И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 6
Текст из файла (страница 6)
предыдущую сноску. 38 гл. и. иитегРиРОВАние УРАВнений неУСТАИОВиВш. дВижеиия и требует обычно специальных приймов. Широкое распространение за последнее время, примерно 15 — 20 лет, получил операционный метод*), позволяющий довольно быстрым путем получать решения ряда задач в тех случаях, когда получаемые «изображения» находятся среди табличных изображений, приводимых в большинстве руководств и монографий по операционному исчислению и его приложениям. В случае, когда «изображения», получаемые в процессе решения, не находятся в числе табличных, переход от «изображения» к «оригиналу» может оказаться довольно сложным и операционный метод тогда не будет иметь особых преимуществ.
Простым и довольно быстрым методом, очень близким к операционному, является метод контурного интегрирования в плоскости комплексной частоты и, когда общее решение ищется не в виде ряда, а в виде интеграла, взятого по надлежаще проведйнному контуру в плоскости комплексного переменного, за которое принимается частота колебаний еь В следующем параграфе мы изложим этот последний метод для решения дифференциальных уравнений неустановившегося движения при граничных условиях, заданных формулами (1.63) е*).
$ 2. Решения для скорости и давления в виде контурных интегралов. Будем искать решение системы (1.61) для капельной жидкости Ал = Р(бт + 2пти) (2. 1) Г = Ров Ал = 7Г— бр дтпл дэ ') Э фр ос А. М. и Данилевский А. М,, Операционное исчисление и контурные интегрзлы, ЛНТВУ, 1937 г. Лурье А.
И., Операционное исчисление и его приложения к задачзм механики, 2-е изд. Гос. изд-во технико. теоретической литературы, 1950 г. К он то р о в и ч М. Н., Операционное исчисление и нестзционарные явления в электрических цепях, Гос, изд-вр технико-теоретической литературы, 1949. »") Ч а р н ы й И. А., К теории одноразмерного неустановившегося движения жидкости в трубах и расчвту воздушных колпаков и уравнительных башен, Изв. ОТН АН СССР, Ра 6, 1938 г.
гл. и. интвгвиговлниа гвлвнвний натстлновивпь движвния 39 при начальных условиях (1.62) г(0, та=О, р=О (2.2) и граничных условиях (1.63) х=О, р=ср(а), (2.3) х=1, ° +ил~ =ур, (2. 4) где а(г) и г (г) — известные функции времени, равные нулю при ) (О. Предположим сначала, что а (г) и у (г) удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены интегралами а (Г) )г Ф (а) ел е е(а (2.6) где Ф(а) и Р(а) — так называемые частотные спектры функций р(г) и г" (г).
Иногда Ф(а) и Р(а) называют спектральными функциями. Представляя а(г) и у(г) интегралами Фурье в комплексной форме г'(1) = — ~ Ыа ~ у'(и) ега н-ю Иа Г 2я,) и, учитывая, что р®=0 и г(г)=0 для а(0, получим, 40 гл. и. интегРиРСВАние уРАВнений неустАноВиВш. ЕВижения сравнивая с (2.5), формальные выражения для Ф(а) и Р(оа) ОЭ ф („) аа (а) е оа«а2а о гт (а) — 7(а) е-а « а2а. 1 Г 2я ~ (2.6) ! у Я ! ( Меад ! ао (Е) ! ( Меаао (2.7) где М, ао — некоторые положительные постоянные.
Тогда функции Г(е) е- г, аГ(е) е-", где а ) ао, удовлетворяют всем условиям Дирихле, так как интегралы ( ) Г(г) ! е-аее(г и ~ ~ 7(г) ( е-ага конечны: ~Г(е) ~е оатг( ~ Ме'е еаг= —, о о О ааа ~ ~ р(г)~е '~Я( ~ Ме' е ем=, о о если функции ао(г) и /(г) ие удовлетворяют одному из условий Дирихле, а именно не интегрируемы в интервале 0( г( оо, то интегралы (2.6) будут расходящимися.
Это затруднение можно преодолеть лля довольно широкого класса функций а (е) и Г (г) переходом от интегрирования в вещественной области к интегрированию в комплексной области с помощью слегка видоизмененной формулы Римана-Меллина. Предположим, что ао(г) и 7(г) не удовлетворяют условию Дирихле интегрируемости в пределах — со, оо, но равны нулю при г(0 и при г-+со возрастают медленнее экспоненциальной функции: гл. и. инткггигованив яялвнвний нвтстлновивш.
