И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поэтому в настоящей работе, преследующей главным образом практические цели, рассмотрены задачи движения с дозвуковой скоростью при линейном или линеаризованном законе трения. При этом используется обычный математический аппарат линейных уравнений, позволяющий применить принцип суперпозиции и получить аналитическое решение в замкнутой форме с отделением свободных и вынужденных колебаний. Предполагается, что трубопровод достаточно длинный и что изменением скоростного напора по длине и даже самим скоростным напором можно пренебречь.
При этом оказывается возможным вести расчйты неустановившегося движения по средним в сечении скоростям. Лгнеаризованные дифференциальные уравнения неустановившегося движения с дозвуковой скоростью совпадают с известными «телеграфными» уравнениями распространения электрического тока вдоль кабеля с распределенными постоянными — ймкостью, самоиндукцией и омическим сопротивлением.
Это позволяет использовать ряд решений, полученных электриками, для наших задач. Все рассмотренные в настоящей книге задачи могут быть решены операц'онным методом. Однако в целях наибольшей доступности и псчледоьательности изложения, автор предпочел пользоваться методом контурного интегрирования в плоскости комплексной частоты в, исходя из обычного, хорошо известного решения для «вынужденных» колебаний в форме бегущей волны е'1"'-а >.
Поскольку при решении операционным методом вся равно пришлось бы прибегнуть к формуле обра- ники сплошной среды, Москва, 1938 г. Приложения метода характеристик .к задачам гидравлического удара даны в работах Н. Т. М е л е щ е и к о (Изв. Научно-исса. ин-та Гидротехники, № 29, 1941) и К. Г. А с а тур а, Гидрзвзический удар в трубопроводах с диаметром и толщиной стенки, непрерывно меняющимися по ллине, Изв.
Акад. наук Армянской ОСР, т. П1, № 4, 1950 г., а также в указанной выше книге М. А. Мосткова: Основы теории гидроэнергетического проектирования. пРедислОВие щения Римана-Меллина и окончательный результат находить с помощью вычетов, оба метода практически эквивалентны. Разница только в том, что обычно в операционном методе а интегрирование совершается в плоскости оператора — р д~ по прямой, параллельной мнимой оси, лежащей в правой полуплоскости.
Здесь же интегрирование выполняется в плоскости комплексной частоты м по прямой, лежаШей в нижней полуплоскости и параллельной действительной оси. Настояшая работа не является систематическим руководством по теории напорного неустановившегося движения. Она посвящена изложению круга задач, которые до сего времени оставались недостаточно освещенными. В ней обобщены исследования автора, связанные с практическими задачами и частично опубликованные ранее в периодической печати. Основное внимание уделено задачам одномерного неустановившегося движения в трубах, когда в качестве граничных условий фигурируют расходы, напоры или их линейная комбинация, полагаемые известными функциями времени.
Случаи, когда на концах трубопровода установлены агрегаты с заданными характеристиками Я вЂ” Н или с заданной мощностью, в работе почти не рассматриваются. Эти задачи, если иметь в виду учЕт вязкости и сжимаемости жидкости, ешли не имеют достаточно эффективного решения. Метод характеристик, которым они принципиально могут быть решены, требует громоздкого численного или графоаналитического интегрирования, а потому изложение этих вопросов далеко вывело бы нас за рамки настоящей книги.
Автор рассматривает эту работу как развитие исследований своего учителя Л. С. Лейбензона в области неустановившегося движения упругой капельной жидкости, которые, в свою очередь, неразрывно связаны с именем Великого русского учйного Н. Е. Жуковского.
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ В ТРУБАХ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА С ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ. 5 1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой жидкости в трубах с учйтом гидравлических сопротивлений. Дифференциальные уравнения движения капельной сжимаемой жидкости впервые были составлены и для некоторых случаев проинтегрированы Н. Е. Жуковским в его классической работе о гидравлическом ударе *). Метод Н. Е. Жуковского можно применить для общего случая движения жидкости или газа в трубе с неравномерным распределением скоростей в сечении трубы таким образом, чтобы в окончательные уравнения движения входили средние в сечениях скорости и да. вления. Здесь и везде ниже движение считается нзотермическим.
