И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 13
Текст из файла (страница 13)
)в сов(2в — 1) лл В=1 1 1 — 1 — —,(т( —, э 2 2' 1 3 1 — ( 1( —, 2 2' 3 5 -<в<в 2 2 "' 5 7 — <т< —, 2 2"' 104 гл. Н1. ИВНОТОРые случАи неустАнОВиВшегося дВижения Разложение (3.86) представим в таком виде СО 4 кч в сов(2г — 1)ив ,т ( — 1) и 2г — 1 в 1 е!п [(2с — 1) и (в — — )~ 4 ~~~~~ 2 (3.88) в 1 0<1< —, с' 1 31 — <1< —, с с ' И 51 — <1<— с с ' О ( т ( у 1 1 3 — (т< —, 2 2' 3 5 — « ° 2 ' 2' (р),-о, (Р) =1 =2ро (р),,=о, (3.89) 1 3 ! 31 Удвоение давления в интервале — (т ( — — (1(— 2 2' с с происходит по вполне ясной причине: скачок давления ро распространяется по трубопроводу со скоростью с и одновременно жидкость на участке, пройденном скачком, приходит в движение. Дойдя к закрытому концу х = 7, скачок давление повышает сам по себе у закрытого конца давление на величину ро, кроме того, от остановки пришедшего в движение столба жидкости давление повышается вследствие гидравличев ского удара на такую же величину.
При афо ряд (3.80) сходится плохо. Его сходимость можно улучшить таким же способом, как было сделано в зав Сопоставляя правые части формул (3.87) и (3.88), убеждаемся в правильности разложения (3.86). Нетрудно видеть, что из волновой формы (2.98) получается тот же реаультат. Согласно (3.85) и (3.86), находим (р) гл. ш. нвкотогыв слзчаи назстановившвгося движвния 106 даче о гидравлическом ударе вязкой жидкости. Возьмем ряды (3.86) и (3.80) и представим ряд (3.80) в виде (Р) ' 1 — Ь(т а)= Ре 1) С05 (!вв в Вв) ~ а(25 — 1)] в 1 где, согласно предыдущему, т, а, (5„6, определены формулами (3.10) — (3.16).
Тогда ряд (3.90) можно представить еща так: ,')', ( — 1) 1в с05 (!вва Вв) (25 — 1) соз О, е 1 1 в 1 сов(!вве — О,) соз [(25 — 1) ав] ~+ (25 — 1) с05 Вв 1 в[ 25 — 1 е 1)в СО5 [(25 — 1) ка] 25 — 1 в 1 Последняя сумма вычисляется точно согласно формуле (3.86). Можно еще более усилить сходимость ряда, выделив суммируемые части, как было сделано выше в 9 1 настоящей главы. Согласно (3.24) — (3.27), общий член ряда можно представить в виде С05 Ьвс — Вв) С05 !вес ! 51П !вев (25 — 1)созе, 25 — 1 + 25 — 1 ве ' 1 —— 2 соз [(25 — 1) яв] вае яп [(25 — 1) ее] 25 — 1 2 25 — 1 + ~ 5!и [(2з — 1) яв] вав соз [(25 — 1) ав] ] / 1, ее'! 25 — 1 «ев ] соз [(25 — 1)аа] + 25' (25 — Ц~ ] + а ( + ас'! 5!п[(25 — 1)ае] я ~ 2/ (25 — Ц' !О6 гл.
ш. нккотогык слтчли нкгстлновнвшкгося движкния Тогда получим: О )«соя (и з — 8„) (2з — ц сов 0« «=1 1)« /соз (!«вз 8«) [ 1 аз« 1 соз [(2з — ц яз[ / [(2з — Ц соз 8«[ 2зз (2з Цз/ 2з в я (1 ! «з'! а!и [(2з — цяз[ ~ 2 ! (2з — Цз "~д 1)в соз [(2з — цлз[ + «Г( 2з — 1 «=1 «(1+ * ) ) ( ) з!я [(2з-ц «1 — — — 1) "'""-Ц "[. (3.92) 2яз л,'Ы ( (2« цз в=« Предпоследняя сумма правой части (3.92) вычисляется точно: яз 1 1 — — т — — с,тс,— (3.93) — — (1 — т) — с.т(— 4 2 2' СО з ( 1)«ззя [(йв — ц яз[ (2 — 1Р «1 ззГ з 1 — ( — — -!.
