 а+Е, А 1 А 1 ю- (юа — Е ) = Р (юа — юЕ') =— ю 2пю 1(а — Е ) 2п а-Е„ Ф(юа+8,) = Ф(!а+ юЕ;) = — .
В 1 В 1 2»1 ю (а+ Е ) 2» а+ ! Ф (1 — Е,) = Ф(1а — 12,) = —., в ! в 251 ю'(а — Е„) 2п а — Е, Соответствующие члены сумм (2.49) — (2.52) илн, ч (2.86) Х 1 — — —, с)ю Е'1+ В!ю Е'1 . (2.88) 5 Знн. ВВ!В. И. А Черный. то то же самое, сумм (2.68) и (2.69) примут вид при а) евн: т с05 .сй и 1 (А,— 1 Р 1Е„ф~т~+Р+1)5!всю,) 25(,а+Е„а — Е, /) СОВ— тн» = — 2Ае-",, (с!ВЕ;1+ —,ВЬЕ',1), (2.87) т» Ф т,ю + н + !) 51в тн ю 51в юр 1 — Я+ Еюр сой юр (1 — — 'Ю вЂ” 2пю' — е- ' 'х Кю (6'т„'+ в+ 1) В!и ы, а В г — 1 — Ею — 1 Вюлч 211 а+ Е„ а — Е' х') ( х~ В а! ю, 1/ * н! 1/ 51птн 1 — — +Еюю Войт 1 —— 2 — — е-аю 'х Ре е ' тд6 тц+1+1)51птн 66 гл.
и. интегРиРОВАнив УРАВнений неУстАноВиВш. дВижениЯ Мы вычислили вычеты, отвечающие скорости. Вычеты для давления равны: твх .вд' ! ('А ( — 1 1 (рвтв'+Р+1)в!Втв(2а !,а+1, а — 1„ А а г — 1 — !'в — ! !'в!) — — —,( —,е в 2а 1 а+5, з!и— твх = 4ар!Ае-в! х т~ (Р'т~+ Р + 1) з! В т, )( сЬ(„'1+ — ~ — '+ —,) з(! Е;т, (2.89) в х) ( х) . св сов т 1 Ртвв!и т Р !1„(Р~Р~+ а+ Ц вш Е„ хт / х~ сов тв ~1 ) Ртв в!и Рв !А1 ) 2Ве- вв !) г) )х тв (Рвт~ ~+ Е + 1) в!и тв )С ( —, ВЫ,'1+ сЬ $',т).
(2.90) в Таким образом, когда а)~ т!в, соответствующие члены в суммах (2.68) и (2.69) заменяются формулами настоящего параграфа. 6 7. Волновая форма решения при отсутствии затухания в трубопроводе без камеры. Решения, полученные выше, выражаются в рядах, которые довольно быстро сходятся при р ф О, — когда трубопровод снабжЕн камерой достаточного объема. При отсутствии камеры и движении с затуханием, т. е. когда р = О и а фО, сходи- Гл.
и. интеГРиРОВАВИЕ уРАВнений неустАновивш. движения 67 (2.91) Скорость и давление, согласно формулам (2.30) и (2.31), примут следующий вид: ах а (а — Х) Р(а) сов — . 5(п— 1 +КФ() Сов— С05— с с -= 1[ евав АСа (2 92) Р(а) в!ив л а ев вс(а+ ам СО5— с . К р = — ю'— с са — Са Сов а (1 — х) + Ф (а) есас с(а (2 93) сов— с При О=О интегралы в этих формулах попрежнему рассматриваются как контурные с обходом полюсов, лежащих ность рядов ухудшается и ее приходится специально улучшать, как показано ниже в задаче о гидравлическом ударе вязкой жидкости (9 1 гл. 1!1). В случае, когда затухание отсутствует, а = О, для трубопровода без камеры можно простым путем получить прежние результаты не в виде рядов, а в виде прямых и обратных воли, аналогично тому как решение классической задачи о колебаниях струн и стержней может быть дано методом фурье и методом Даламбера. При решении операционным методом это будет эквивалентно применению так называемой теоремы запаздывания.
Случай а = О, Р = 0 может быть получен непосредственно из предыдущих общих решений. Тогда результаты попрежнему будут иметь форму бесконечных рядов. Можно поступить несколько иначе; вернувшись к исходным формулам (2.30) и (2.31), положить в них а = О, й = О, н, следовательно, согласно уравнению (2.18) 68 ГЛ. Н. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ на вещественной оси, по бесконечно малым полуокружностям, расположенным в нижней полуплоскости са, и вез, сказанное о поведении подинтегральных функций на плоскости са, остаатся полностью в силе. Множитель 1 в последних формулах можно пред- 1 С02— с ставить в таком виде: ш) — 4— 22 с сш) )ш1 е с ) е с сш) шг СОА— с +е оя ,2 1 4ш) сш) — )в — а— — )в с[1 е с+с с е с+ «о — 4а а ш ш 1 Р()' '2' ', ' ° Х сш) 4ш1 К[1 — е ' +е ' —...1еешса)и+ 4ш 11 — ш) сш(1 — ш) оо .
ш) + .~ Ф [со) 21 2е ' Х сш) 4оя 'а( [1 е с +е с 1 е4ш)4442 оо — аа Го[со) [[Е ( с )-[-Е ( с ))— — со — аа 4ш(2- — — — ) сш (2- — — — ) 1 — ш 21 1+с 21 [е с с +е с с (1- — — — ) 4 (2- — — ) 1 — ш 41 1+ш +[е с с +е а с ) [,442 [ Тогда формулы (2.92) и [2.93) можно преобразовать следующим образом, замечая, что К=рея: ГЛ. И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ.
