И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Е. Жуковского р = срте. Для давления, меняющегося в сечении х=0 по закону 9(г), у(г)=0 при У~~О, вместо формул (2.99) — (2.102) получим более общие формулы: прит"— е 14 Гл и, интеГРНРОВАниВ УРАВнении неУСТАноВЕВШ. дВижениЯ Х прн г)— С аа гс(а,/те.е) р=ср(т — — 1в с+ах ср(с — т)в-а',—, ' лет, (2.104) С/ С ае се а вв (ср(г )в с+ е асгс(В,/-,е .,) ср (Š— с) в-а' ~/-- Хе се — а7о (а ~Гта — —,)~ Ест ). (2.105) $9. Давления и скорости на фронте упругой волны, распространяющейся внутри сжимаемой жидкости в трубопроводе.
Головине значения волн давления и скорости р е ' и ~а в-ае, согласно уравнениям (2.100), могут быть найдены из РС элементарных соображений даже при нелинейном трении, Предположим, что вначале движение было установившимся и какое-либо скачкообразное возмущение скорости и давления начало распространяться в трубопроводе. Как и выше, будем считать давление равномерно распределйнным в поперечных сечениях трубы. Величины, относящиеся к начальному установившемуся движению, будем обозначать индексом «О».
Пусть возмущение достигло'сечения х (фронт волны) и за время ссГ распространилось на длину сстс, где с в скорость фронта волны. Рассмотрим приращение количества движения массы жидкости, захваченной возмущением за это время сес. Масса жидкости, захваченная возмущением, равна ср1сес, где р †плотнос. При этом мы предполагаем, что скоростью гл. и. интвггивовлнив гвлвнвний нвгстлновивш. днижвния 75 частиц жидкости можно пренебречь по сравнению со скоростью с. Приращение проекции количества движения на ось трубы за это время равно Ы= рой / (в — по) 4= ср сИ(га†шо)У, (2.106) бв где и, по — продольные скорости элемента плошади Н~ после и до возмущения, тс, шо — средние з сечении скорости после и до возмущения, Приравнивая Ы проекции импульса сил, получим: рс И(тс — тво)У = (р — ро) ~ г7С вЂ” тус г)С ° М, (2.107) где Р, Ро — давлениЯ после н до зозмУшениЯ, т — сРеднее по периметру у за время г1г касательное напряжение на стенке трубы вдоль длины сШ Из уравнения (2.107) видно, что импульс сил тренич является бесконечно малой второго порядка и может быть отброшен по сравнению с импульсом сил давления.
Отсюда получаем вновь формулу Н. Е. Жуковского Р— Ро = Рс (ш — тсо) (2.108) справедливую, таким образом, для дозвуковых скоростей течения при любом законе трения. При этом следует отметить, что полученная формула содержит только средние в сечениях скорости гс, п~,>.
Независимость ударного давления от распределения скоростей будет более подробно обсуждена в $ 1 гл. 111. Мы установили, таким образом, правильность формулы Н. Е. Жуковского (2.108) для каждого сечения, в котором после' воз.- мущения средняя скорость изменилась на величину и†шо. рассмотрим теперь более подробно процесс прохождения фронтом возмущения пути сШ. В начальный момент на фронте возникло ударное давление ср(гс — тво). Когда фронт пройдйт расстояние с лг, вследствие снл трения ударное давление на фронте снизится на величину †с4(ртс). Приравнивая уменьшение продольной ударной силы избытку сил трения над их стационарным значением, получим: — сс1 (Ртв)У= (т то) ус бС ° —. (2.109) 1 2' 76 гл.
и. интвггигованив твлвнвний нвтстлновивш. движения или — сс1 (рте) = — (Лртав — Л,р тее) г(х, 1 где 8 = †. †гидравлическ радиус, у Их = с Ж (2.110) (2.111) Уравнение (2.110) является исходным для нахождения значений скорости и давления на распространяющемся фронте возмущения. Ограничимся рассмотрением случая капельной жидкости, когда плотность р можно считать постоянной.
Тогда уравнение (2.110) принимает вид Ло'эо — сс1тэ =. 16$ Ых. (2.112) Если положить 64 64ч в 64че — — Леев= — ' 8 =— й еФ' я' ' 4' то при линейном законе трения для круглой трубы диаметра И вместо (2.112) получим 64ч 16ч — с 1тэ = — (ш — тео) с(х = — (та — тле) '1х (2 113) — о — ла Или, учитывая (1.26)1 — с~йэ= а(те — тле) Их. (2.114) Для квадратичного закона трения полагаем Л=сонз1 и из уравнения (2.112) будем иметь: ~йэ Л Фх — с мо В уравнении (2.109) т — касательное напряжение до возмущения при стационарном движении, т †пос возмущения.
