И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 5
Текст из файла (страница 5)
п.). На другом конце трубопровода предполагается известным давление в функции от времени. В частности, это давление может быть и постоянным, например атмосферныи. Для этого рода задач граничные условия могут быть сформулированы в таком виде я=О, р=~у(1), ~ х = 1, те+ Ь вЂ” =у(~), ) (1.63) $8. Граничные условия при движении жидкости в трубопроводе с камерой, служащей для уменьшения колебаний давления. Как уже указывалось, у агрегата, создающего или регулирующего расход жидкости и присоединенного к одному концу трубопровода, устанавливается обычно камера, имеющая своим назначением уменьшать колебания давления.
Мы будем рассматривать движение жидкости в трубопроводе с 3 типами камер: 1) воздушный колпак, устанавливаемый обычно у поршневых насосов, а за последнее время часто и у центробежных. 2) Уравнительная башня (призматическая), устанавливаемая в конце напорного трубопровода перед турбиной гидростанции. 3) Рвсиввр (буферный резервуар), устанавливаемый у поршневого компрессора, перекачивающего газ. где е (1), у (г) — известные функции, Ь вЂ” положительная постоянная, характеризующая тип камеры, если таковая имеется.
При отсутствии камеры Ь =О. Значения Ь для разных видов камер будут указаны ниже при рассмотрении конкретных задач. Так как мы условились под р и щ подразумевать их избыточные значения над стационарными, существовавшими при 1~0, Т®=0 и У(1)= 0 для 1(0. Таким образом, уравнения (1.61) должны быть проинтегрированы при начальных условиях (1.62) и граничных условиях (1.63). 32 гл. и диеевввнцилльиыв мвавнвния и гвлничныв головня Начало координат помещаем у конца трубопровода, где поддерживается известное давление.
Тогда при х=О: р=~р(1) †перв граничное условие. Второе граничное условие при х = 1 — у агрегата †получим из баланса расхода жидкости, втекающей и вытекающей из камеры, Заметим, что при выбранном направлении оси х положительными будут скорости и расходы, направленные от открытого конца трубопровода к агрегату и, наоборот, отрицательными в от агрегата к открытому концу. Выведем второе граничное условие для вышеуказанных трйх типов камер. 1.
Воздушный коллон. Пусть 1ге, ро†средние объем и абсолютное давление воздуха в колйаке и у обозначает увеличение объема жидкости (или уменьшение объйма воздуха) в колпаке. Прирост объема жидкости в колпаке в единицу времени есть (1.64) где у' †площа поперечного сечения трубопровода, (1ьго) „,— расход жидкости, втекшей в колпак, Я вЂ расх жидкости, вытекшей из колпака. Расход Я создаатся или регулируется агрегатом н является известной функцией врем ни Я= 11(1).
С другой стороны, предполагая, что воздух сжимается изотермически, получим: Ромо=Р(мо У)» откуда Ро ме "'о — У или, так как в нормально работающем колпаке у мало по сравнению с )гр (!.65) Из (1.65) и (1.61): ау а'о др КУо ~~~ дг ро дФ ро дх' (1.66) Подставляя в (1.64), получим второе граничное условие: х= 1, то+ —— К ро дав 0 (11 рьР дх (1.67) 2. Уравнительная башня. Прирост объама жидкости в башне в единицу времени есть ау=а ) = — Я(1) (1.68) где Я(1) — известный расход. Повышение уровня жидкости в башне равно у р' где Р— площадь поперечного сечения башни.
Соответствующее повышение давления: Ро=7 =7 р. у Отсюда вр Рдр и из (1.68) и (1.61) получаем второе условие в виде х =1, тв+ — — — = рК диа 0(г) Утдх г (1.69) 3. Ресивер поршневого компрессора. За время Ж в ресивер поступает масса газа рутоЖ, а забирается компрессором: РАЕЮ, где ае — заданный объамный расход. Увеличение плотности газа в ресивере равно РУш — РО вва 5~ 3 Заа. 25!В. И, А.
Чарава гл, ь див ьвРенциАльныв УРАВнениЯ и ГРАничныв УслОВиЯ 33 34 гл. ь диеевввнциьльныв гвавнвния и гвлничныв головня (1.72) (1.74) 9 9. Учйт совместного аффекта упругости воздуха, сжимаемости жидкости в колпаке и упругости стенок колпака. Представляет интерес исследование явлений, происходящих при весьма малом количестве воздуха в колпаке или при полном отсутствии воздуха.
