И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ш. Нвкотовыв слУчАи нВУстАноВиВшзгося дВнжвния При а))и эту формулу можно еще упростить: явь ят и — р =а — т/ав — яз жа — /а ) р!— 2а) 2а ' "+, '*-"* + ° 2 д и а 1 ~ ат „т тогда 2Ч1 8 ий "ят(1 Ь) (3. 34) или 2а( — ) 1п, (3 35) й 2. Решение задачи о гидравлическом ударе вязкой жадкости в простом трубопроводе методом Фурье. Выше были приведены решения задачи о гидравлическом ударе вязкой жидкости, получаемые методом контурного интегрирования.
Более длинным путем те же решения могут быть получены, если решать задачу обычным методом разделения переменных Бернулли-Фурье. Исходные дифференциальные уравнения (2.1) имеют вид д Р'1дг + )' ! др дв дг дх' (3.36) Найдем решение втой системы при условиях (З.ЗТ) 1=0, тв=О, р= О, х О,р=О, х=1, чв=А=сопз1. (3.38) Исключая нз (3.36) давление, получим уравнение 2-го порядка откуда '-а — 'и иа(1 з) 1+ —, — + — . (3.33) гл. ш. нвкотовыв сличая нвтстановнвшвгося движвния 93 относительно скорости тв даю ды в даю — +2а — =сев дР дт два ' (3.39) которое надлежит проинтегрировать при условиях ш=О, — =О, ды (ЗАО) 1=0, х=О, — =О, дэ дх (3.41) х = 1, тв = А = сопв1. 1) будут Тогда граничные и начальные условия для У(х, иметь вид х= О Ф дх — =0 дУ (ЗАЗ) (3.44) х 1, У О, Ахт У(х, 1) дР— = О. дг 1=0, (ЗАЗ) Новая функция 1/(х, 1) удовлетворяет уравнению дЧ" д У да У 2А д, + 2адг с (р а+ ~з) (3.46) Ищем У= У(х, 1) в виде суммы двух функций $~ У(» 1) $~1(» 1)+ в(х 1) (3.47) Прежде всего сделаем граничные условия однородными, для чего введйм новую функцию )г(х, 1), свяванную с тв вависимостью ш — + У(»,1).
(3.42) 94 гл, ш. нвкотогыв слтчаи нвтстлиознвшагося движения которые удовлетворяют следующим условиям: дв1г, дК, двв; — '+ 2а — = св —, дФ+ д! дхз' Ахв д Ь'т д-о, ~,(х, О) = — —, — =О, 1=0, )~в(х, О)=О; — '=О, х=О, — =0; х= — Х; У~ О. д~; (ЗА8) (3.49) (3.50) (3.51) (3 62) (3 53) ~> Т„(1) в!п ~ в-з (3.64) Подставляя в дифференциальное уравнение (3.48), Т„+ 2а Т„+ ( 2 — ) -Т„О, получим: (3.55) откуда находим Т„: Т„(1) = е - е (С„сов Е„1+.0„в!и Е„В), (3.66) / (~л — ~~) (3.57) Согласно (3.54), Ъ', =е ас )~~(С„сов Е„!+ и 1 Г2л — 1 в (1 — х)! + й„в!п Е„а) в!п ~— (3.68) Очевидно, введйнные таким образом функции удовлетворяют всем условиям задачи. Применяя обычный метод разделения переменных, ищем сначала У, в виде, удовлетворяющем граничным условиям (3.60) Гл. ш.
некОтОРые случАи неустьнОВившВгося ДВижения 95 Постоянные Си и Ои находятся из начальных условий (3.49): — А1а — — ~~4~ Си з1п ~ 2 ~ (3.59) и (3.60) — аС„+ Еиа)„= О. Коэффициенты С„определяются обычным путам — разложением левой части уравнения (3.59) в ряд Фурье по синусам в интервале 0 в 25 Для упрощения обозначим = й, 0 ( х < 1, — > й ) О. (3.61) Тогда х = Г(1 — 2Т), и уравнение (3.59) можно записать в виде 2Т'Л ъч — А (1 — — ~ = — 7 Си В1п (2л — 1) Р. (3 62) и а Умножаем обе части равенства (3.62) на Е1п и Р и интегрируем по р в пределах от нуля до я.
