Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Из точки Оу проведем элемент характеристики первого семейства 0>2; положение точки 2 (например, ее абсцисса х: ) и значения ~о и >>' в ней определяются из трех усдовий: соотношения между р и 0> вц.аь характеристики Ой2, связи между ~о и У в скачке, зависяшей от а:, и условия того, что эдемент скачха, угол наклона которого есть тоже функция х', >пройдет через точку 1. Зная о> в точке 1, проведем из нее элемент линии тока 11у и определим значение энтропии в точке 1у , 'интерполяцией между точками О~ и 2 найдем значения Ю и р в этой точке. Этим завершается первый этап построе;- х) Случай> когда рассматривается осесимметричное течение и точка д лежит на оси симметрии, является особым.
В этом случае начальный элемент скачка проводится согдасно теории, изпоженной ниже (в 5 16). ния. 1(елее стандартными операцяями находим решение в точках О~ > 1й > Оэ, после чего проводим элемент характеристики первого семейства из точки 1~ в сторону скачка> подобно тому> как это было сделано из точки О~ > определим следующий элемент скачка и т.д. В результате получим сеточное решение в треугольной области, огрениченной линией тока ОА~ линией скачка ОЗ и характеристикой второго семейства ВА (две последние линии отыскиваются в процессе решения, линия тока может быть либо заданной, либо тоже находится при решении). $15.
Пересечение скачков уплотнения. Взаимодействие скачков с твердой н свободной границами н стангенцнальным разрывом 3 Рассмотрим пересечение в пространстве двух скачков уплотнения или пересечение скачка уплотнения с тангенциальным разрывом и с твердой или свободной границами (которые можно считать предельными случаями тангенциального разрыва). Это пересечение при стационарных движениях происходит вдоль некоторой неподвижной в пространстве линии, которая является особой для распределений паоаметров газа. Примем, что в небольшой области вблизи выбранной точки особой линии элемент этой линии можно заменить прямой> а элементы пересе кающихся вдоль нее поверхностей разрыва можно заменить участками плоскостей . Будем считать также, что изменением параметров газа в направлении особой линии можно пренебречь, и что составляющая скорости газа в этом направлении равна нулю.
Йля рассматриваемых нами плоских или незакрученных осесимметричных течений последние предположения удовлетворены автоматически. В общем случае, ках будет показано ниже, предположение о равенстве нулю составляющей скорости вдоль особой линии несущественно; что же касается предположения о неизменности параметров, то оно всегда может быть локально удовлетворено, если градиенты параметров ограничены. В связи с этим далее будем рассматривать течение в плоскости, нормальной особой линии.
Возможные пересечения двух разрывов приведены на рис.15.1 (а и б - пересечение двух скачков разных направлений и одного направления соответственно; в, г и д — пересечение скачка с поверхностью тангенцнального разрыва, свободной поверхностью и твердой границей, сооч ветственно). Легко убедиться, что при пересечении разрывов возникает задача, вполне аналогичная рассмотренной в ч. П задаче о распаде произвольного разрыва. Йействительно, проведем через особую точку линию, нормальную невозмущенной линии тока, проходящей через эту же точку. Тогда на этой линии особая точка будет отделять области с разными значениями параметров потока> которые в общем случае не связаны законамч сохранения (в случаях а, б, в на рис.15.1), или, если параметры газа заданы лишь на полупрямой с одной стороны особой точ~ ки, они не удовлетворяют требуемому граничному условию (случаи г д на рис.
15.1). х) Это предположение может не выполняться. Ранее (стр 57) уже бьш упомянут пример течения, в котором кривизна поверхности разрыва в точках линии ее пересечения с плоской границей обращается в бесконечность. Ниже будет приведен еще один пример такого поведения.
60 Рис. 18.1 Еспи принять продопжение невозмушенной линни тока за ось -с, а нормаль к ней за ось у, то требуется найти решение в полуппоскостн х > О по заданным распределениям параметров газа прн ж - О, имеющим разрыв в точке ~ = О, Решение этой задачи, если оно существует, автомодельно и поэтому, как уже говорилось, должно строиться нз обпастей однородного потока, отделенных скачкамн уппотнення, тангенш~- альными разрывамн илн областями центрнрованных течений Прандтпя-Майера. Из тех же соображений, что и в задаче о распаде разрыва в ч. П, следует, что в каждую сторону от тангенциального разрыва (в частностн, от твердой стенки илн от свободной границы), может отходить либо одын скачок. уплотнения, либо одна центрированная волна Прандтля-Майера, Начнем с задач об отражения скачка уплотненйя от свободной граннцы и от твердой стенки.