Опыты показывают, что колпак больших размеров, почти лишенный воздуха, все же способен до некоторой степени уменьшать колебания давления. где 1о — объвм ресивера, илн др 5ге — О (1. 70) д! Рч Из (1.70), (1.29) и уравнения неразрывности (1.40) получаем: д 1п р (Уи) ~ — О (г) дв )го дх ' откуда находим второе граничное условие в виде х= 1, те+ — — = —. "'о дм О(0 Удх У Уравнения (1.67), (1.69) и (1.71) являются частными слу- чаями второго уравнения (1.63), в котором 7(1) = —, О (г) Я (г) — заданный расход, 7 — плошадь поперечного сечения трубы, причем: для воздушного колпака (1.73) для уравнительной башни й= — —, РК 71' для ресивера компрессора )'ч у' (1.75) Везде расход Я (г) отсчитывается от стационарного расхода, соответствующего моментам времени г ( 0 и г" (г) = — — нв- О (г) у вестная функция времени, равная нулю для г ( О. гл.
и диеевгвнцилльныв явлвнвния н гвлничныв головня Зб Исследование этого случая важно, в частности, для работы грязевых насосов высокого давления, применяемых в бурении, которые не всегда снабжены компрессорными установками для питания воздушных колпаков воздухом. Выше учитывалась упругость жидкости только в трубопроводе. Упругостью жидкости в самом колпаке мы пренебрегали, полагая, как обычно, что избыток жидкости, поступающей в колпак, целиком расходуется на сжатие воздуха. На самом же деле правильнее считать, что избыток жидкости, поступаюшей в колпак, расходуется, с одной стороны, на сжатие воздуха, с другой,— на сжатие жидкости в самом колпаке и на растяжение стенок колпака.
Последние два фактора могут быть объединены путам введения кажушегося модуля объемного сжатия жидкости К', учитывающего упругость стенок колпака так же, как это делается для труб. Пусть полное увеличение объема жидкости в колпаке за время пг равно Фу, а повышение давления г1Р.
Средние объемы воздуха н жидкости обозначены через У„К„. Очевидно, Иу складывается из двух частей: 1) увеличения обыма Иу„которое происходило бы без учета сжатия жидкости в самом колпаке; согласно (1.65) 1', г(У~ = ир Ро 2) увеличения объема иуя, происходящего от совместного дей- ствия сжимаемости жидкости и упругости стенок колпака '~уя=у к . Тогда и, согласно второму уравнению (1.61), ЛУ 1г, Ь",„дР РБ Р . дв где К вЂ” модуль объемного сжатия жидкости в упругом трубо- проводе. 36 гл.
н диеевгвнцилльныв твлвнвния и гвлничньш головня Последнее уравнение можно представить еше так: Ув(1 1 ~ф У)> т. е. объем воздуха как бы увеличивается. Уравнение (1.76) можно преобразовать еще так: Иу К КУ, де Во многих случаях можно считать КжК'. Сравнивая формулы (1.77) и (1.66), видим, что в этом случае следует заменить объем воздуха Уо — — У, через 7'(.-'+ —,", .) Постоянная Ь определяется формулой й — (У+ — У ) (1.77) (1.78) ду КУв~ де У ~д~ (1.76) до 1 и что отличается множителем 1+ —,— от правой части фор- К' У, мулы (1.66). Таким образом, в предыдуших формулах для воздушных колпаков вместо объйма воздуха Уо= У, следует подставить значение ГЛАВ А 11.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ИЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДАХ С БУФЕРНОЙ КАМЕРОЙ И БЕЗ НЕЕ. ф 1. О методах интегрирования. Телеграфные уравнения (1.61) принадлежат к числу хо. рошо изученных линейных уравнений математической физики и методам их интегрирования посвящена обширная литература. Они рассматриваются во множестве руководств по акустике, электротехнике, гидродинамике и т.
д., а также в любом современном курсе математической физики *). Ряд работ посвящен методам интегрирования, являющимся модификациями классического метода Фурье-Бернулли — разделения переменных, когда вначале определяются частные решения и общее решение находится суммированием частных решений таким образом, чтобы удовлетворялись начальные и граничные условия. Хотя этот метод *") является несколько громоздким, он позволяет сравнительно простым образом получить решение в тех случаях, когда система фундаментальных функций, из которых составляется общее решение, ортогональна, что, в свою очередь, зависит от характера граничных условий.
Если же система фундаментальных функций оказывается неортогональной, то решение весьма усложняется з) Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 111, ГТТИ, 1931 г., т. 1Ч, ГТТИ, 1941 г. К ов ал сиков В. И., сноска на стр. 27. К р ы лов А. Н., 0 некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах, Изд-во АН СССР, 1933 г. **) См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