При лафйл — 1 будут получаться нули, а при и =2л — 1 л 2т 'Л и — 1 (1 — — ) Н2 — ) И ЛЬР = — Си. о Выполняя интегрирование, после вычислений получим: с 4А / 8 и(2л — 1) ( ла(2л — 1)а~ ' ( ' ) УГВ (3.60) находим 1)и: а а 4А Г 8 — [1 — ". (3.64) Ц и аи и(2л — 1) ~ иа(2л — !)а~' 96 гл. нь нвкотогыв слгчаи нзгстановизшвгося движвння Таким образом, для У, имеем: У (х 1) = — — е-сс~м — ~1— — 2М2л я — г~(соз Е„4+ — з)п Е„1) з)п ~ (3.65) у = ~г~)~~ Н„(Г) з(п ~2л 1 (1 х) ~. (3 66 я=« Представим уравнение (ЗЛ1) для Уз в виде дгУг дрг я д'Уг 2Асг — г+2а — ' — сз — '= —.
дГг + дс дхг 1г Подставляя Уз из (3.66), получим: ОЭ Я~„"+2ауу„'+с'( ", —;) Н„) з)п~ "2 ',"'~=,г' . в 1 (3.67) Правую часть этого уравнения разложим в ряд Фурье по синусам аргумента Ен я(1 — х) . 21 имеем: 2Асг — = ~~~ ~ф, з(п (2л — 1) гс. йля Ц„ получим: 2Асг Г Я вЂ” ! з!п(2л — 1)уаг3 = — Ц„, о или 8Асг я (2л — 1) Сг (3.68) Переходим к определению функции К, которую и«цен в той же форме, что и У,: гл.
ик нвкотогыя слтчли нвгстлйовившвгося движения 97 или Н„+2аН„+( 2 1) [Н гэ 2п — 1)а ~ =О. (3.69) Интегрируем (3.69): Н„= в,+ е-"(Рп сов Еп1+ О„я1п ЕД, (3.70) где Е„определяется из формулы (3.57). Согласно (3.66), имеем теперь СО Уя(», 1) ~ [ „а+ е-е'(Рисов Е„1+ + О„юп Еп1)~ ьчп [ — ~. (3.71) Коэффициенты Р„и О„определяются из начальных условий (3.62) 32А „,.+Р„=О, ~ (3.72) — аР„+Е„О„=О, ) откуда 32А ) ва(2п — 1)а ' л = Е ва(2п 1)а. (3.73) Таким образом, 32А 32А а ( п1" + — з1пЕ„1)~ з1п [ (3.74) 7 зак. яма н.
л. чарнма. для Нп (Г) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение /2п — 1 ве',я 8Аеэ Н„+2аН„+( 2 1) Н„= 12п 98 гл. нь нвкотогыв слзчли нвзстлиовивпгвгося движения Теперь, согласно формулам (3.42), (3.47), (3.65) и (3.74) получаем для скорости тл! тв = †„ + Ь; (х, !) + К,(х, г) = Ахз ОЭ А.к~ 4А... ~~ 1 ~1 8 ~(,овЕ ! ) в=1 + а Е ) . ~2л — 1 з(! — х)~+ 32 А 32А + й ( зз(2л — 1)з з" (2л — 1)в (, л + л + — з!п Е„!)~ з1п ~ " в!и 2л — 1 з(! — х) ~ и ОО ~4 ! 2л 1 зз(2л 1)в з=1 +, 2 1 з)(сов ЕО!+ Е в!п Ел() в(п ~ 2л — 1 з(! — х)] Ахз 32А т 2 = "! в=1 ОО л 4А сов Ел! + Е з1п Елт 1 2л — 1 (! — х)ч — — е-Оз У вЂ” " 3!п~ — ~. (3.75) лам 2л — 1 2 ! л=1 Первую сумму в (3.75) можно, учитывая (3.61), (3.62) и (3.63), представить ещв таким образом: ОЭ вЂ” А(1 — — ) = т С в!и (2л — 1) з = 2ч'Р ич ) ~4 ч й=1 ОО ъ~ ! 32А 4А [ з(2 1)в (2 1)~ з!п (2л — 1) ~, л 1 гл.
ш. нвкотогыв случаи нвгстзновившвгося движания 99 откуда ОЭ СО ЛА у в!п(2п — 1) з ( 2р'!з 4А ~~ з!п(2в — !)з пв ~И (2п — 1)в Г, зв! и з'З 2п — 1 в=з в 1 2в11 Ахз (в = — А(1 — — 1 +А= — — +А, так как последняя сумма в интервале 0 с. 7 с, и равна А. Таким образом, согласно (3.75), Ахз Ахз те = — — — + !в !з 3 а 4А со свг'+ з з!паве Г2г — ! з(! — х) ! + А — — е-" в 24 2п — 1 2 в=1 'в сов!в!+ — в!п (вз А 4А ззччч " !в " . 12в — 1 в(! — х)~.