движвния 41 г'(1) е сг = — ~ С1м ~ у(«) е-осе~о 0 О1с1« 1 2«, СО О СО ОО СО(г)е "= 2 ) Йв ~ О(«) е- ее 1О-О) ~Ь, или, разделив на е-СО У(1) = — ) сса ~ ~(а)е'Ое-Осе'о 0-с> СУ« = 1 Г 2«,) — О СО СО 1 2«,) — Г" (а) е-1О+'"'1 О оса е1О+Оо) 'На 1 — со О чс(1) = — ~ съ ~ СО(а) е'Ое-'"еяо0-О) сь= 1' 2« е' — со О СО СО ,1 1 2«,1 — О (а) е-1О+ОО)" Иа~ е1О+ОО1 О СОСО. (2.8) СО О Обозначим внутренние интегралы по а, по предположению абсолютно сходящиеся, через )о(СО, «), ф(ся, а): — ~ Г (а) е-1с+с"'1 с Иа = г (м, О), 1 Р 2« .) О (2.9) — ~ се(а) -'с1+11" Г1«Ф(м, О) 1 О и введпм обозначение а+ «О = ие,. (2.10) Заметим, что обычно в операционном исчислении при выводе формулы Римана-Меллина обозначают а+ 1« = р — без множи- Г1редставим теперь функции г'® е —" и СО Я е —" посредством интеграла Фурье 42 гл.
и. интвггнгованнв твавнвний нвтстлновивш. дзижвния теля й Мы вводим множитель 1, чтобы в дальнейшем сохра- нить в решениях форму вынужденных колебаний, содержа- щих, как будет видно из дальнейшего, множитель ее"е. Тогда наши функции а (~) и У(~) можно представить в виде со в(~) = ~Ф(а, о)ез 'Иа, ОЭ ~(1) = ~ Р'(в, а) ее" еда. Перейдем теперь от интегрирования по переменной а, ко- торая до сих пор считалась вещественной, к интегрированию по новой переменной а, †у комплексной. Из (2.10): о в~ — — в+~= а — Й. (2.12) Интегрированию вдоль действительной оси в плоскости а соответствует интегрирование в плоскости а, по прямой, параллельной действительной оси и отстоящей от ней на рас- стоянии — 1о.
Таким образом, пределы интегрирования по а, будут — со — й и оо — 1о: (2.13) В дальнейшем индекс «1» мы опускаем, функции Ф(в,о) и Р(а,о) обозначаем просто через ф(в) и Р'(в). Подразумевая под а комплексное переменное, формулы (2.13) можно представить в виде (2.14) гл. и. ИнтегРиРОВАние УРАВнений неУстАноВиВШ. ДВижениЯ 43 Расстояние о должно быть выбрано таким, чтобы все особые точки функпий Ф(а,о) и юн(а,о) лежали сверху над прямой — со — юо, со — юа. Интегралы (2.14) представляют собой простое следствие известной формулы «обращения» Римана-Меллина, получае- мое при перемене местами в этой формуле действительной и мнимой осей »). Итак, предположим, что частотные спектры юн(а) и Ф (а) в (2.14) известны, согласно формулам (2.9). Будем искать частные решения системы (2.1) в виде бегущих волн (вынуж- денных колебаний) те = (Сю соз йх+ Св в(п йх) еюню, р = (Св сов йх+ С з !и йх) ею" ю, где С„СЕ, Са С„й — постоянные, подлежащие определению.
Относительно й будем предполагать, что его вещественная часть положительна. Из (2.15) получим: — — = — юа (Св сов йх+ С з1п йх) ею"ю, др дю — = й ( — С, з!и йх + Св соз йх) еюню, дх откуда, согласно второму уравнению системы (2.1) — ю'асв — — йКСЕ, !аС =йКС, или . й Св —— ю — КСЕ, (2.16) Сю- — ю — 'КСР ! Подставляя (2.16) в первое уравнение системы (2.1) и учи- тывая (2.16), получим: — й — К( — С з!Нйх — Сю сов йх) еюню = юй н р (С, соз йх+ Св з!и йх) (юа + 2а) ею"ю, ») См. первую сноску нв стр. 38.
