И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Предположим, что площадь трубы у зависит от давления также согласно закону Гука: 1 10(1+а Е ) (1.1 1) где Д вЂ” плошадь при давлении ро, Š— модуль упругости 1-го рода материала трубы, а †некотор безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения и тол1цины стенок. Разность давлений р — ро будеь считать малой по сравнению с Е и К, выражающимися, как известно, числами порядка Е=2 10о кг~'олго (сталь) и К =2 10' кг,'слР(вода). Пренебрегая членом — , получим: а (Р— ро) .УР =Уоро [1+( — + — ) (Р— Ро)~ (1 12) Тогда — ЧР) =Уойо( — +-) — = — —, (1.13) д г 1 аздр Уооо др дг ~Кх Е) дг К дг' — гидравлический радиус сечения.
Вернймся к уравнению неразрывности (1 8). Для сжимаемой жидкости или газа должна быть задана связь между плотностью и давлением. Рассмотрим сначала случай капельной сжимаемой жидкости. Следуя Н. Е. Жуковскому, учтйм здесь упругость стенок трубы. Примем жндкость следующей закону Гука: „. ь диааяввнциальныя хвлвнвния и гваничныв головин 15 где К* к 1+а— Е (1.14) а= —, (1.15) зо ' где И вЂ внутренн диаметр трубы, Зо †толщи стенки трубы. Ряд других формул для а приведйн в указанных выше монографиях Сурина и Мосткова по гидравлическому удару. В случае некруглых труб — овальных, прямоугольных и т.д.— Г. И.
Двухшерстовым показано, что величина приведенного модуля К значительно снижается, так как площадь сечения трубы некругового сечения увеличивается при ударе главным образом вследствие изгиба ей контура ь). Обозначим ~/ — =с (1.16) — скорость звука в капельной упругой жидкости, текущей в трубе с упругими стенками. Тогда уравнение (1.13) можно представить в виде — (ур) = — —. д Уе др дт са дг ' (1.17) Для газа можно принять У = сопз1 и воспользоваться известной формулой се= —, а'ф дг' где с — скорость звука в газе, откуда получаем, раскрывая полные дифференциалы гор и Йр: — И+ — а = — ( — и+ — Их) .
др, др 1 гдр др дГ дх са ~ч дт дх ч) Л ау хш е рс то в Г. И., Гидравлический удар в трубах не- кругового сечения и потоке жидкости между упругими стенками. Ученые запаски Моск. Гос. университета им, Ломоносова, вып. 122, Механика, т. 11, 1943 г. — приведйнный модуль объймного сжатия, учитывающий упру- гость стенок трубы. Н. Е. Жуковским показано, что для тонкостенных труб 16 ГЛ. Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНВНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В силу произвольности приращений Ж и Ых необходимо, чтобы др 1 др др сЯ дт ' (1.18) Отсюда немедленно следует тот же результат, что и для жидкости — (ур) =/— (1.19) Таким образом, окончательно уравнения движения (1.2) и неразрывности (1.5) можно представить в виде д + 8Е + Т~ + д (( + к) др дМ ' дг дх' Уравнения (1.20) представляют собой систему двух дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных гиперболическага типа, в общем случае нелинейных.
Из них мы в дальнейшем получим дифференциальные уравнения всех рассматриваемых ниже задач. При этом 1 и р в каждой конкретной задаче, конечно„ подлежат определению. Мы будем изучать движение в длинных трубопроводах с дозвуковой скоростью, когда скоростным напором и теи более его изменением по длине трубы можно пренебречь. Ниже показано, как можно упростить уравнения (1.20) для движения жидкости или газа с дозвуковой скоростью в длинных трубопроводах. Ещв Н.
Е. Жуковским, рассматривавяппгдвижение идеальной жидкости с равномерным распределением скоростей в сечении, было установлено, что для малых дозвуковых скоростей в уравнениях движения можно пренебречь конвективными членами о — и и†. Покажем, что такое пренедо др дх дх' брежение тем более возможно для движения реальной жидкости и в уравнениях (1.2) и (1.20) при движении с дозвуковой дг д скоростью можно пренебречь членом — = — [(1+ р) Ме). дк дх гл. г.