(3.76) в 1 Зная тв, теперь можно найти давление р в сечении х=! из уравнений (3.36): (Р)в=з = (Я з — Р / ( д — + 2ате) звх. (3.77) в Подставляя в (3.77) значение те из (3.76), получим: (!в+ —,) в(п !вв в=з — +2атп = 2аА+ две дт 2 в )ОО гл. ш. нвкотогыв слачли нвкствновившвгося двн)квнйя '"' ń— — 1в1п Šà — 2а сов Е Г („ в ьм' 2л — 1 и л 'е (2л 1) 2 4рсА ( ń— Е— )в1п Елг — 2а сов Елв 2ар1А+ ~ е-" ч' л (2л — 1) )7 Ел+аз СО 2 1А + 4геА вв чьч ащ (Еле 26л) в ~Й (2л — 1) сов 6„' и=в где 136 = — ".
Ел' Учитывая, что по условию (р) о = О, согласно формуле (3.77), получаем: л 1 Формула (3.78) совпадает с ранее выведенной другим путам формулой (3.3), в которой следует положить тев = — А. Таким образом, вообще говоря, можно получить решения ряда других задач неустановившегося движения. Однако техническая сложность и громоздкость классического метода заставляют отдать предпочтение другим методам, позволяющим быстрее получить результат, †мето контурного интегрирования или операционному. $ 3. Распространение скачка давления в простом трубопроводе. Рассмотрим теперь задачу о распространении импульса давления в трубопроводе.
Пусть в сечении х = О произошло мгновенное изменение давления. Сечение х 1 закрыто, и там скорость равна нулю. Требуется определить изменение давления в сечении х 1 у закрытого конца. Такая задача встречается при расчйте гидравлических регуляторов или передач, снабжанных трубопроводом, заполнен- гл. ш. някотогыя слтчьи нзтсглновившзгося двнжзния 101 ным вязкой жидкостью.
Сечение х= О сообщено с источни- ком давления, а сечение х = 1 в с каким-либо прибором, например, регулятором расхода, регулятором давления и т. п., действие которого начинается только тогда, когда давление достягнет определенной величины, зависящей от конструкции н чувствительности прибора. Если трубопровод достаточно длинен, запаздывание импульса и характер нарастания давления могут представить практический интерес е). Эта задача эквивалентна задаче о распространении скачка напряжения, приложенного к одному концу электрической линии, другой конец которой изолирован.
Решение этой задачи дано во многих руководствах и монографиях по электротех- нике, либо в виде ряда волн, каждая из которых заключает интеграл (2.105) от бесселевой функции мнимого аргумента первого рода, который приходится вычислять приближенно, как делает, например, В. И. Коваленков *в), либо в виде плохо сходящихся бесконечных тригонометрических рядов.
Мы по- лучим решение задачи из общих формул П главы и улучшим сходимость получаемых бесконечных рядов, подобно тому как было сделано выше в задаче о гидравлическом ударе. Обратимся к формуле (2.69), в которой положим А =О (отсутствие скорости в сечении х = 1), Р = 0 (отсутствие камеры), В =-р . Тогда, согласно (2.34): соз»ув — — 0» »7е = я, ип ув —— ( — 1)е-'. (3.79) Формула (2.69) при этих условиях принимает вид »а (р) „1 — — р — — е-а т 4иб 2рв 1 %ч соз (1ве — ав) а а1 е 4 ( — 1)в »»М е 1 =ро+ Рве- ' у ( 1)в соз($вг Ов)= а1 еив 1е в 1 4 1 \~ ( — 1) сов (1ее — Зе) = ро+ рве- ' ~ — ' *, (3.30) *) Чарный И.
А., О времени устанавлнваняя стационарной кривой давления прн регулировании расхода в газопроводе, Изв. ОТН АН СССР, № 5 — 6, 1942 г, в*) См. сноску на стр. 27, гл. ш. нвкотовыв слтчли нвтстлновившегося движвния 103 При 2л) е) л, со)ласке 2.90, вместо (3.80) получим: (р) 1 — — ро — — ров "' —,в)11,1+с)11~1) + и 1 У [л12в — 1)~ При а=0, когда вязкостью пренебрегаем, формула (3.80) принимает вид (р),=р,+ — "'1 ( — 1)' ', ' (3.84) или, согласно формуле (3.10)„ (р) г=ре [1+ ~~)' ( 1) ~ (385) в 1 Нетрудно видеть, что сумма, стоящая в (3.85), представляет разложение по косинусам разрывной функции (3.86) Проще всего это показать следующим образом: воспользуемся разложением (3. 21) 4 ув)п(2в — 1)лл ~ 1, 0<в(1, 2<т(3,... 13.87) % — > 1 — 1, 1( (2, 3( <4,...' СО 4 'У,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