Проведем в любом месте потока в трубе два поперечных сечения с расстоянием с1х между ними. Введйм обозначения: р †плотнос жидкости или газа, р — среднее давление в сечении, у — площадь поперечного сечения, и†продольная скорость в элементе поперечного сечения 1местная скорость), 1 †вре, т — проекция касательного напряжения на стенке трубы на ось х †направлен потока †средн по смоченному периметру, т †смоченн периметр.
Я) Ж у ковский Н. с., О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. Избранные сочинения, т. 11, ОГИЗ, Гос. изд-во технико- теор. литературы, 1948 г. 12 гл. 1. диФФВРенциАльные УРАВнениЯ и гРАничные УслОВиЯ Предполагая, для общности, поток нестационарным, из теоремы импульсов получим (фиг. 1) Ф): Я~у Вдх~~-~- д Цр 'г(У) со бв = — — (РЯг1х — туях — ф:1х Е1пе+р — дх= д др дх дх — у — Их — т1( дх — (/ Ых а1п я, др дх (1.1) где 1.— вес единицы обьйма жидкости, а — угол возвышения оси элемента г1х над горизонтом.
Сокращая (1.1) на Нх, получим: дМ дй — + — = руаг дГ дх р дк — ту у/в!Ва (1.2) где Л4= ~ риф 0') — массовый расход, т= )' Ровс(г Ф (1.3) Фиг. 1. (1.4) — проекция на ось х количества движения массы М. Уравнение (1.2) является вполне общим, справедливым для любого потока жидкости или газа в трубе. Рассматривая далее баланс массы, втекаюшей и вытекающей в элемент т(х, получим обычным путам уравнение неразрывности для целого потока в виде —,(ур) + — =О. д дМ (1.5) *) На фнг. 1 для отчетливости чертежа показаны только силы ~Р ур+ — (ГЙ дх и р — дх. Остальные силы подразумеваются, д др дх дх гл.
ь дивввввнцилльнык квлвнвния н гглничныв головня 13 В общем случае величину У можно представить в виде 7- ) РвзуУ=(1+Р)ургия=(1+Р)яш (16) И где гв — средняя в сечении скорость, Р' — поправка Корио- лиса на неравномерное распределение скоростей в выражении количества движения потока через среднюю скорость и сред- нюю в сечении плотность. Как известно, при установившемся движении для обычного распределения скоростей в турбу- лентном потоке ~8 О, при параболическом распределении 1 Р = —. Прн неустановившемся движении, естественно, Р будет переменной величиной, зависящей от характера распределения скоростей в сечениях трубы. Далее, воспользуемся известной формулой гидравлики для касательного напряжения т ч = — Ркдз, Х (1.7) где й — коэффициент сопротивления в формуле Дарси-Вейс- баха для потери напора на трение в трубе. Величину или порядок величины Х всегда можно установить, зная шерохо- ватость трубы и режим течения.
Как известно, при установившемся движении Х зависит от шероховатости трубы и числа Рейнольдса. Естественно пред- положить, как это обычно принято при изучении нестацио- нарных гидродинамических процессов, что характеристики сопротивлений, установленные для стационарных движений, сохраняются и для нестационарных. Строгое обоснование этого допущения весьма затруднительно и оправдывается оно, в общем, удовлетворительным согласием теории и опыта. На- пример, в теории неустановившегося течения в открытых руслах коэффициент Шези С берйтся таким же, как и при установившемся течении, что дайт хорошее согласие с опытом в). Учитывая сделанные выше замечания, уравнение (1.2) можно написать так: — = — У вЂ” — — р яХ вЂ” 7у ' — — ((1+Ю~ 1 дМ дл Л д дг дх 8 дх *) Архангельский В.
А., Расчвты неустанознвшегося течекня в открытых водотоках, Изд. АН СССР, 1947 г. 14 гл. г. диеезгвнциАльныв УРАВнениЯ и ГРАничныв УслОВКЯ нли, замечая, что рУге=М, дМ др 7ло д — = — 1 — — М вЂ” у — ТУипа — Н1+1)Мтв) = дг дк 8У дх = — У вЂ” — М вЂ” — Т/з!и а — — ((1+ Р) Мое), (1.8) др Хго . д дх 8Ь дк где (1.9) Р = р.(1+ —.") (1.10) где ро†плотность при давлении р, К вЂ” модуль объемного сжатия жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
