И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 14
Текст из файла (страница 14)
На графике фиг. 17 показана кривая вида (3.115), проведйнная так, чтобы наименьюим образом отличаться от прямой Вопля-Мариотта. За расчетное уравнение состояния при атом берйтся фор- мула Гл. Пь нвкотОРыв слУчАи нвУстАнОВиВшвгося дВижвния 115 здесь Ре, Р„РО, Рг — пРеделы изменениа давлениа и плотности. Для отношений — (5 такая замена даат погрешность в велиР1 ра чине расхода не свыше бе/е. Для больших отношений Ро Втот способ становится, естественно, слишком грубым.
РРг Рг РРР Р Рл Р Фиг. (ь дР— — = дрв дх дР д (рв) — — =Ш— дг дх откуда дР двР яе дт дха' д (рв) дз(рв) х дт дхз (3.1)У) где (3.118) Полагая — „= сопя( = т, уравнения (3.113) сейчас же ФР можно привести к линейному уравнению теплопроводности 116 гл. ш. нвкотогыв слтчли нзгстановившвгося движения $ 6.
Распространение скачка давления в сложном трубопроводе. Неустановившееся движение в сложном трубопроводе может быть исследовано приведанными выше методами. В общем случае неизвестных функций ш, р будет столько, сколько ветвей в сложном трубопроводе. Дополнительными условиями являются равенство давлений в узловых точках У, Р Фиг. 18. и соблюдение баланса расходов, втекзющих в узел и вытекающих из него. Эта аадача не связана с какими-либо принципиальными затруднениями, но требует весьма громоздких вычислений.
Мы ограничимся, для простоты, рассмотрением ' только ближайших моментов времени, следующих после прихода волны к какому-либо узлу, для случаев последовательного и параллельного соединений труб. Начнам с последовательного соединения двух труб (фнг. 18). Пусть соединены последовательно дзе трубы с площадями сечений у, и гз. В начальном сечении первой трубы сечения у, длиной 1, создаатся скачок давления р„. Требуется узнать давление в конце трубы в месте соединениа тРУб У', и Уа к началУ пРихода волны. Воспольауемся формулами (2.99) †(2.102) для бесконечного трубопровода. Если бы первая труба была бесконечно длинной, то на расстоянии 1, от начала, согласно (2.100), давление и скорость равнялись бы (головные значения) ай ег, (р) ~р е и ш ~~ а е е (1, = сг). В действительности, в узловом сечении В второй трубы (фиг. 18) давление будет не такое, как в случае бесконечно длинной трубы, а другое.
Обозначим вто неизвестное давление в узле В в момент прихода волны черезр. гл. ш. нвкотогыв слтчаи нвтотлновившигося движвния 117 Тогда разность Р— (Р) вызовет уменьшение скорости ер Р— (Р) в первой трубе на величину , а во второй трубе рс появится скорость, пока неизвестная тдя = — ° Р рс ' откуда Р= Рос ' ° 22у1 А+УЗ (3.119) Очевидно, вполне аналогичный результат получается, если Фиг. 19.
из узла В выходят несколько труб (фиг. 19) 2у1 ай Р— + ~ .Рос (3.120) где ~ р' — общая площадь труб, выходящих после первой трубы из узла В. Последующее распространение волн может быть исследовано, если рассматривать каждую трубу в отдельности в предположении, что в еа сечении В создан известный скачок давления. Предылущие формулы сохраняются в силе до прихода какой-либо одной из отраженных волн в увел В. Выражая расход в сечении В через первую и вторую скорости, получим: 118 гл. Нь некОтОРые случАи неустАнОВиВшегося ДВижения Дальнейший процесс не рассматривается, так как он требует обращения к общим уравнениям и сопряжйн с громоздкими вычислениями.