диееврвнциальныв травнвиия и граничныв головня 17 Будем рассматривать, для простоты, трубопровод постоянного сечения у; Тогда, разделив обе части системы (1.20) на /, получим: дх= дг + вь "~ +Тз1п" +дх г(1+Я)рте~)' др 1 др д (рге) дг са дг дх (1.21) рассмотрим отдельно движение капельной жидкости и движение газа. ф 2.
Уравнения движения капельной жидкости в длинных трубопроводах с дозвуковой скоростью. (Р! + Тхг) — (Рв+ ТМ = д, с' +р~ В, с1 +Е1+Ф)р Ч вЂ” Н1+Ир Ч (1.22) Ю~ Ж1 При движении капельной жидкости в длинных трубопроводах с дозвуковыми скоростями обычно оказывается возможным пренебречь изменением давления, соответствующим изменению скоростного напора, так как изменение скоростного напора вследствие сжимаемости капелькой жидкости практически ничтожно. Отсюда следует, что в (дл22) последняя разность 1(1+ Р) рша]я — 1(1+ р) рша1, может быть опущена, что, 2 зж.
впз. и. А ччнваь Связь между плотностью р и давлением р в случае капельной жидкости определена уравнением (1.10), которое вместе с уравнениями (1.21) образует систему тр6х уравнений для трех неизвестных функций р, те, р. дх Обозначим з1п е = — где х — превышение центра тяжести Ф» ' сечения трубы над произвольной горизонтальной плоскостью. Заметим далее, что в членах тяша и — рша, согласно (1.10), можно без практической погрешности считать р = сопзг, т = сопз1, так как р — ре (( К~. Тогда мы можем проинтегрировать первое из уравнений (1.21) по х от х, до хв при фиксированном т и представить результат в таком виде 18 гл. ь дииивввнциальныв твлвивния и гвлничныв головня в свою очередь, эквивалентно отбрасыванию в (1.21) члена — = — 1(1+й)~ Ч.
д7 д дх дх Заметим, что член (1+р)ьтиз имеет следующий физический смысл. Вообразим, что струя с тем же распределением скоростей, что и в данном сечении, выходит из цилиндрического насадка в атмосферу и ударяет в перпендикулярно поставленную преграду. Тогда легко показать, что среднее динамическое давление на эту преграду, т. е.
сила, деланная на площадь струи, равна (1 + р)рта'. При равномерном распределении скоростей р = 0 и это среднее давление, как хорошо известно из гидравлики, равно давлению, соответствующему удвоенному скоростному напору. В дальнейшем„ под давлением р мы будем подразумевать сумму р+Тз и опускать в (1.21) член тз1па. Рассмотрим интегралы, входящие в (1.22).
Интеграл — дг Ь-) ~х д ау$ определяет собой изменение давления от нестационарности потока; интеграл — потерю давления от трения. Н. Е. Жуковским было показано, что в случае идеальной жидкости, движущейся с дозвуковой скоростью в длинном трубопроводе, когда отсутствуют отражанные от концов упругие волны, изменение давления от нестационарности следует изменению скорости по закону: Ьр = срте — классическая формула Н. Е. Жуковского. Мы увидим в дальнейшем, что если длина трубопровода достаточно велика и потеря давления от трения превосходит ударное давление по формуле Н.
Е. Жуковского не менее х~ чем в 3,5 — 4 раза, интеграл ~ — (рте)йх в (1.22) может Г д Гл. ь днеееренциАльные уРАВнения и ГРАничныВ услоВия 19 быть опущен, что, в свою очередь, соответствует пренебред жению в (1.21) членом д (рв). Арвз Уравнения (1.21) содержат нелинейный член —. Инте8Ь грирование нелинейных уравнений в частных производных является вполне выполнимой*), но довольно трудоймкой задачей, особенно, если требуется проследить процесс на значительном интервале времени. Для нелинейных уравнений указанного выше типа приходится выполнять численное интегрирование.