— -<т( —, 4(2 8!' 2 2' з«У зз 31 1 3 4~ 2 8)' 2 2' яз Гзз 151 3 5 1 — — 2'г+ — /, — ( т ( —, 4 [,2 8)' 2 2 (3.94) причйм далее продолжается периодически с периодом с =9. 1 1 Интегрируя по т в пределах от т = — — до т, т= — .до т, 3 2 т = — до т,... последнее равенство, получим выражение для последней суммы правой части (3.92) )« соз [(2з — Ц зз[ (2з — Ц' «=! гл. ш. -нвнотовыв алтчьн -нвтотаневившвгося движения 107 По этим формулам можно без особых затруднений вычислить 8(т, а), так как сходимость основного ряда будет 1 выше порядка — „.. Когда.а), к, т) 1, можно ограничиться первым членом в ряде (3.83): 8 (т, и) — 1 — — е "'( —, зй н'т+ ей р'т1 1'( г~~ р т — я т~, 4 „( а е' — е '+е'+е я ~ь Уча — яа 2 2 — (а — и м, а —— 2а 2ч 4 т — 1и (3.96) На фиг.
12 — 16 показаны кривые 3(т, а), вычисленные по формуле (3.90) М. Л. Бурштейн с помощью улучшенных выше рядов для а= 0; 0,25; 1; я; 5. Затухающий характер нарастания давления при большой величине я ягназывает, что силы инерции в этом случае могут быть отброшены, как малые, по сравнению с силами сопротивлений. Дифференциальные уравнения движения- при этом переходят в уравнения теплопроводности. В следующем параграфе этот случай рассмотрен более подробно. Располагая опытными данными о зависимости 3 = 8(т, а), можно построить в логарифмических координатах график зависимости (3.96).
Из:этой зависимоати по прямолинейному участку графика можно будет найти Ы. Нетрудно видеть, что рассмотренная выше задача о распространении скачка давления математически. эквивалентна задаче о гидравлическом ударе, когда в одном из сечений давление постоянно: действительно, при,'распросйранении скачка давления мы, в сущности, ищем решейие уравнения дзр - др в дар — + 2Ь вЂ” = св —.
дтз де дяй при условиях р = О, — = О, г ( 0; р =ре = сопз1, х = 1(, др 1оя гл. но нвкотоьыв сльчлн неьстлновнвшвгося двнжвння аа чя ва аа аа 1а у 49 1а я Фвг. 12. 4х аа 4а аа аг аа аа 1а и айаг Фнг. 1Э. 1'л. 16. ивиотаые слячли неьсгииовившегося движения !Ой в а е бк ~ю и и я и ю щ г Фиг. 14. Ю Ф дю ~ф а а гк а а и и и и И а т Фиг. 15. Ю ДЛИггбивГ Ц ИИа Ит Фиг. 16. 110 „. ш. нвкотоеыв слтчлн нзгетлновнвшзгося движання 5 4. Неустановившееся движение в длинном трубопроводе с большим затуханием.
Предположим, что а)~я, т. е. длина настолько велика, что потеря давления от трения в несколько раз больше удар; ного давления по формуле Н. Е. Жуковскогог Тогда уравнения движения '(1.27), в которых отбрасываем инерционный член, будут иметь вид — — = 2артв др дк — — = с — „(рте). др д дг дк (3.97) Это есть система уравнений параболического типа, сводящаяся к уравнениям теплопроводности д (рге) дз (ям) — =х дг дха (3.98) др ..дар дГ дхз ' (3.99) где .сю х 2а ' (3. 100) Решим зти уравнения для случая распространения скачка давления при условиях х=О, х=у, 1=0, Р =Ро ш= 0 —..= О.
