Г.Г. Чёрный - Газовая динамика. Часть III. Установившиеся движения (1163192), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть теперь (~~~ ~ — т.е. волна примыкает к набегающему однород- Я у ному потоку вдоль обращенной вперед характеристики (рнс.16.4). Рнс. 16.4 / / В этом случае хну ~ О, с~~ ~ ~ О, 4~)ак ~ О, т.е, в волне м и Ф уменьшаются ( /г~/ растет). Величина Л' становится отрицательной, так что нормапьная к лучу составпяющая скорости становится сверхзвуковой. Это направление изменения и и хУ- сохраняется при изменении у' от ~Ф~ до — . Йействительно, пусть при уменьшении и / при значении (о- (у '~.
— величина тс.~ впервые обратится в Ф Р нуль. При у" > уР 4~ не может стать нулем, так как тогда,согласно уравнению (16.6),.вместе с Ф' обратится в нуль Ф и по теореме Ролла между двумя нулями вепичины гУ должен быть нуль ее производной хУ)р н, спедоватепьно, согласно (16.1), нуль ы (~ .
'Таким Р я.абрыом, сс)р ~ О при -,)- ~ ср е ~~щ . х) Линки у =у~а не является характеристикой, хотя и имеет характеристическое направление в каждой точке, Это следует из того) что на ней не выполнено характеристическое соотношение (1.27) сх 0' Ыи — сф у~ ~Ы = сКх ~и~-а'9у (левая его часть равна нулю, правая - нет). Не будучи характеристикой, линия о - у'а есть огибающая характеристик. Не являютси характеристиками и все другие прямые ~ ае~жИ' кроме линии у~ фг~ . 71 или — в плоскости годографа- (16.7) Геометрически, как уже говорилось> это означает, что нормаль к кривой Ф" х91Ъ) в точке, соответствующей поверхности конусе, должна проходить через начало координат в плоскости годогрефа.
Не скечке уплотнения - при 1>>= ~я - значения .сс и гУ. должны удовлетворять соотношениям на скачке, т.е. точка кривой хУ= хя~ы~, соответствующая скачку, должна лежеть на ударной поляре набегаюше го потоке и касательнвя к скачку составпяюшая скорости за скачком должна равняться этой же составляюшей перед скачком. Итак, решение уравнения (!6.4) должно удовлетворять следуюшим крвевым условиям: ~о и -в ф~>я = У' .~' = 1 (.сс) > при ~» = ~> при (» ~>ч где Р (я~3 - правея честь уравнения удерной поляры (13.4). Я После переходе через (~-~- > согласно (16.1), изменится знак проl / изводной э>~ > так что будет Ф>~ ~ О.
Продлить течение до ~ = О при некотором )о >- О нельзя, тек как при этом было бы Л' = О н, согласно формуле (16.6) ° х1 > ~ О, что противоречит предыдущему. Тэ. ким образом, непрерывно соединить волну с однородным течением невозмомо>о. Оказыввется> однако, возможным, поместив на некотором конусе ~' О>е скачок уплотнения (напомним, что в рассматриваемок течении Л~( О, так что скорость по нормали к лучу — сверхзвуковвя», перевести поток в однородное течение вдоль оси .-.с (рис. 16.4). Рессмотрим теперь задачу о сверхзвуковом симметричном обтеквнии кругового конуса.
Те же рассуждения, что и в сдучее обтекания клина, позволяют утверждать, что при обтекании конуса бесконечной протяженности решение, если оно существует, должно быть автомодедьным, т.е, параметры течения должны быть постоянными на конусах о>=сспм. В частности, головной скачок уплотнения, отделяюший однородный набегающий поток от возмушенного течения за дим, тоже должен быть конусом ~д (~Ря. Так как интенсивность годовного скачка уплотнения во всех его точках одна и та же, то и изменение энтропии газа при прохождении им скачка на всех линиях тока одинаково, так что течение зв скечком изэнтропическое.Поскодьку полное теплосодержание гаев при прохождении им сквчка не изменяется, то изэнтропическое течение за скачком безвихревое.
Таким обрезом, течение за скачком предстввляет собой осесимметричную простую волну и, следовательно, описыва.- ется в плоскости годогрэфа уравнением (16.4)> а решение в плоскости течения находится по решению в плоскости годографа согласно выражению (16.2). Сформулируем краевые усповия> которым должно удовлетворять решение. Нв поверхности конуса, т.е. при ср = о' ( у> - угол попурастворе конуса)> должно быть выполнено условие Хотя сформулированная краевая Р задача для уравнения второго порядка (16.4) содержит три условия, она не является переопределенной, так как при заданном (р, (т.е.
при >>."> 3 заданном угле раствора конуса) ве- А дичина у~ (т.е. угон раствора ко- О я нического скачка уплотнения) заранее неизвестна н допжна находиться в процессе решения. При решении этой краевой задачи Рис. 16.8 обычно. поступают по-иному. Задают угол скачка уппотнения с~ч . При этом краевая задача превращается в задачу Коши, так как при с>-у>д заданы два условия. Угол соответствующего конуса у> находится при продопжении решения в сторону уменьшения (Р до такого значения, при котором удовлетворяется первое условие (16,8). Рассмотрим ход решения подробнее.