Следует заметить также, что наибольший практический интерес представляют именно ближайшие моменты после прихода волны, так как с течением времени колебания давления вследствие вязкости быстро гаснут. $7. Неустановившееся движение жидкости в трубопроводе с малым затуханием. Переход к случаю несжимаемой жидкости. В случае малого затухания (а ( 0,2), как видно из графиков фиг. 3 — 9, волновой характер движения полностью сохраняется.
Из графика фиг. 5 видно, что пря гидравлическом ударе даже При а = 0,5, максимальное повышение давления сверх статического приближается к ударному давлению по формуле Н. Е. Жуковского. Поэтому, без большой погрешности, при небольшом затухании можно в основных дифференциальных уравнениях (1.27) опустить член с затуханием и рассматривать более простую систему — — — (р ) др д дх дŠ— — ся — (ртв), дд д дг дх (3. 121) общее решение которого в форме Даламбера можно представить в виде суммы двух волн — прямой и обратной р =Л( — —,")+Л.(1+ — ",) Для наших задач сначала рассмотрим безраамерные уравнения (1.45) и (1.45), в которых удерживаем только ло- а поправку на трение производить, пользуясь формулой Дарси-Вейсбаха для установившегося движения, если скорость в каком-либо сечении известна.
Уравнения (3.121) сводятся к уравнению малых поперечных колебаний струны дз (Рм) з дт (рм) дтэ дхе гл. пк ня«оторыя слтчан нвгстоновивспягося дяижания 119 кальную проиаводную по времени др» с россо д (роэо) д6 ро до дР' сроэо д (Р'э') дс ро д$ откуда р* Ро о [Ус(т — Е) — Уо(т+ Е)) (3125) Ро Действительно, иа формулы (3.125) — — = — — ( — у, (с — Е) — 1о(о+Е)) = др* сроэо дЕ Роэо(у' (т Е)+ус(с+Е)) Ро о Р* — — = — — Кд(т — Е) — Уз (с+ 1)] = дР' сроэо до Ро ='~~'(-ят — Е)+фс+Е)) = Ро ' Ро в согласии с уравнением (3.123). Предположим, что ус (т — Е) и Ра (с+ Е) могут быть разложены в ряд Тейлора по степеням Е: ~Л(с) — М(с)+ 2Е'Йт) —" ~ + +~У;()+ЕР'()+-,' Е~" ()], ро — сро о Л Р,( ) Еу (.)+ 1 Еор,", (с) 2 — ~ Уо (т) + ЕУо ('с) + — Щ ( с) +...), (3.126) до(роэ*) до(р*э*) (3.123) дсо дЕс причйм Е, т, ро, тео, ро определены формулами (1.44).
Интеграл Даламбера уравнения (3.123) имеет внд роэо =~с (с — Е)+~в (с+ 1), (3.124) где У» Уо — пРонавольные фУнкции аРгУментов с — Е и т+ Е. Нетрудно видеть, что ро может быть выражено черезу, нуо формулой 120 гл. ш. иякотооыв сличая нвтстановившзгося движвиия Предположим, что в сечении х= 0 давление постоянно. Так как под р и св везде подразумеваются избыточные значения над стационарными, существовавшими в момент Р = О, то будем считать ре = 0 при 1 = О.
Согласно (3.125), при етом ~, (т) =Л(с) =Х(т). Тогда формулы (3.126) обращаются в следующие: Г'()+2 ~ ()+ РО 2 ~1 Ус(т)+ 1а$гп(т)+ ] ОРОШЮ Если $ мало, то приближбино росио ос 2~(с), р*ж -2 — су'(с) = — 1— сусло РРосео д(Р~соо) Ро Ро дс Переходя от безраамериых величин к размерным, (1.44), получим вместо (3.129) Р:МР— Х— д (Рж) дт (3.127) (3.128) (3.129) согласно (3.130) что по виду совпадает с обычной формулой инерционного изменения давления для несжимаемой жидкости. 5 8. Пусковой режим насосных и компрессориых установок в трубопроводе с небольшим затуханием *). «) Чарный И. А., О колебаниях давлевия при переменном движении жидкости в трубах, Труды Московского нефтяного института им'.
