И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Г. диФФВРенциАльные уРАВнения и ГРАничные услОВия илн, учитывая (1.29), др д(рв), АР рв д(рв), АР. Я~Т (1 32) дх др Т 32аэ р дг ' 32ЭА у При квадратичном законе трения Х = сонэ( и первое из урав- нений (1.30) можно представить в виде — — = — + — — (р ). др д (рв) Л 8РР Т дх дг 8В р (1.33) — ( †) = 2 (1.34) Только система (1.30) переходит в систему (1.27) для капель- ной жидкости — д= д, +2а(р), др д(р ) — — = са —.
др д (рв) ! дг дх (1.33) Такая линеаризация является более грубой, нежели для капельной жидкости, так как в магистральных газопроводах высокого давления скорость по длине может заметно меняться, что не имеет места в случае капельной жидкости.
Таким образом, при ламинарном движении газа получается система уравнений (1.32) совместно со вторым уравнением (1.30). При турбулентном движении мы получаем систему: уравнение (1.33) и второе уравнение (1.30). Обе эти системы являются нелинейными системами двух уравнений первого порядка в частных производных, которые решаются в обшем случае весьма громоздкими и трудоЕмкими численными методами. Как выше указывалось, мы рассматриваем движение, в котором можно пренебречь динамическим давлением, соответствующим скоростному напору газа.
В этом случае можно предложить несколько способов линеариэации. Первый способ формально не отличается от применвнного Лв для капельной жидкости и заключается в замене множителя — „ 8Е его средним по длине и времени значением гл. ь диеевраициальныв ирлвнвния н грлиичиыв головин 23 Чтобы указать второй способ, представим систему (1.30), учитывая (1.1 8), в виде др дв др грвз — — =р — +в — + —, дх дг дг 8з (1.36) др д (рв) дв др — — юаи — = л — -1- в— др дх "дх+ дх' Подставим в первое из уравнений (1.36) значение — из втодр дг рого и заменим во втором уравнении (1.36) — его значением др дх согласно (1.29) др 1 дл дх = дитд Тогда получим для первого из уравнений (1.36): др дв / дв др ~ арве дв дв ва др 1 Хрвз — л — — о в — — — — -1-— ' др ' дх 8РРТ дх+ 8В или Как известно, при изотермическом процессе 31сТ= сз, где с †скорос звука в газе.
Так как мы условились рассматривать дозвуковые скорости и пренебрегать скоростным напором (а также его производными), то вместо (1.37) получим: дх р да+ ВЗ дат(дт + 8З)' Аналогично второе из уравнений (1.36) можно 'представить в виде др дв в др дв в др дв дт Рдх+дйудх Р дх+се дх Рдх' Умножая обе части уравнения (1.39) на АКТ, вместо второго уравнения (1.36), получим: др дв =Р дг дх' 24 гл.
и диеезввнциальныя явавнвния и гяаничныв колония Из (1.38) и (1.40) будем иметь: У д!пр дэ дс дх' (1.41) Эти уравнения совпадают с уравнениями (1.28) для капельной жидкости, причем вместо давления р в жидкости подставляется в случае газа 1и р, вместо плотности жидкости 1 1эо р — величина — вместо К в единица. Член — будем ~кт 8з попрежнему представлять в виде ЛяФ вЂ” 2аэ 8Ь где $4.
Безразмерные уравнения движения сжимаемой жидкости в трубах. Во многих случаях безразмерная форма уравнений облегчает их анализ. Рассмотрим общие уравнения (1.21), справедливые для капельной жидкости и газа д дг + да +Тз1пи+ д ((1+р)( юо) (1.42) др д(оэ) Хоэо . д др 1 др д(сэ) (1.43) дс с' дс дх Вводам безразмерные переменные ! эс 1И з эо Р о Р . Ро (1А4) где ро, эо, ро — характерные давление, скорость и плотность в нашем потоке, ! †как-нибудь характерная длина, например длина трубопровода. гл.