ДВИЖЕНИЯ 69 Рс — оо — аа аш(» — — — — ) »ш(» — — — — ) с с е с с ]+ аш(» — — — — ) еш(» — ) х 41 . »1 — х 41 +[с с с е с с ] )фщ (2.94) »шх а х р = — »рс ~ Р'(х) 2 2е Х вЂ” оо — »а Зш» 4ое Х [] — Е с +Е с ..] Е»ш»4(а+. ш»1 — х) ш11 — х1 + ~Ф(в) + 2е с Х . »ш» . »ш» е с +е с ) е»ш»»Гх со — 1а = — ре ~ р(х)[[е а I — и ~ с )]— 4 (»- — '*- — '1) еш(»-14 — '1) [е с с е с а ]+ 4ш(» — 1 х — 41) 4ш(» — 1+х 41) +[с с с Е с с ] )4»Х+ + ~ ф(х) ([е ( с)+е ( с )]— »ш(» — — — М) 4ш(» — 1 — И ) [е с с +е с с ]+ »ш(» — х- — ") аш(»-" х 41) + [е ' ' +е ' "] — ...) йо.
(2.95) 70 гл. и. интвггигованив твзвняний нвгстлновивш. движения В правые части формул (2.94) и (2.95) входят интегралы вида 71 — — ~ гт (а) еса1'-Са1 с(а, — о» вЂ” Са со — со (2.96) 7 ~ ф (а) Ссай — С)гуа — со — и Вспом ('-'=.")+ (' — )- ('-'=."-7) 1 — х 21 1+х 21 — + — <1< — + —; с с с с' ( 1 — х) ( 1+х) 7 (1 1 — х 21, 1+х 2!ь 1+х 21 1 — х 41 — 1(1 — — — — 1, — + — <1< — + —; с с)' с с с с' где 1о †постоянн. ним, что интегралы со — 1» со — 4а Р (а)ась с1а н ~ ф (а) с1асс1а — со — 1а — оо — га согласно формулам (2.14), равны граничным функциям г'(1) и с7 (1), обращающимся в нуль при 1 < О.
Нетрудно видеть, что интегралы (2.96) равны тем же самым функциям 1'(1) и с7 (1), но для времени 1 — 1с. Для моментов времени 1<1о интегра- лы (2.96) обращаются в нуль. Таким образом, множитель е ' 'а в подинтегральных выражениях (2.96) определяет сдвиг гра- фиков функций 7" (1) н а(1) вправо по оси 1 на величину 1е. Возвращаясь теперь к формулам (2.94) и (2.95) для ско- рости н давления, мы получаем возможность представить их в виде ряда бегущих волн — прямых и обратных. О, 0<1 ( 1 — х) 1 — х 1+х, Ф (! — — ) — Ф (! ) — \Р(! — — — — ), х + 21 < ! < 21 — х + 21 с с с с' ( х) ( 2! — х) ( х 2!)+ 21 — х 211 2! — х 2! х 41 + 1Р(1- — — — — + — <!< — + — ' с с!' с с с с' 1 +— рс (2.97) ( ! — х) 1( У+х) ( ! — х 21) 1 — х 21 1+х 21 — +-<!< — + —; с с с с' 11= — сР .
( ! — х) ~(! 14 х) ( ! — х 21)+ ( !+х 21) 1+х 2! 1 — х 41 — + — <« — + — ' с с с с' Гл. н. интеГРНРВВАние УРАВнений неУстАновивш. движения 71 72 гл. и. интаггиговлнив тглвнвний нвтстлновнвш. движвния О, 0<1<»; , (1 —;), —,<1< .( —;)+ ( — ",') —.( — —; — 7)' х+ 21 21 — х+21 с с с с' ( — ".)+ (1-",")- (--;-7)— 21 — х 21ь 21 — х 21 х 41. — э~г —— — — — — +-- <1< — + — ' с с!' с с с+с' (2. 98) 9 8. Распространение скачка давления в бесконечно длинном трубопроводе.
Предыдущие формулы дают волновую картину неустановившегося движения в трубопроводе конечной длины. Представляет интерес рассметреть случай бесконечного трубопровода, так как- движение в конечном трубопроводе может рассматриваться как совокупность прямых и отражйнных волн. Распространение же отдельной волны проще всего изучить для бесконечно длинного трубопровода. В электротехнике этот случай эквивалентен хорошо известной задаче о распространении электрического тока в полубесконечном кабеле при изменении напряжения в сечении х = О. Мы ограничиваемся волновой формой решения только для случая а = О, л = О, так как при а ф О и л „-Е О данные выше решения в форме бесконечных рядов оказываются более простыми для расчйтов.
Заметим, что формулы (2.97) и (2.98) могут быть получены также из решения Даламбера, как будет показано в $8 гл. 1И. ГЛ, и. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 73 Пусть р =О, те=О, когда У=О, а при х=0, р=р, когда г) О. Тогда, пользуясь решением указанной выше электротехнической задачи с) и табл.
1, получим: Х г( —,, р=о, (2.99) аа р р е с х с' Рсе- с. ае Ф (2.100) с с те Рое — суо(а ~УР— — ). (2.102) =о;) (2.108) *) См. первую сноску иа стр. Зй, а также, например, К арс л о у Х. и Е г е р Л., Операционные методы в прикладной математике, Изд-во иностр. литер., 1948 г. 1о, 1, — бесселевы функции нулевого и первого порядков первого рода от мнимого аргумента. х Для моментов г) — численные расчйты по этим формус лам, как видно, весьма сложны. Нам в дальнейшем потрех буются только значения в момент у= — — так называемые с головные аначення волны давления и скорости. Отметим то важнее обстоятельство, что головные значения скорости и давления, как видно из уравнения (2.100), связаны друг с другом согласно формуле Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