Поэтому желательно упростить каким-либо образом эти уравнения, например линеаризуя, когда возможно, Лрвз Лв член — и принимая множитель — постоянным равным 8а 8а его среднему значению по длине н времени**): — ж~ — ) =2а= сопз1. Лв /Лвт 8а -~8а)в (1.23) 1в Заметим, что при ламинарном режиме величину — можно 8В вычислить вполне точно, так как 1 обратно пропорциональна 4вз числу Рейнольдса рч = — , А Ач й 4ва* (1.24) где А в постоянное число, ч — кинематический коэффициент вязкости. Отсюда Ав Ач в Ах 8В 4ва 8В 32ат ' Будем считать, что 1 для неустановившегося движения является той же функцией числа Рейнольдса, что и для установившегося. Для круглой трубы диаметра и', как известно, ") См.
Х р истиа ио в ич С. А., Неустановившееся движение з каналах и реках, сб. АН СССР, Некоторые новые вопросы механики сплошной среды, Москва, 1938 г. "") Такой способ лииеаризации отнюдь ие является едииствеиио возможным. Можно, например, при небольших колебаниях скорости представить скорость в виде в = вз + в', где вз — скорость при стационарном режиме, а в' — поправка, квадратом которой можно пренебречь. См. также $6 настоящей главы.
20 гл. ь диеевтенцилльныв ттавизния и грлничныв колония А = 64, 8 = — А В этом случае 1 Хи 64ч 32ч „,= — „., =2а. 32( — ) (1.26) дл дг 1Рте)+2п(Рте) ! др д (ры) — — =се дг дх (1.27) Уравнения (1.27) называются телеграфными, так как они встречаются в задачах распространения электрического тока вдоль кабеля. Более подробно эта электрогидродинамнческая аналогия будет рассмотрена в $ 5. Для капельной жидкости в уравнениях (1.27) можно принять без практической погрешности о = сопз1 и заменить эти уравнения следующими: — —,"=Р($+2 ), 1 (1.28) й а ю б и дг "Рдк дх' При а = О уравнения (1.28) совпадают с классическими уравнениями Н.
Е. Жуковского для задачи о гидравлическом ударе. Для капельной жидкости без практической погрешности можно считать, что ч не зависит от давления и условие Хэ — = 2а = сопз1 оказывается, таким образом, вполне точным для ламинарного потока. При турбулентном же течении, как аы указывалось, условимся осреднять член †„ согласно формуле (1.23). Таким образом, для дозвуковых скоростей, когда можно пренебречь изменением скоростных напоров, вместо системы (1.21) получается линеаризованная система для функций рте, р †массов скорости и давления гл.
ь диеевранцилльныв ьрлвнвния и граничные эсловия 21 й 3. Уравнения движения газа с дозвуковой скоростью в длинных трубопроводах. В этом случае к уравнениям (1.21) добавляется уравнение состояния Клапейрона (газ считается идеальным) ~ =акт, (1.29) Р где )с — газовая постоянная, Т вЂ” абсолютная температура. В длинных газопроводах режим можно считать изотермическим: Т= сопз(. При движении газа с дозвуковой скоростью в длинном газопроводе обычно всегда можно пренебречь динамическим давлением, соответствующим скоростному напору, а также пренебречь гидростатическим давлением газа ввиду его малой плотности. Тогда, рассуждая как в 8 2, мы получим возможд ность опустить члены т в1п а и — 1(1+ р) ртэе) в уравнедх пнях (1.21), после чего эти уравнения примут вид др д (ргл) аргер дх дг + 8З др я д (ргл) ) — — =сев ! дг дх при этом для турбулентного режима коэффициент ) можно считать постоянным.
Уравнения (1.30) вместе с уравнением состояния (1.29) при Т= сопя( образуют систему трех уравнений для трех неизвестных функций: р, (реэ) и р. При ламинарном режиме вид уравнений меняется, так как коэффициент ) не постоянен, а зависит от скорости по закону Аэ (1.31) где р — абсолютный коэффициент вязкости газа, который можно считать не зависящим от давления, А — постоянный коэффициент. В этом случае вместо первого из уравнений (1.30) получим: др д(рю), Ар' рыр д(рэ), Ан + —, тл дх дГ ' чграр 8З др т 32рд 22 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