ь дифоврвициальныя хвавнвния и граничныв тсловия 25 Пользуясь формулами преобразования д д до с д дс до дг Т дс' д д дЕ 1 д дл дЕ дл ! дЕ' получим вместо (1.42) и (1АЗ) уравнения в безразмерной форме дР сроссо д (Р со ) "Россоо дЕ Ро Ро 11 Россо д + — з1н а + — — [(1+ Р) ротвоа[, (1А5) — — = — 5-(Р ), дро сроссо д о Ро — — - — — (Р' *). дро гсо д дс с дЕ (1.47) (1.50) Из этих уравнений следует вывод, к которому мы пришли выше, — для дозвуковых скоростей с небольшим отношением — о можно в (1.49) пренебречь последним слагаемым с —,' —,, [(1+ Р) Р*~ов[. За масштаб давлений ро выберем Ро = сротсо (1.48) †ударн давление по формуле Н. Е.
Жуковского в упругой идеальной жидкости плотности ро, текущей со скоростью тсо. Тогда вместо (1.45), (1.46) и (1.47) будем иметь: — + — —;Ро "'+ дР' д (рое~*) 11 тою дЕ до 8Ь с и + ~о д [(1 [ лг),отсов) (1 49) Ро с дЕ дро д — —,= — Е(Р* '*) до дŠ— — = — — (р* '*). дро во д д с (1 51) 26 гл. к диФФВРвнциАльные уРАВнвния и ГРАничныв услОВия Покажем, что для длинных линий можно пренебречь также д (р" в") первым слагаемым Р . Для этого формально проинтедт грируем уравнение (1А9) по т при фиксированной $, в пределах т=т, и т=т и сравним интегралы от двух первых слагаемых (рятсе) (речэч) т' = — ' Х рствеас1т.
8ас,) т, (1Л2) Для капельной жидкости под величиной р будем подразумевать, как и раньше, сумму р + тх. Уравнения (1 62) совместно с уравнением состояния образуют систему трах нелинейных уравнений уже параболического типа, которую мы линеаризуем, как и раньше. Для капельной жидкости, когда можно считать р= сопз1, ди эта система сводится к системе (1.28) без слагаемого — : дг ' — — = 2арте др дх др дю вдв — — =К вЂ” =рс —, дс дх дх' (1.53) где коэффициент 2а определйн формулами (1.23) и (1.26). Для газа в качестве неизвестной функции вводим массовую гсо Очевидно, если — ' — ))1 н тя — тг)~1, второй интегралуя будет намного больше первого г,.
Таким образом, при достаточно большом значении коэффициента — — первый член Аг яа 8Ь с правой части в (1.49) можно отбросить и заменить систему (1.42) и (1.43) следуюшей: — р — 2а (рв), др др 1 др дд(ры) дс сэ дс дл (1Л4) Коэффициент 2а в (1Л4) определен для ламинарного режима, согласно (1.32), формулой 2а= гэ (1Л5) а для турбулентного при А = сопз1 х 2а = ээ (Рте) ээ.
(1.56) й б. Аналогия между движением сжимаемой жидкости в трубах и раснространеннеы электрического тока по кабелю. Напомним хорошо известную связь между распространением электрического тока вдоль кабеля с распределенными постоянными — ймкостью, самоиндукцией и омическим сопротивлением — и движением сжимаемой жидкости в трубах. Дифференциальные уравнения для распространения электричества в длинной линии имеют следующий вид (при этом мы пренебрегаем утечкой через изоляцию) э): др дг — — =Š— +)с ю' дх — дг ал > дУ 1д) дг С дх' (1Л7) Здесь У вЂ” напряжение в рассматриваемом сечении линии, 1 — сила тока, Е, Яэю С вЂ” соответственно самоиндукция, омическое сопротивление и емкость единицы длины провода.
Сопоставляя уравнения (1.57) с уравнениями (1.27), (1.28) для капельной жидкости и с уравнениями (1.35) и (1.41) для *) К о в а л е и к о в В. И., Устаиавливающиеся электромагнитные процессы вдоль проводных линий, Изд-во АН СССР, 1945 г. гл. ь диеевгвнцилльныв грлвнвния и гнлиичныв головня 27 скорость рте и вместо (1Л2), получим: 28 гл. ь диееврвнцилльныв травнвния и грлничныв эсловия газа, убеждаемся в их полном сходстве.