др дх (3.101) Р= О. Р = О, х = 1. Но зти условия и уравнение совпадают с ураз- др пениями (3.39), (3.40) и (3.41) для случая гидравлического удара. Таким образом, графики "фнг. 12 — 16.,3(т, з) одно; временно дают закон относительного-изменения расхода в сече- нии х= 0 в случае гидравлического улара. гл. ш.
нвкотогыв слтчли нвтстлновившвгося двнжвння 111 Чтобы свести зту задачу к задачам уже решенным, рассмотрим ту же зздачу со следующими граничными условиями: Р -Ро Р=ро р=о, х=0, х= 21, 1=0, (3.102) т. е. мысленно удвоим длину трубы и в сечениях х= О и х=21 создадим скачки давления р=ро (фнг. 5). Тогда в середине воображаемой удвоенной трубы в силу симметрии скорость равна нулю, и условия (3.101) выполняются. Решение задачи имеет вид*) аа в'д*С 2 %ч Ро(совки — !) вкх Р =Ро+ к я~а и з!и — е 21 в=о (2и — 1 кх') з!и ( — (яв — ~Нам 4 ~ 2 1 / — х = Ро Ро ~~~а~ 2 ! е и' (3.103) в=г или, замечая, что акет ся кзе кза 4!з 2е 4Р 2а е2и — 1 ах~ 4 (, 2 1 Ов М' Р = Ро — —, Ро,~~„'2„1 е (3.104) в 1 2а При т) —, в (3.104) можно ограничиться первым членом.
В сечении х = 1 получим: (Р) ! 4 — 3 ! е за Ро что совпадает с (3.93). Таким образом, в достаточно длинных трубопроводах при 2а а)~к и т)~ — неустановившееся движение можно рассмакз тривать, пренебрегая инерционным членом — (рте), и нсходнть из уравнений теплопроводности (3.98) или (3.99). а) К а р с л о у Х., Теория теплопрозодвости, ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.
112 гл. ш. нвкоторыв слтчаи нвустлновившвгься движвния $6. Неустановившееся движение газа в длинном газопроводе. дл Хрв' дх 8З др д (рв) дг дх (3.106) Эти уравнения при ламинарном и турбулентном режимах можно представить еще так: при ламинарном [см. (1.32)1 (3.106) а при турбулентном (3.107) Усредняя множитель аналогично способу, наложенному Лры в $6 гл.
1, мы можем объединить случаи ламинарного и турбулентного режима одной парой уравнений др рв д» др д (рв) (3. 108) дг дх где коэффициент д имеет значения: для ламинарного режима (3.109) Выше мы рассматривали уравнения, в которых квадратичный член был линеаризован по одному из способов, изложенных в $ 6 гл. 1. Для магистральных газопроводов можно поступить еще таким образом. Уравнения движения газа в длинном газопроводе при отбрасывании инерционного члена имеют вид [см.
(1.62)1 114 гл. ш. нзкотовые случАи неустановизшегося дВижения Эти уравнения образуют линейную систему, когда ЕР— = сопз1. па Посмотрим, насколько искажается уравнение состояния, если положить йР— = сопз1 = ~п. пр (3.114) Из (3.111) получим: ЛР ЛР— =Р— =Уй аар ьа откуда аа Р Ре Р зе Р Ра Р = Рее (3.115) Р Ра Р= ррее ~ (3. 116) где постоянные т и р определены равенствами Р +Ре) Р1 2 Ръ — Ре Ре' Р1 — Ро 1в— а'а Ре ") Заметим, что уравнение состояния реальные газов приближается к виду формулы (3.115) ближе, чем к уравнеиию прямой, Таким образом, условие — „=сопз1 означает замену уравне- ЕР ЛА ния состояния Войля-Мариотта вкспоиенциальной функцией (3.115), что является допустимым даже для довольно значительных диапазонов изменения давления *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
