Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 8
Текст из файла (страница 8)
й сЯ, Входящие в Х и К производные — и — в точках Р + сфг с~у~ .У- и Р определяются по начальным распределениям искомых функций на отРезке пРЯмой х ха1 пРи этом начальное РаспРеделение фУнкпии ~К на этом отрезке находится из соотношении с~уг=,Осу д(у (функция р определена с точностью до постоянной, поэтому значение (в' в какой-либо точке можно назначить произвольно). После нахождения сср, и из точки Р можно провести назад элемент характеристики третьего семейства, заменив его касательной в точке Р.
Таким образом найдем точку Р, начального отрезка. номерных неустановившихся движениях. Роль времени ~ в уравнениях установившихся движений играет координата я'- > выбираемая в случае плоских движений обычно в направлении основного движения газа. Ф 8. Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках Пусть на отрезке АВ в плоскости з", у заданы начальные значения искомых функций и, ь>, >Х, +, причем характеристихи, выходяшие из точек отрезка АВ в сторону роста,т- >лежат по одну сторону этого отрезка (рис.8.1). Тогда, беря на отрезке АВ ряд достаточно густо расположенных точек и применяя к ним процедуру решения эле ментарной задачи метода характерно>- М тик, найдем значения искомых функций В в точках пересечения элементов акустических характеристик, выходецих из выбранных точек отрезка АВ.
Применим ту же процедуру к близлежашим парам нвйленной системы точек и будем повторять ее до тех пор, А пока не будет построена сетка характеристик и найдены значения искомых функций в ее узловых точках в треугольной области, ограниченной отрезРис. 8.1 хом АВ и линиями Маха первого и х! второго семейств, выходяшими из концов этого отрезка .
Как и в ч.П, назовем описанную задачу задачей Коши или задачей 1 типа. Пусть теперь искомые функции заданы на пересекаюшихся в точке (>> отрезках ОА и ОВ ахустических характеристик разных семейств (рис.8.2), причем значения этих функций при подходе к точке О вдоль разных харахтеристик совпадают. По этим начальным данным можно определить решение в четырехугольной области, ограниченной отрезками ОА и ОВ и акустическими характеристиками разных семейств, выходяшими из те- х! чек А и В . 11ля получения сетки характеристик и значений искомых фунхпий в ее узловых точках процедура решения элементарной задачи метода характеристик используется совершенно аналогично тому> как зто было сделано в ч.
П при решении соответствуюшей задачи. Описанная задача есть задача Гурса или задача П типа. Наконец, в залаче 1!! типа задан отрезок (рис,8.3) акустической характеристики ОА, например, первого семейства, вместе с значениями искомых функдий на нем,и известно одно условие на характеристике третьего семейства (линии тока) ОВ> проходяшей через точку О, причем это условие должно быть в точке О согласованным с заданными на ха» рактеристике ОА значениями искомых функций. Таким условием может быть задание формы линии тока у=уз >',х), т.е.
связи и му~~х) на ней; в этом случае задачу можно назвать задачей об обтекании заданной стенки (задача Н!а). другим видом условия на линии тока может х) Как отмечалось в разделе об одномерных неустановившихся движениях, прн некоторых условиях эти характеристики могут и не пересекаться.
Рис. 8.3 Рис. 8.2 ! быть задание на ней давления. В этом случае в соотношении 1~ъ11ф (~) функпия уз (х) неизвестна и подлежит определению с помощью дополнительного условия р-сспМ' при у- уз~'х); задача прн этом называется задачей о течении с свободной границей (задача Шб), Нахождение решения этих задач в треугольных областях, ограниченных характеристиками ОА и ОВ и акустической характеристикой АВ второго семейства, производится методом характеристик также совершенно аналогично решению соответствующих задач, изложенному в ч.П. 6 9. Изэнтропические течения.
Характеристики в плоскости годографа Как уже говорилось' ранее, в случае плоских баротропных и, в часч ности, изэнтропических движений соотношения вдоль характеристик образуют интегрируемые комбинации, так что вдоль характеристик значения .7. — д', (М,У.) и, соответственно~,~'=.У ('К,Ю) сохраняются неизменными.
Поэтому сетка характеристик .7~-ссжФ> Х-астэФ в плоскости годографа (или в плоскости других переменных, связанных с переменными годографа, например, У и р ) может быть построена для всех течений одновременно. В общем случае из выражений Ъ -~='=б"=У 9" — « Ю/ (9.1 ) ч;; следует, что в плоскости годографа с полярнымн координатами 1", У все характеристики одного семейства получаются из одной из них поворотом вокруг начала координат; характеристики другого семейства можно получить симметричным отображением относительно прямой, йроходяшей через начало координат, Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями интеграл в выражениях (9.1) вычисляется, в результате чего получаем Здесь Я = — и обозначено Кр Можно убелиться, что кривые описываемые уравнениями,У+ф д) ** сол4~, получаются, если следить за движением точек окружности радиуса 44 катящейся без скольжения в ту или другую сторону по кругу радиуса Ъ'кр (рнс.9.1).