Физические величины, входящие в эти уравнения и аналогичные друг другу, сведены в следующую табл. 1. Таблица 1 Газ (изотерм. поток) Капельиая жидкость Электрическая линия [уравнения (1.57)] уравнения (1.41) уравнения (1.35) уравнения (1.28) уравнения (!.27) И 1 1 l рм Р ри Р пр ~ 1 877 т 2ар 2а 2а При одинаковом виде граничных и начальных условий для всех трах задач получаются одинаковые решения.
Э 6. Методы определения приведенного коэффициента линейного трения в уравнениях неустановившегося движения при квадратичном и линейном законах трения. В линеаризованных уравнениях неустановившегося движения под Р, р и ш можно подразумевать как их абсолютные значения, так и избыточные значения над стационарными, существовавшими в начальный момент времени г= О. Если изменения этих величин в процессе неустановившегося движения незначительны, то при квадратичном законе трения определение коэффициента 2а из условия (1.23) 2 = (~®) можно уточнить следующим обравом.
2л 8777 1 дат гл. ь диеевввнцилльныв твавнвния н гваничныв головня 29 дша дУ ш ш, ль Фиг. 2. абсцисс и отрезками кривой АВ и прямой АВ', были равны. Тогда для коэффициента 2а получим уравнение МО~ Ю~ ~ ~ 8З + ~" (ш 'ше)) Иго МФ„ вь или 1 юг+ шР'е — 2гее е а 2а=— шг — ше (1Л8) При ламинарном режиме движении капельной жидкости можно пользоваться формулой (1.26) Ат 2а = —. 32аа ' При движении газа с квадратичным законом сопротивления можно пользоваться также формулой (1Л8). При движении Рассмотрим квадратичный член в уравнениях движеЛрма ния (1.21) — отдельно для капельной жидкости и для газа.
8Ь Для капельной жидкости будем считать р=сопз1. Линеари1геа зация члена — эквивалентна замене отрезка графика кривой 8Ь Хве и = — = у(тв) в некотором интервале тле(тл(тли надлежаще подобранным отрезком прямой (фиг. 2). Условимся эту прямую проводить так, чтобы площади, ограниченные осью 30 Гл. ь диФФВРенциАльные уРАВнения и гРАничные услоВия газа с линейным законом трения, когда колебания давления невелики по сравнению со стационарным, коэффициент 2а можно определять из формулы (1.32) Ам АР дйТ 2а= — ж —— 32ЗЯР 32Ы РАР где р,р — среднее давление.
Случай длинного газопровода, когда такое осреднение давления становится слишком грубым, рассмотрен в $ 4 гл. 1П. $7. Граничные и начальные условия. В дальнейшем мы будем рассматривать задачи о неустановившеися движении в трубах, сводящиеся к интегрированию системы (1.28) для капельной жидкости: — — = р( — + 2ато) др / дгл дх '1 дг ) (1.61) при различных граничных условиях.
Граничные условия, естественно, зависят от характера возмущений на границах. При этом мы будем предполагать, что до момента времени 1= О движение отсутствовало или было стационарным, т. е. р и ти для 1 ( О не зависели от времени. При 1)~ О движение, в силу каких-либо причин, стало неустановившимся и мы, в силу линейности системы (1.61), можем под р и тл в (!.61) для 1)~ 0 подразумевать их избыточные значения над стационарными, существовавшими в момент 1 ( О.
Таким образом, начальные условия будут: 1=0, те=О, р=О при любом х. (1.62) Ряд рассматриваемых ниже задач формулируется следующим образом: к одному концу трубопровода присоединен какой-либо агрегат, изменяющий расход жидкости по известному закону в зависимости от времени, например поршневой насос, задвижка, турбина, компрессор и т. п. Агрегат присоединйн к трубопроводу или непосредственно, или отделен от него камерой, служащей для регулирования расхода или гл, диеевввнциьльныв твлвнвння н гвлничныв головня 31 уменьшения колебаний давления (например, воздушный колпак, уравнительная шахта, буферный резервуар компрессора и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
