И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 11
Текст из файла (страница 11)
То же самое следует из уравнений (2.100) и (2.108), согласно которым головные значения скорости и давления связаны формулой Н. Е. Жуковского. Это обстоятельство подтверждается опытами по гидравлическому удару вязкой жидкости, проводившимися в МГУ под руководством Д. С. Вилькера и Ю.
С. Иванова в 1934 — 1935 гг., которые подтвердили формулу Н. Е. Жуковского (3.5). В экспериментальной установке МГУ параметр затуха- ВС ния а был весьма мал по сравнению с — и разницу между 21 повышением давления при ударе идеальной и вязкой жидкости уловить не удалось. Это обстоятельство представляет большой принципиальный интерес по следующим причинам. Как известно, формула (ЗЛ) Н.
Е. Жуковского может быть получена вполне элементарным путам, если приравнять .кинетическую энергию столба идеальной жидкости, движущегося с равномерным распределением скоростей по сечению, потенциальной энергии упругой деформации. При движении вязкой жидкости с распределением скоростей заведомо неравномерным, движущейся с той же средней скоростью, кинетическая энергия столба вязкой жидкости с учйтом известной поправки Кориолиса будет больше, чем у идеальной. Поэтому на первый взгляд можно было ожидать, что ударное давление в случае вязкой жидкости будет больше, чем при идеальной"). Приравнивая кинетическую энергию потока в трубе, движущегося с неравномерным распределением скоростей в сече- ") Ле йбе из он Л.
С., Я ало Вский В. С., Шумилов П. П., Вил ь к е р 1(. С., Гидравлика, ОНТИ, 1934 г. гл. ш. нвкотогыя случаи нвтстановившвгося движения 81 нии, потенциальной энергии упругой деформации, Л. С. Лейбензон получил формулу для ударного давления Р =1 1+ ~~ерша где т1 — поправка на неравномерное распределение скоростей в сечении.
Для ламинарного режима т1 = 0,333, для турбулентного движения в гладких трубах ч1ж 0,015, в шероховатых и 0,035. При этом Л. С. Лейбензон не учитывал потери энергии на трение, возникающие от выравнивания скоростей при остановке потока вследствие мгновенного закрытия задвижки. Эти потери были учтены И. Ф. Ливурдовым путйм введения эмпирического коэффициента ч, указывающего, какая часть кинетической энергии потока, вычисленная по средней скорости, тратится на трение при выравнивании скоростей ч).
формула И. Ф. Ливурдова имеет вид р = ф 1 + л — ч сртгуо. Таким образом, на'потенциальную энергию упругой деформации тратится не вся кинетическая энергия столба жидкости, а только часть ей за вычетом работы трения. С физической стороны это объяснение вполне правильно. Необходимо только определить величину поправки С Опыты, дополнительно поставленные в МГУ в 1937 — 1938 гг., как указано в статье И. Ф. Ливурдова, дали для удара при ламинарном режиме среднее значение на 7,7о/о меньше, чем по формуле Н.
Е. Жуковского, а при турбулентном на 0,4о~о. Предельные отклонения наблюдались от — 13,7о1о до 3,4о/ от формулы Н. Е. Жуковского„ причем оба эти значения отмечены при ламинарром режиме. Скоростной напор в опытах МГУ был ничтожно мал (предельная скорость 84,1 ел~сея), и условия опытов, таким образом„ соответствовали предпосылке развитой выше теории, в которой мы пренебрегали скоростным напором и его изменением по длине. "1 Лнвурдов И.
Ф., О влиянии на гидравлический удар распределения скоростей по сечению трубы, Учзные записки МГУ им. Х!омоносова, вып. 117, 1946 г. б з .лиан.л.чы а. 82 гл. !н. некОтОРые случАи неустАнОВиВшегося дВижения Указанные выше отклонения от формулы Н. Е. Жуковского должны быть отнесены за счзт неизбежных погрешностей опытов, а также за счет того обстоятельства, что время закрытия крана было не мгновенным, а составляло 1 около —, времени полного пробега ударной волны. Мгновен- 16 ное закрытие крана, естественно, невозможно. На основании своих опытов И.