Губкина, 1989 г.. Предположим, что к трубопроводу присоединена иасосиая установка, причбм аакои изменения расхода, а следовательно, и скорости в месте присоединения, известен. Пусть другой конел трубопровода открыт и давление на нбм постоянное, принимаемое аа нуль (фиг. 20). Требуется определить колебаиия давления, воаиикающие при изменении расхода. гл. пь нвкотовыв слтчаи натстановнвшвгося движения 121 Наибольший практический интерес представляет случай нагнетательной линии, который мы и рас смотри и. Будем исходить нз интеграла Даламбера (3.125), справедливого для движения без ватухания, с поправкой на трение указанным в а 7 способом.
Начало координат поместим у открытого Тп нна, епе ппееспьна енпепспп п1си3нпипо и' фвг. 20. конца и ось х направим против течении. При этом в урав- нениях (3.121) изменится знак, так как теперь положительной будет считаться скорость, направленная против оси х и фор- мулы для ртв и р примут внд =~ (' — Ф)+~ ('+Ф) ~= Š— л(4 — Ф)+л('+Ф)1 (3.131) При х 0 р = О, откуда У, Я =уз(ь). (3.132) Пусть в сечение х= 1 иввестен вакон изменения массовой скорости х=1, рпь=ф(г), ф(1) =0 при 1<О (3.133) Обозначим Л (1+-',) =р() (3.134) Тогда, согласно (3.131) и (3.132), в сечении х=Е рва = Ф (г) = е (г)+ ~р (1 — Те), (3.133) где 21 т,= —.
е ' (3.136) 122 гл. ш. нвкотогыз слтчли нвястлновившвгося двнжзння Таблица 2 и м м ~о Я 40 Значения функций т (Г) н Р(à — те), выраженные череа массовую скорость у насоса Давление у насоса Интервалы времени с начала пуска т1 (г) (Рсе)т т,(г- те) =о рт = с (Ра')1 о<р< т та(г-т) = = т (Г).= (Рсе), тл(Г) = (Рта)а — (Рю)а Рт=с(( )— — 2 (Реей Те<а< 2те та(г-те) = р,(г) = =(Р ) — (Р ) та(г) = ( )а— — (Ры)а+ ( )а Ра = сНРю)а— — 2(ры)а+ 2(риЦ 2 Те < В < 3 те р„= с ((рсе)„— — 2( ) + + 2(рабе-г — ".1 те (р — 7'е) = = '~- (т) (Рсе)е— (Рта)е-е + ° ° т (т)=(Р ) (Ры)е-т+ ° ° ° и (л — 1) те<с< лТе Здесь обозначено: (Реа)ы (Рте)з, ..., (Рте)„— аначенин массовой скорости у насоса в моменты времени Р, Р+ Т, Р+2то, ..., г+ (а — 1) То, Р„еа, ..., ~ре — значения волн р в те Давление в сечении л= 1, согласно (3.131), есть равность тех же волн ~р(г) и Р(Р— Те) р = с (о(Р) — е(Р— То)].
(3.137) Согласно (3.132), ~р(Р— То) О прн О <л< Та. Это обстоятельство с помощью формулы (3.137) позволяет аналитически или графически построить функции р(Р)'и р(Р— Т') по известной величине Рте у насоса для последующих моментов времени по схеме, указанной в табл. 2. гл. ш. нзкотогыи слтчаи нвтстановившзгося движвния 123 же моменты рп ра, ..., р„— значения давления в те же моменты. Пример графического построения кривой давления по заданной кривой массовой скорости у насоса показан на фиг. 21. Выясним, как должна нарастать скорость в начале трубопровода, чтобы не происходило чрезмерного повышении давления.' Пусть заданное максимальное повышение давления есть р и сверх р давление не должно повышаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