44 гл. п. интвггигованив знавнвний нвгстлновивш. движения или — = р(1а+ 2а), йРК откуда, так как К=рса рю (и — 12а) ма — 12ае 7аз = (2,17) Отделим в 7г, определанном нз (2.17), вещественную и мнимую части 7г = — (а' — 1а'), (2.18) причйм будем считать вещественную часть и, как уже указывалось ранее, положительной.
После простых вычислений получим: / ~',ое+ 4аз„Р ) „,з 2 (2.19) у / 1/ ще -~- 4айщй — ц>3 2 Если а мало по сравненйю с и, то приближенно м' 03, (2.20) а а. Таким образом, задача свелась к нахождению всего двух постоянных Сг и Са, и частные решения для те, р можно искать в виде ш = (С, соз ах+ Ся гйп Фх) е'"", (2.21) р =1 — К(С соз7ех — С,а1п ах) е'"'. (222) .Ф Постараемся найти общие решения ш и р, умножая (2.21) и (2.22) на дм и интегрируя по частоте м в тех же пределах, что и в интегралах (2.14).
При этом С, и Ся будем гл. н. ИнтвгРиРОВАнив УРАВнвнии нвгствновявш. движения 45 считать неизвестными функциями а со — 1« [) ) )= ) (С, соз Ах+ Св з(п Ах) е'"'1(а, — со а (2.23) — (Сз соз Ах — С1 з!п Ах) е1™ о!а. (2.24) а Р = 1'К Выразим с помошью формул (2.23) и (2.24) граничные условия (2.3) и (2 4), учитывая (2.14)! со — Еа х=О, р=с7(Е) = [ Ф(а)е!"11(а= А = ЕК ~ — Све'"' сЕа са (2.26) о« вЂ” а х=(, те+Ее — =~(Е) = ~ Р(а)ег"'11(а= да дх [С1 (соз А! — ЙЕЕ з(п И) + -)- Св(в(п И+ АА соз И)] е'"'1 йю.
(2.26) Ф(а) = 1К вЂ” Св, о (2.27) Р(а) = С1(созй! — Айв(ПЙЕ)+Сз(51пАЕ+ААсозАЕ). Решая (2.27) относительно С, и Сз, будем иметьл с'(а) ! Е о Ф(о)(в(пАЕ+АлсовАЕ) сов И вЂ” Адз!пИ ' К А совА! — Алв'пИ Св — — — —. — Ф (а). ! а К Ег (2.29) Контуры интегрирования в правых и левых частях (2.25) и (2.26) одинаковы. Отсюда получаем, сравнивая подинтеграль- ные выражения 46 гл.
п. интегРИРОВАНив УРАВНЕНИЙ нвуСТАНОВНВШ. Движения Подставляя С, и Сз из (2.28) н (2.29) в формулы (2.23) и (2.24) для пю и р, получим: со — Юа Р (ш) (~ с05 И вЂ” вв 5!и И+ ~ и — оэ — Юа ю ш Ф (ш) (51П И+ Ыю С05 И)1 1! соз ююх— К л С05 И вЂ” И551П И со — а — — — Ф (а) 5(п Гюх ! вюшю да = ! ш ! Г г(ш)с05Ах К л (соз И вЂ” Ию 5!пИ + ю ш .. 51пл(! — «) -4- Ию соз Л(! — х)) ~ еюшю ю(а ю'2 30 К А созИ вЂ” Лаю!а И А Г ю в Р(ш) ап Лх р=юК ~ — [ — — — Ф(а)соз)юх— ш~ К ш с05 И вЂ” л)ю 5!пИ вЂ” — — Ф(а) яп)юх ш . 5!и И+ люю с05 ИЙ К л созИ вЂ” АИ 5!ВИ~ вюшю ююа ш = — юК я Р'(со) 5!и ш« вюшю ю(15 + ш соз И вЂ” ЛИ 5!и И вЂ” оа — Юа Ф ( ) С05 сю (Ю вЂ” Х) — о)ю 5!П ш (! — х) юшю 1 (2 31) соз И вЂ” АЛ 5!и А (à — х) — оо — а Интегралы (2.30) и (2.31) дают формальное решение задачи, так как они удовлетворяют граничным и начальным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