Ф. Ливурдов заключил, что поправка на трение ь несколько превосходит величину в), так как давление получалось меньше, чем по формуле Н. Е. Жуковского. В действительности же при пренебрежении скоростным напором должно быть Для получения заметной разницы между ударом идеальной н вязкой жидкости необходимо, чтобы ао было бы того же глс !о ос порядка, что н( — ! . Пусть, например, а —.Согласно (3.2), ЧРг=-2; Е =О. (3.8) Учитывая формулу (2.82), вместо (3.3), получим: вл р=2ар)тоо+ — рстоое- '[ у (2 Ооо — (2+по)1. (3.7) в а Если а ещй больше, например, — ~а) — вместо форЗлс лс 2в' 21 мулы (3.3), учитывая (2.89), получим: СО Р= 2аР)тоо+ — Рссоое- с! У 4 1%ч о1п($ С вЂ” 2О„) л (в'Е (2о — 1)сове, в=о 4а! 1 $, а — — — [СЬ |во+ — ( — '+ —,) о)! $в1Д, (3.8) где согласно (2.85) гл.
ш. нвкоторыв слячаи нвтстлновившвгося движения 33 Введвм безразмерные параметры т и а 1 21 т=— Т =— То' о е' 2а1 2арюог а = — =ауо —— с о ерово ' (3.11) 1 = — у [(2г — 1) к)в — ~ — ) = — ' (3.12) с / в2арто Рв в 21~/ где (вв ф' ((2е — 1) я) Я вЂ” аа, (3.13) а а То а 0в Рв 01Н2 — 1) )' — ' ' а 81П Ов 2 1),в (3.14) (3.15) — — 2(т, а), Р ерово (3.16) е(т а) = а+ — е-"' в, 0 < а < я, (3.17) 4 %ч в1я (рвт — 20,) а .ЛЕ (2е — 1)соо 0, ' в вв е(т, а)=а+ — е-в'! 7„" ' — (2+от)~,а= а, (3.18) 1 Г %'т о(в (рввт — 20в) ! в'4 (2в — 1) соо 0 в а е (т., а) а + — е-"' т — — ей Гвгт.+ — — '+ —, аЬ (вот я < а < 2я, Гвв К' аа — па. (3.19) где (3.20) Заметим, что величина а имеет простой физический смысл: она равна отношению потери давления от трения на длине 1 при установившемся течении со скоростью ш к ударному давлению идеальной жидкости, текушей с той же скоростью те„ (ударное давление определяется согласно формуле Н.
Е. Жуковского). Тогда предыдущие формулы можно представить в безразмерном виде 84 гл. Нь некОтОРые случАи неустАнозизшегося движения Для малых значений а и т зти ряды сходятся плохо. Улучшить их сходимость можно, следуя методу акад. А. Н. Крылова улучшения сходимости рядов Фурье, вычисляя разность между рядом, который нужно суммировать и другим рядом, близко подходящим к данному, сумма которого известна. Например, возьмам ряд 4 ~дз!п(2г — !)Ет / 1,0<с<1,2<т<3,... — 1, 1<я<2,3<я<4,... Составим разность Ф(а т зе) СО = — у — ~~з(п(2г — 1)ет — ' ' ~,(3,22) акч 1 Г а!я (Р,. — 26,) 1 ?62л — ! ~ соа 6, являющуюся более быстро сходящимся рядом.
Тогда 4 М Г'' — 261 х 6 (2з — 1)созе, ~ в 1 1 — Ф(а,т,1), 0<с<1,2<а<3,... х — 1 — Ф (и, т, 1), 1 < т < 2, 3 < т < 4,... (3.23) 4 ~Ч 3!п(Рве — 26в) е .Ые (2л — 1) сов 6, 1 — з)пят — Ф(п, т, 2), О< с<1, 2<с<3, — 1 — з!пят — Ф(а,т, 2), 1<я<2, 3<с<4... Ряды (3.23) сходятся уже гораздо лучше. К. А. Семендяев показал, как можно ещв усилить сходимость рядов (3.23). Обозначим а з!п9, =е.
(3.24) гл. ш, някотогыя слгчви нввствновившвгося движвния 85 Выделим в об!цем члене сумм (3.23) члены, содержащие е и ев, предполагая е малым. Тогда получим: сов6 у1 — е ж1 — — ' — — — — вв 8 2' сов 26, = сове 6, — в!пв 6, = 1 — 2ев. Далее, ьзп!в с= вв в!п((2ю — 1)лт у 1 — ев) в(п[(2в — 1)лт — 2. (2в — 1)лт~= св = в(п ((2в — 1) лт) — — (2г — 1) лесов ((2г — 1) лт) +...