Пусть однородный сверхзвуковой поток газа имеет свободную границу,и пусть из бесконечности к свободной границе подходит скачок уплотнении постоянной интенсивности (рис.18.2а), пересекая границу в точке О. Давление в потоке за скачком выше давленвя )О, ° в обпк:ти перед ннм, равного давлению на свободной гранишь Скорость за скачком направлена и сторону свободной границы. Так хак давпение на участке границы за точкой О должно быть тем же,что и перед этой точкой, и так как от точки О внутрь области движения может отходить либо скачок унлотнення, в котором давление еще более возрастет, либо центрированная волна разрежения Прандтля-Майера, в которой давпенне падает, то следует остановиться на последней. Поворот потока в волне Прандтля-Майера происходит в том же направлении, что и в падающем скачке.
Интенсивность волны Пранцтпя-Майера должна быть такой, чтобы давпенне газа в однородном потоке за волной равнялось давлению во внешнем пространстве. Прн заданном сверхзвуковом потоке эта задача имеет решение, если интенсивность падающего скачка такова,что )э, д скорость газа за ннм сверхзвуковая ипн точно равна схоростн звука. Действительно, рассмотрим решение задачн в плоскостн У~ )О (рнс.15.26).
Построим сердцевидную кривую для данных услс~. Рнс.15.2а внй в набегающем потоке. Если точка О сердцевидной кривой, соответствующая Р состоянию газа за скачком, лежит ниже точ- Я ки Ю, в которой скорость газа за скачком о равна скорости звука или совладает с ней, то через эту точку можно провести в плос— — — Р, кости У~ -о линию, соответствующую расширению газа в волне Прандтля-Майера. Эта пиния, соответствующая эпицнкчоиде в плоскости сс, гР, при уменьшении У доРис.
15.2б ходит до линии р О (соответствующей окружности максимальных скоростей в плоскости -ы И- ) и, следовательно, обязательно пересекает прямую -о=~о чем и доказывается существование решения. Если поток за скачком дозвуковой, то по нему от точки б не может отходить ни скачок, ни волна разрежения, т,е. он должен сохраниться однородным вплоть до свободной границы, что невозможно, так как при этом не будет удовлетворено требуемое граничное условие. Таким образом, при дозвуковом течении за скачком задача об от ражении скачка от свободной поверхности не имеет автомодельного решения, Так как при очюутствии линейного масштаба решение должно быть автомодельным то, следовательно, в этом случае оно вообще не существует.
Если допустить наличие в постановке задачи линейного масштаба (в реальных условиях такой масштаб всегда есть), то решение по физическому смыслу должно существовать, но оно до настоящего времени х> не получено . Можно лишь утверждать, что в этом случае падающий скачок н свободная граница искривлены, причем их кривизна~ растет неограниченно при приближении к особой точке' то же верно для градиентов газодинамических величин при приближении к особой точке из возмущенной области вдоль лучей. Перейдем теперь к задаче об отражении скачка от жесткой стенки, И в этом случае поток за падающим скачком направлен к стенке, поэтому для удовлетворения граничного условия на стенке необходимо, чтобы отходящая от стенки волна была скачком уплотнения (рис.15,3а).
В этой волне поток должен повернуться на тот же угол, что и в падающей волне, но в обратном направлении. Рассмотрим сначала решение в плоскости ~», И. (рис.15Лб). Возь- 7, мем ударную поляру, соотвегствуюшую значению — ' потока перед Кр падающим скачком (точка О на оси ы ). Точкой 0» обозначим на ней конец вектора скорости р» за первым скачком. Йля отраженного скачка этот вектор соответствует состоянию газа перед ним. Построим ударную поляру, принимая это состои ние за исходное. При этом возможны два слу. Р~ ж Ф~ чая. В первом случае, когда интенсивность падающего скачка невелика, вторая, ударная поляра будет иметь две точки пересечения О~ и О~ с осью и . Каждая из этих х) Близкие задачи об истечении струй с переходом через скорость звука на границе области движения рассматривались ранее (см.
ссылку на стр. 57), 62 двух точек определяет величину скорости Ф У~ за вторым скачком, при которой эта скорость направлена вдоль продолжения стенки, т.е. дает решение задачи. Графическим построением, проводя из точки Оу прямую через точху О~ или О~ и проводя к этой а~ прямой нормаль из начала координат> найдем направление отраженного скачка. давление и / и плотность в области за отраженным скачком могут быть определены из соотношений на скачке нли, графически, по сердцевидным кривым и кривым Гюгонио. Вновь, как и в задаче об обтекании излома Рнс. 18.3б :стенки, постановка задачи не лает критериев для выбора одного решения из полученных двух. При увеличении интенсивности падающего скачка точка Оу ударной поляры приближается к точке, на которой скорость за первым скачком становится равной скорости звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