Множитель 1~2 введян потому, что избыточная сила трения на длине сЖ нарастает по линейному закону от нуля до значения (т — т )усЖ и ев среднее значение на этой длине в два раза меньше конечного значения. Выражая т по формуле — Лртев, получим из формулы (2.109): 1 в а — Ы(рте).= — (Лр ' — Л,р, 3) а— гл. и. интвгзиговлнив твавнвний нзтстановивш. движвния 77 откуда после интегрирования получим: )я (»с 4- М (»с! — еи) ~.» ы« (»а — »со)(мд+в!о) 8Ь с ' (2. 115) где »а! — значение скорости в сечении х = О, в месте возмущения. Из (2.115) получим для избыточной скорости »с — тео: д««ь (~! и«) с 2('д +) ( ) р — ро — — ср (тд — »се). (2.117) При линейном законе трения из формулы (2.114) «« »д — »ео = (тв! — »до) с с, (2.1 18) »с! ХЯ/д !бас (2.119) р = срте. То же самое получается из (2.112) при »со=О.
Случай газа может быть также принципиально исследован, исходя из основного уравнения (2.110), к которому должны быть добавлены уравнения сохранения массы, состояния и уравнения, выражающие первое и второе начало термодинамики в применении к элементу, захваченному возмущением за время ддг, как обычно делается в теории ударных волн. Эту задачу мы не будем рассматривать. что совпадает с «головными» значениями скорости в формуле (2.100).
При квадратичном законе трения 1=сопя( и те = 0 из (2.115) после раскрытия неопределйнности получим: ГЛАВ А 111. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДАХ. 5 1. Гидравлический удар вязкой жидкости в простом трубопроводе "). При решении дифференциальных уравнений неустановившегося движения отсчйты скоростей и давлений производились от соответствующих стационарных значений этих величин, существовавших в момент времени 1= О. Поэтому гидравлический удар, т. е. внезапное закрытие задвижки в каком-либо сечении трубопровода, в котором скорость жидкости была равна те, можно рассматривать как наложение потока со скоростью — тэ в том же сечении на первоначальный стационарный. Ввиду большого интереса этой задачи мы приведем ей решение двумя способами: первым — из общих формул гл.
П, где гидравлический удар может рассматриваться как частный случай, и вторым †б контурного интегрирования, следуя изложению акад. А. Н. Крылова при решении задачи о распространении электрического тока вдоль кабеля с распределйнными постоянными емкостью и омическим сопротивлением **). Пусть жидкость движется в трубопроводе длиной 1, причем в сечении х = О давление постоянно. В сечении х = 1 происходит мгновенное закрытие задвижки. Найдйм повышение давления у задвижки в последующие моменты времени.
ь) Ч а р н ы й И. А., см. сноску на стр. 38. **) Кр ы л о в А. Н,, см. сноску на стр, 37. гл. ш. нзкотовыв слгчаи нвэстановившвгося движвния 79 Решение этой задачи является частным случаем решения, выражаемого формулой (2.69), в которой следует положить В = О, р = О, так как камера отсутствует, А = — тсо, где тсо †скорос у задвижки до удара при стационарном движении. Из формулы (2.69), где полагаем х=1, получаем: СО р=2ар)тео+2рсчсое ш ~~ ' в . (3.1) в 1 Согласно (2.34), (2.48) и (2.63), когда Р = О, будем иметь: 25 — 1 \ соз Р,=О; ~Р,= я,в=1, 2, (3.2) Тогда формула (3.1) примет внд р =. 2аР)тс + 2 ротс е- е — 1 2 жч в1а(в е — 24) о в 24 (25 — 1)сова, = в 1 = 2аР)тсо + Рстсое 7~ (25 1) О (3 3) 4 „в 'Кт в!и (1вс — 205) (25 — 1) сов Ов в=1 Заметим, что при а = Π— случае идеальной жидкости — уравнение (3.3) переходит в классическую формулу Н. Е.
Жуковского 2г — 1 все 51П вЂ”вЂ” р = — Рстсо ~~~)~ 25 1 (3.4) в=в Бесконечный ряд, стоящий в правой части этого равенства, является рззложением в ряд Фурье функции 21 р = Россо в интервале 0 ( 1 ( †, с' 41 (3 3) Р = — Реп~о в интеРвале — (1( —. с с' 80 Гл. И1. Иекотовые слУчАи ИВУстАнОВиВшегосЯ ДВижениЯ Для недлинных трубопроводов и не очень вязких жидкостей ГВС1З величина ав будет очень мала по сравнению с ~ — ) . Тогда в ~21) ' формуле (3.2) приближйнно можно положить 28 — 1 вс 1, —, 8„0. При этом ряды в формулах (3.3) и (3.4) будут отличаться только экспонентом е ", а для начального момента времени ударное повышение давления в случаях вязкой и идеальной жидкости оказывается одинаковым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