= 2 = в(п ((2в — 1) ос) — — сов ((2в — 1) лс) + .. „(3.25) вас 1 сов р т = сов ! (2в — 1) лт — — ~ ж 8 — — [ 2 ~ сов ((2в — 1) лт) + -2- в!п ((2г — 1) лс) +... (3.26) Теперь можно вычислить обпшй член ряда в!и (сс„~ — 26,) в!и !с ~ ° сов 26 сов (с ~ ° в!и 26 (2в — 1) сов аа (2в — !) сов 6 (2в — 1) сов 6, в!и ссвс ° (1 — 2вв) лв 2 сов !свч ° ввв ('-'-') 3 \г.
аав = — ( 1 — — ев) [в!п (2в — 1) л с — -2- сов (2г — 1) леев а(, 2 )~ 2ввл — — сов(2в — 1) лс+ ... = лв лсвв = — в(п(2в — 1) кс — — сов(2в — 1) лев а 2 2сва — — сов(2в — 1)лт+... = а в!п(2в — 1) ас (авс ' 2а ! сов (2в — 1) лс у 1 2е — 1 (2а л,/ (2г — 1)в (,(2в — 1)в/' 86 гл. П1. некОтОРые случАи неустАнОВНВшегося дВижения где чеРез 0(2в в) обозначены члены, содеРжашне в знаме- 1 нателе (2У вЂ” 1) в степени выше второй.
Окончательно получаем: па аэ 4 ~у в!В((п„а — 2В,) 4 ~ч !" в!п(!1,1 — 28 ) в!п(2в — 1)ап ( ааа (2в — ЦсовВ, а в;а( (2в — 1)сов В 21 — 1 в 1 в +('а".и 1 2а сов(2в — 1) ап) 4 кч в1п(2в — 1)ап ~,2п ' В (2в — Цв ]+ а в;Н 2в — 1 в 1 СО 4(авв+ 2а') у сов (2в — 1) ав а 1,2а П / «аа (2 — 1)В / Ов 1, 0<в<1, ... 4ч~ъ в!п(2в — 1)ап 1, 1<в<2, ... (3.29) а~4 2в — 1 в 1 О, т = О, 1, 2,. ° . ав авс — — —,0<в<1 8 4 авв Зпв — — —, 1 < т < 2.
4 8 сов (2в — 1) ав (2в — 1)в в 1 (3.30) С помощью улучшенных таким образом рядов по формулам (3.17) — (3.19) М. Д. Тохтамышевой и Н. М. Квитко были построены графики функции а(т, а) = Р для а=О; 0,25; СРюв 0,5; 1,2; и; 5 (фиг. 3 — 9) в интервале 0<в<2. Из приведенных формул видно, что н (т, а)-+а при т-асо. Из зтих графиков следует, что уже при абак вследствие затухания волновой характер явления перестает быть явно выраженным, хотя в точке Т=1 даже при а=п и а=5 отчетливо видно по излому кривой влияние отражаиней От открытого конца волны, В первой сумме члены убывают, как 1 „и вся сумма 1 может быть без особого труда вычислена. Остальные суммы вычисляются точно: 90 гл.
нк нкиотовык слтчви нквствновившкгося движкния оптами агни о и иг Фиг. 9. г-,в гл. иь нвкотогыв слячаи нвтстлновившвгося движвния 91 На фиг. 10 построен график зависимости « — а='г'(а), откуда видно, что уже при а)~ 2,7 волновой характер практически исчезает. График фиг. 1О построен. с помощью графиков фиг. 3 в 9. Таким образом, давление при гидравлическом ударе или вообще при резком изменении расхода в трубе существенно зависит от ее длины. Для магистральных нефтепроводов и газопроводов потеря давления на трение значительно превосходит ударное давление по формуле Н. Е. Жуковского.
Например, в нефтепроводах, где жидкость движется со'скоростью 1 лс1сек, ударное давление по Н. Е. Жуковскому составит около 13 ати, в то время как насосы на головной станции развивают давление около 50 атлс. Следовательно, если удар произошел в конце трубопровода, то а ) н и давление будет плавно повышаться до статического, не переходя его значение. При а)~я, т~.1 для приближенных расчетов можно ограничиваться в формуле (3.19) первыми членами и вести расчет, изменения давления по уравнениям: а ) я, с )~ 1, «'(т, а) 1 =" — —.е " с" рс'+ 2 ( — + — зй р с .. (3.31) а = я, с ) 1, «(т, а) а — —, е-а' (2+ а с). 4 При а> я и т > 1 формулу (3.31) для «(т, а) можно ещй упростить: «(т, а)ж Г 1 Рс Иногда может представить интерес время, в течение которого давление дойдат до заданной части 3 нового установившегося давления после удара, когда а > я, т ) 1; из (3.32) получаем: 4 +1 ~~+а М '>, 92 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