Такие кривые называются эпициклоидами. Все эти кривые расположены в кольце На рис.0,2 приведена часть этого Рис. 9.1 кольца с сеткой эпипиклоид обеих сесемейств, построенной для ~ = 1,4. Наличие заранее заготовленной сетки эпнциклоид существенно облегчает приближенное решение задач типа 1 - Ш, позволяя, если не требуется высокая точность результатов, использовать чисто графический метод построения сетки характеристик в плоскости ж, ф и нахождения решения в узловых точках сетки. Р .99 6 10. Простые волны (течения Прандтля-Майера) Уравнения плоских установившихся баротропных (в том числе изэнтропических) сверхзвуковых течений имеют решения типа простых волн,ана;.
логичные решениям для волн Римана в случае одномерных течений. Если один нз инвариантов,напрнмер, ~ ~~, ~9) сохраняет постоянное значение во всей области течения, т.е. если имеется интеграл уравнений 'движения 46 д' ()Г, 6,) - сотх+~, (10.1) то вдоль харахтеристнк первого семейства (вдоль каждой из которых выполняется условие 7 (К У)-сожФ ) угловой коэффициент ф~Ю.и) сохраняется постоянным н, следовательно, уравнение можно проинтегрировать и получить еще олин интеграл (10.2) содержащий произвольную функцию ~ ~'$~3 и определяющий вместе с интегрелом (10.1) в неявном виде зависимость Т" и с' от х и ~.
В течении, описываемом выражениями (10.1) и (10,2), все харм-; тернстнки первого семейства прямые~к вдоль каждой такой характеристнкн параметры газа постоянны. Такое течение представляет собой простую волну и называется течением Прандтля-Майера, Очевидно, что наряду с течениями Прандтля-Майера, опнсываемымд формуламн (10.1) и (10.2) можно рассматривать течения Прандтля-Майера с прямолинейными характеристиками второго семейства, для которых справедливы формулы (10.3 ) с произвольной функцией ф ~Лб).
Рассмотрим течение Прандтля-Майера с прямыми характеристиками первого семейства (рис.10.1). В таком течении прямые характеристики сходятся при возрастании у ° если д ф~У )>(у и расходятся, если выполнено противоположное неравенство. Написанное неравенство можно с использованием интеграла Х~У,ф-. * аоикб преобразовать к виду — ф~У®)~~и ~ — ~' > О откуда после некоторых выкладок получаем р 4)~~~З ~У )~; ек, 3ф д~ Таким образом для сред, для которых ~у~г/>О илн для баротроц- У . у» ных процессов, в которых г ~в Охарактернст~ки сходятся, если давление в частяцах растет црн прохожденни имн простой волны (зтн волюя называются течениями сжатия ), Если давление в простой волне падает, она представляет собой течение разрежения и характеристи4о Рис. 10.1 Рнс.
10,2 ки в ней расходятся. При ~~,~ < 0 этот вывод меняется на противо- (Рl /б положный. Если в формулах (10.2) или (10,3), описывающих течения ПрандтляМайера, считать ~СУ) =~~-ц~~дСО+(ц) или д (У) = у~ — х Еу(8-)п)~ то эсе прямые характеристики в таких течениях образуют пучок, выходящий из одной точки плоскости Х ~ (рис.10.2).
Такие течения Прандтля-Майера называются центрированными. Как и в случае одномерных нестацнонарных движений, центрированные течения Прандтля-Майера автомодельны: в них параметры потока зависят лишь от отношения .Х (при соответствующем выборе начала координат). Ж Так же, как и для волн Римана, можно показать, что любое нецрерывное течение, примыкающее к области однородного состояния, при плоском установившемся движении есть течвние Прандтля-Майера.
6 11, Обтекание искривленной стенки. Истечение газа в пространство с пониженным давленцем. Течение в канале Предположим, что газ движется вдоль прямолинейной стенки, которая, начиная с некоторой точки О (рис.11.1) плавно искривляется так, что выпуклостью она обращена в сторону, занятую газом.
Предположим далее, что в области, примыкающей к прямолннейному участку стенки, поток однороден и имеет сверхзвуковую скорость 9~ . Вверх от стенки поток гаэа безграничен. Требуется найти течение, возникающее при обтекании искривления стенки. Поместим начало координат в точку О, а ось ж направим вдоль продолжения прямолинейного участка стенки. Проведем из точки 0 характеристику первого семейства, ограничивающук> справа невозмущенный по- ток газа,. Характеристика эта прямолинейна л, следовательно, вдоль нее к однородному потоку примыкает течение Прандтля-Майера с прямыми характерно'тиками первого семейства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