В плоскости годографа проведем луч с> ~"~ (рис. 18Д). Опустим на этот луч перпендикуляр из точки А х соответствующей набегающему потоку. Точка пересечения В этого перпендикуляра с ударной попярой одредепяет значения м. и за скачком, т.е. начальную точку интеграпьной кривой уравнения (16,4). Из соотношения (16.2) следует, что в этой точке т~'~м) ф (Рз "У- О, так что интеграпьная кривая выходит нз начальной точки вдопь нормали к иадравпению скачка, т.е. вдоль направпения А Л .
За скачком иормапьная к скачку скорость дозвуковая, и, следовательно, интегральная кривая обращена выпуклостью к центру. Так как при уменьшении ~» поворот луча в плоскости течения и, соответственно, нормали к жтегральной кривой в плоскости годографа, должен происходить по часовой стрелке> то интеграпьная кривая допжна идти от точки Я влево. Эта кривая продолжается до точки Я в которой нормаль к кривой проходит через начало координат О.
Отрезок ОЯ дает направдеиие и величину скорости на поверхности конуса. Описанное построение можно произвести дпя всех угпов скачка ся Я от — до ~я>у. Совокупность полученных при таком построении то- Л чек В образует в ппоскости годографа кривую, которая за свой своеобразный вид попучипа название ябпоковидной кривой (рис.18,8). Яблоко- видная кривая и интегральные кривые, соединяющие точки ударной подяры и ябпоковидной кривой, определяются только усповияьщ в набегающем потоке. Имея заранее заготовленные при решении обратной задачи ябпоксвид- Вь ные кривые и совокупность интеграпь В,' .йь ~д,д„э ных кривых, описывающих простые осеу» 'Р > симметричные волны между скачком В уплотнения и поверхностью конуса,можно решать прямую задачу об обтекании заданного.
конуса, Луч, проведенный под углом, рав- Рис. 16.6 ным заданному попуугпу раствора ко- Рис. 16.7 Рис. 18,8 нуса, пересекает яблоковндную кривую в точке З„, которая связана годографом простой волны Я Я с точкой В на ударной поляра.Знш точку В, известным построением находим направление талонного скачка угол ~Рл Поток в этом скачке отклоняется на угол, меньший полуугла раство- ра конуса (рис. 16.7). дальнейший поворот потока происходит в непре- рывной простой волне н сопровождается уменьшением скорости и ростом давления. При этом течение при сверхзвуковой' скорости за скачком мо- жет оставаться всюду сверхзвуковым или, если годограф простой,волнщ при следовании от точки на ударной поляре до точки на яблоковидной кривой пересекает звуковую окружность, то сверхзвуковое течение за скачком при некотором значении (~, т.е.
на некоторой хонической по- верхности, переходит в дозвуковое, Такой случай течения иллюстрирован на рис. 16.8, на котором приведена линия тока в простой волне за скач- ком и характеристики в сверхзвуковой области течения, На звуковой ли- нии характеристики обоих семейств, очевидно, ортогональны линии тока. Если поток за скачком дозвуковой, то он остается дозвуковым во всей возмущенной области. При заданном достаточно малом полуугле раскрытия конуса, как и при обтекании клина, возможны два режима течения - на рис. 16.6 вто- рому режиму течения (с более сильным скачком) соответствует точка / .В .
В опытах осуществляются режимы обтекания с более слабым скачком, При достаточно большом угле раствора конуса проведенный под со- ответствующим углом луч не пересекает яблоковидную кривую: автомо- дельного решения в этом случае нет. Так как в простой волне за скачком поток продолжает поворачивать- ся в том же направлении, что и в скачке, то предельное значение уг- ла конуса> при котором возможно его обтекание с присоединенным в вершине скачком, больше предельного угла клина.
На рис.16.9 даны гра- фики значений предельного угла клина и конуса в газе с у' = 1.4 в зависимости от числа М набегающего потока. При М- предельо о ный полуугол конуса равен 67,6 , клина — 45,68 , Если течение вплоть до поверхности обтекаемого конуса сверхзвуко вое, то полученным автомодельным решением можно пользоваться и длй конуса конечных размеров.
Если, например, конус соединен с цилиндром, то решением можно пользоваться в области за скачком уп лотнения до характеристики первого семейства, ограничивающей спере- ди волну разрежения, исходящую из точки сопряжения конической части обтекаемого тела с цилиндрической. Экспериментальное изучение сверх- 74 звукового обтекания конической головной части тел очень хорошо согяасуется с результатамн теоретического исследования. Если в автомодельном решении за скачком скорость дозвуковая всюду нли в области, прилегающей к обтекаемой поверхности, то при обтекании конуса конечных рззме- Н ~ ров автомодельным решением можно а < г з е пользоваться лишь локально в окРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
